讓作業從“產品”走向“作品”
——數學作業改進的思考與實踐

江蘇南京師范大學附屬小學 賁友林

在數學教學過程中，這樣的現象屢見不鮮：課堂作業，練習什么題目，教師一般讓學生打開數學教科書，完成練習第1、2、3題。下一次，接著完成第4、5、6題。家庭作業，教師今天布置的是完成練習冊第20頁，明天布置完成第21頁，后天布置完成第22頁。倘若教師不說，學生由昨天的作業內容也就能推測到今天的作業內容，根據今天的作業內容，又知道了明天的作業內容。

這樣的作業，筆者把它稱之為“傻瓜式操作”。對教師而言，“傻瓜式操作”表現為教師如上面所描述的那樣布置學生完成練習。對學生而言，“傻瓜式操作”意味著亦步亦趨，完全聽從教師的安排，埋頭做題，從不“抬頭看路”，更不會“仰望星空”，去思考自己需要做什么樣的作業。

數學作業，為什么做,做什么,如何做？這些問題，需要我們回到原點思考并在實踐中做出改進，從而改變“傻瓜式操作”的現實。

一、作業功能：不僅僅是鞏固

談到數學教學中的作業，無論是課堂作業，還是家庭作業，我們馬上想到的是，通過練習，鞏固所學知識，加深理解，提高熟練程度，形成技能技巧。教師設計練習，布置作業，應當有整體觀，要表現對學生發展水平的整體規劃，要體現對學生發展狀態的清晰把握。以往的作業，更多地體現了對已學內容的鞏固功能。筆者以為，練習與作業應當成為學生敞亮并展現各自想法的平臺，給