五階線性KdV方程的顯式解

王宏偉, 李廷先, 袁 偉

(1. 安陽師范學院 數學與統計學院, 河南 安陽 455000; 2. 安陽師范學院 物理與電氣工程學院, 河南 安陽 455000)

在研究淺液層中的重力毛細波和等離子體中的磁聲傳播問題時,Kawahara[1]得到了如下一類五階KdV方程

ut+uxxx+uxxxxx+uux=0,

(1)

其中u=u(x,t)是未知函數.(1)式的Cauchy問題的研究已經取得了大量的成果.Cui等[2]首先在Hs(R)(s>-1)上證明了(1)式局部解的適定性,Wang等[3]利用Kenig等[4]KdV雙線性估計方法改進了結果,把局部適定性結論推進到Hs(R)(s≥-7/5),隨后,文獻[5-6]通過一類[k;Z]乘子范數估計,在Hs(R)(s>-7/4)上證明了局部解的適定性,用I能量方法在Hs(R)(s≥-7/4)上證明了整體解的適定性.關于方程(1)初邊值問題研究還沒有相關結果.

色散波方程初邊值問題的研究工作,最早的成果是由Fokas[7]、Bona等[8]、Colliander等[9]得到的.近年來,這類問題逐漸成為色散波方程研究領域的熱點問題,可參見文獻[10-12].本文將研究如下一類五階線性KdV方程的初邊值問題

(2)

利用Fokas[7]的一致變換方法(UTM),得到方程(2)解的一個積分表達式,為后續局部和整體適定性問題的研究奠定了基礎.

1 顯式解的推導過程

假定v(x,t)=eikx-ω(k)t是方程vt+vxxx+vxxxxx=0的一個解,代入方程可以得到五階線性KdV方程的色散關系式ω(k)=i(k5-k3).下面分4步來推導方程(2)的顯式解.

1.1 將方程(2)寫成散度形式設u(x,t)是方程(2)的解,則

(e-ikx+ω(k)tu)t=ω(k)e-ikx+ω(k)tu+e-ikx+ω(k)tut=

ω(k)e-ikx+ω(k)tu+e-ikx+ω(k)t(-uxxx-uxxxxx+f)=

(ω(k)u+f)e-ikx+ω(k)t-[e-ikx+ω(k)t(uxx+uxxxx)]x-

ike-ikx+ω(k)t(uxx+uxxxx)=

(ω(k)u+f)e-ikx+ω(k)t-[e-ikx+ω(k)t(uxx+uxxxx)]x-

[ike-ikx+ω(k)t(ux+uxxx)]x-

k2e-ikx+ω(k)t(ux+uxxx)=e-ikx+ω(k)tf-

[e-ikx+ω(k)t(uxxxx+ikuxxx+(1-k2)uxx)]x-

[e-ikx+ω(k)t(ik(1-k2)ux+k2(k2-1)u)]x. (3)

(3)式就是和(2)式等價的散度形式的方程,把它稱為局部關系等式.

1.2 利用格林公式得到整體關系等式將(3)式兩邊在區域R={x≥0,0

ik(1-k2)ux+k2(k2-1)u))xdtdx=0.

使用格林公式有

ik(1-k2)ux+k2(k2-1)u)dt=0,

即

(1-k2)uxx(0,s)+ik(1-k2)ux(0,s)+

k2(k2-1)u(0,s))dt.

定義函數u(x,t)關于空間變量在半直線上的Fourier變換為

k∈C-={k∈C:Imk≤0}.

為了書寫簡便,定義函數

k∈C,i=0,1,…,4,

則有如下整體關系等式

(1-k2)g2(ω(k),T)+ik(1-k2)g1(ω(k),T)+

k2(k2-1)g0(ω(k),T)=

(4)

把上式中的T替換為t,并令

G(k,t)=g4(ω(k),t)+ikg3(ω(k),t)+

(1-k2)g2(ω(k),t)+ik(1-k2)g1(ω(k),t)+

k2(k2-1)g0(ω(k),t),

(5)

得到

(6)

1.3 構造合適的積分路徑定義區域

D={k:Re(ω(k))<0},

D+=D∪C+,D-=D∪C-.

用kR、kI分別表示k的實部和虛部,則k=kR+ikI,

圖1

根據Fokas[7]的UTM方法和整體關系等式(6),得到

(7)

1.4 消去未知量在u(x,t)表達式(11)中,φ(x)、f(x,t)是已知的,因此第一、二項可以直接計算得到.在后三項中,積分路徑是已知的,被積函數G(k,t)是未知的.由G(k,t)的表達式(5)可知,g0、g1、g2可根據已知的邊界條件ψ0、ψ1、ψ2得到,下面用g0、g1、g2來表示g3、g4.

解方程k5-k3=μ5(k)-μ3(k),除μ(k)=k之外,可以得到4個解μi(k),i=1,2,3,4,它們的表達式可以用Matlab得到,且滿足

iμ1(k)g3(ω,t)+(1-μ1(k)2)g2(ω,t)+

iμ1(k)(1-μ1(k)2)g1(ω,t)+

μ1(k)2(μ1(k)2-1)g0(ω,t)-

iμ2(k)g3(ω,t)+(1-μ2(k)2)g2(ω,t)+

iμ2(k)(1-μ2(k)2)g1(ω,t)+

μ2(k)2(μ2(k)2-1)g0(ω,t)-

聯立以上2式得

g4(ω,t)=

iμ1μ2(μ1+μ2)g1(ω,t)+

g3(ω,t)=

G1(k,t)=g41(k,t)+ikg31(k,t)+

(1-k2)g2(ω(k),t)+ik(1-k2)g1(ω(k),t)+

k2(k2-1)g0(ω(k),t),

(8)

則

g4(ω,t)=

iμ2μ3(μ2+μ3)g1(ω,t)+

g3(ω,t)=

同理,令

g42(k,t)=g4(ω,t)-

G2(k,t)=g42(k,t)+ikg32(k,t)+

(1-k2)g2(ω(k),t)+ik(1-k2)g1(ω(k),t)+

k2(k2-1)g0(ω(k),t),

(9)

則

g4(ω,t)=

iμ3μ4(μ3+μ4)g1(ω,t)+

g3(ω,t)=

同理,令

g43(k,t)=g4(ω,t)-

G3(k,t)=g43(k,t)+ikg33(k,t)+

(1-k2)g2(ω(k),t)+ik(1-k2)g1(ω(k),t)+

k2(k2-1)g0(ω(k),t),

(10)

則

2 結論

下面總結給出本文的主要結論.

定理 1五階線性KdV方程在半直線上的初邊值問題(2)的顯式積分解由下式給出

(11)

致謝安陽師范學院大學生創新基金(ASCX/2018-Z111)對本文給予了資助，謹致謝意.