度量G-空間中G-可鏈點集的研究

冀占江, 譚偉明, 粟光旺

(1. 梧州學院 大數據與軟件工程學院, 廣西 梧州 543002; 2. 梧州學院 廣西高校圖像處理與智能信息系統重點實驗室, 廣西 梧州 543002; 3. 廣西財經學院 信息與統計學院, 廣西 南寧 530003)

可鏈點集、鏈等價集和鏈回歸點集是拓撲動力系統中非常重要的概念,實際生活中有著廣泛的應用,許多學者對其進行了充分的研究,得到很多有意義的成果[1-11].文獻[1-2]研究了鏈等價集的動力學性質,文獻[3-4]研究了鏈回歸點的動力學性質,文獻[5]研究了可鏈點集的動力學性質.通過以上文獻的研究結果得知,可鏈點集、鏈等價集和鏈回歸點集是相互聯系,但是又有不同,例如對于同一點x來說,它的可鏈點集是鏈等價點集的真子集；鏈回歸點x既是它自身的可鏈點又是鏈等價點；x的鏈等價點y也一定是鏈回歸點,但是x的可鏈點y就不一定是鏈回歸點.可以說在度量空中這3個點集的動力學性質已經研究得很透徹,但是在度量G-空間中,它們的性質卻很少有學者進行研究.為了弄清楚他們的性質,本文選擇度量G-空間中G-可鏈點集進行研究.首先根據度量空間中可鏈點集的定義,給出了度量G-空間中G-可鏈點集的概念,通過定義容易知道可鏈點集是G-可鏈點集的子集,但是也存在一個可鏈點集不等于G-可鏈點集的情況,本文后面給出了例子.其次通過推理,將度量空間中可鏈點集的性質推廣到度量G-空間中的G-可鏈點集上,得到如下結果：

1)SG(x,f)是閉集;

2)SG(x,f)=SG(f|SG(x,f));

4)f(SG(fi(x),fn))=SG(fi+1(x),fn).

這些結果推廣和改進了現有文獻中可鏈點集的結論.

1 基本定義

定義 1設X是度量空間,f:X→X映射,稱f一致連續,如果對?ε>0,存在0<δ<ε,當d(x,y)<δ時,有d(f(x),f(y))<ε.

定義 2[12]設X是度量空間,G是拓撲群．若映射φ:G×X→X滿足：

1) 對任意的x∈X,有φ(e,x)=x,其中e為G的單位元；

2) 對任意的x∈X以及g1,g2∈G,有φ(g1,φ(g2,x))=φ(g1g2,x),則稱(X,G,φ)是度量G-空間,簡稱X是度量G-空間．為了書寫方便,通常將φ(g,x)簡寫為gx.

特別地,若X是緊致度量空間,則稱X是緊致度量G-空間.

定義 3[13]設X、Y是度量G-空間,f:X→Y連續,稱f是偽等價映射,如果?g∈G,?x∈X,?h∈G,有f(gx)=hf(x).

d(gif(xi),xi+1)<δ.

仿造度量空間中可鏈點集的定義,下面給出度量G-空間中G-可鏈點集的定義.

注 1通過定義易知可鏈點集是G-可鏈點集的子集,但是也存在可鏈點集不等于G-可鏈點集的情況,后面給出了例子說明了這一點.

2 若干引理

引理 1[15]設(X,d)是緊致度量G-空間,G是緊致的拓撲群,則?ε>0,?0<δ<ε,當d(x,y)<δ時,?g∈G,有d(gx,gy)<ε.

引理 2設(X,d)是緊致度量G-空間,G是緊致的拓撲群,x∈X,若f:X→X同胚偽等價,則f(SG(x,f))=SG(x,f).

下證SG(x,f)?f(SG(x,f)).

設y∈SG(x,f),由引理1知,?0<η0<η,當d(y1,y2)<η0時,?g∈G,有

(1)

由f-1一致連續,則對η0/2>0,?0<δ<η0,當d(y1,y2)<δ時,有

(2)

d(hn-2f(tn-2),tn-1)<δ,d(hn-1f(tn-1),y)<δ.

又f偽等價,故?gn-1∈G使得

d(f(gn-1tn-1),y)<δ.

由(2)式知

結合d(hn-2f(tn-2),tn-1)<δ和(1)式知

因此

d(gn-1hn-2f(tn-2),f-1(y))<

d(gn-1hn-2f(tn-2),gn-1tn-1)+d(gn-1tn-1,f-1(y))<η，

則{x,t1…tn-2,f-1(y)}是f作用下的(G,η)鏈,故f-1(y)∈SG(x,f),因此SG(x,f)?f(SG(x,f)).

引理 3設(X,d)是緊致度量G-空間,G是緊致拓撲群,n∈N+,若f:X→X偽等價,則

SG(fn(x),fn)=SG(x,fn).

下證SG(x,fn)?SG(fn(x),fn).

設y∈SG(x,fn),由引理1知,?0<ε0<ε,當d(μ,ν)<ε0時,?g∈G,有

(3)

由fn一致連續,則對ε0/2>0,?0<δ<ε0/2,當d(μ,ν)<δ時,有

(4)

d(g0fn(x0),x1)<δ,d(g1fn(x1),x2)<δ.

由f偽等價和(4)式知,?h0∈G使得

由(3)式知

因此

d(g1h0f2n(x0),x2)

d(g1fn(x1),x2)<ε.

故{fn(x),x2…xk-1,y}是fn作用下的(G,ε)鏈,則y∈SG(fn(x),fn),因此SG(x,fn)?SG(fn(x),fn).

3 主要定理

定理 1設(X,d)是度量G-空間,x∈X,若f:X→X連續,則SG(x,f)是閉集.

故

d(gm-1f(xm-1),y)≤d(gm-1f(xm-1),z)+d(z,y)<η.

因此{x,x1…xm-1,y}是(G,η)鏈,則y∈SG(x,f),因此SG(x,f)是閉集.

定理 2設(X,d)是緊致度量G-空間,G是緊致的拓撲群,x∈X,若f:X→X連續,則

SG(x,f)=SG(f|SG(x,f)).

證明顯然SG(f|SG(x,f))?SG(x,f).下證SG(x,f)?SG(f|SG(x,f)).設y∈SG(x,f)．

反證法.若不然?η0>0,存在包含SG(x,f)的開集U0,對任意在f作用下的從x到y(G,η0)鏈,至少有一個元素不在在U0中.取正數序列{ηk}k≥1,且滿足ηk<η0,k≥1,ηk→0.因此對f作用下的從x到y(G,ηk)鏈,必有一個元素不在在U0中,不妨記為zk.由X的緊致性,設zk→z.由于X-U0是閉集,故z∈X-U0.固定m>0且滿足ηm<η/2和d(zm,z)<η/2.設{t0,t1,…tm,tm+1…tl-1,tl}是上面的提到的(G,ηm)鏈,其中,t0=x,tl=y,tm=zm?U0.故對?0≤i

d(gif(ti),ti+1)<ηm.

特別地

d(gm-1f(tm-1),tm)<ηm.

故d(gm-1f(tm-1),z)<η.因此{t0,t1,…tm-1,z}是f作用下的(G,η)鏈,故z∈SG(x,f),這與z∈X-U0矛盾,故(*)成立.

由引理1知,?η>0,?0<δ0<η,當d(μ,ν)<δ0時,?g∈G,有

(5)

由f一致連續,則對δ0/3>0,?0<δ1<δ0/3,當d(μ,ν)<δ1時,有

(6)

d(gif(yi),yi+1)≤d(gif(yi),gif(xi))+

d(gif(xi),xi+1)+d(xi+1,yi+1)<η.

因此y∈SG(f|SG(x,f)).

令

C0={x,f(x)…fi0(x),fi0+1(x)…fn+i0-1(x)},

Ci={xi,f(xi)…fn-1(xi),xi+1},

1≤i≤l-1,C=C0C1C2…Cl-1,

則C是f作用下的(G,ε)鏈,故y∈SG(x,f).

?η>0,由引理1知,?0<η0<η/2n,當d(μ,ν)<η0時,?g∈G,有

(7)

對0≤j<2n,由fj一致連續,對η0>0,?0<δ<η0,當d(μ,ν)<δ時,有

d(fj(μ),fj(ν))<η0.

(8)

Bi={y0,y1,y2,…,ym}, 1≤i≤n,

B=B1B2…BnB0.

d(hif(zi),zi+1)<δ.

特別地

?

由(7)式和G可交換知

?

故

即

同理,對任意的1≤i≤p-1,?gi∈G使

d(gifn(zin+r),z(i+1)n+r)<η.

因此{fr(x),zn+r,z2n+r,…,zpn+r}是fn作用下的(G,η)鏈.故y∈SG(fr(x),fn),則

定理 4設(X,d)是緊致度量G-空間,G是緊致拓撲群,n∈N+,0≤i≤n-1,若f:X→X同胚偽等價,則

f(SG(fi(x),fn))=SG(fi+1(x),fn).

證明?η>0,由f一致連續知,?0<δ<η,當d(μ,ν)<δ時,有

d(f(μ),f(ν))<η.

(9)

d(hjfn(zj),zj+1)<δ.

又f偽等價和(9)式知,?lj∈G使

d(ljfn+1(zj),f(zj+1))<η,

f(SG(fi(x),fn))?SG(fi+1(x),fn).

由引理2知

SG(fi+1(x),fn)=fn(SG(fi+1(x),fn)).

由引理3知

SG(fn+i(x),fn)=SG(fi(x),fn).

又fn-1(SG(fi+1(x),fn))?SG(fn+i(x),fn),故

SG(fi+1(x),fn)=fn(SG(fi+1(x),fn))?

f(SG(fn+i(x),fn))=f(SG(fi(x),fn)).

因此SG(fi+1(x),fn)?f(SG(fi(x),fn)),故SG(fi+1(x),fn)=f(SG(fi(x),fn)).

4 總結

由定義知道可鏈點集是G-可鏈點集的子集,下面的例子說明,可鏈點集是G-可鏈點集的真子集,從而G-可鏈點集不是平凡的推廣.

d(x,y)=|x-y|,x,y∈X，

則(X,d)是度量空間.取拓撲群G≡Z2={-1,1},按如下方式定義φ:G×X→X,

φ(1,x)=x,φ(-1,x)=1-x,x∈X，

則(X,d,G)是度量G-空間.定義f:X→X,f(x)=x,x∈G,則f是連續的.根據可鏈點集和G-可鏈點集定義知：

致謝梧州學院校級科研項目(2017C001)對本文給予了資助，謹致謝意.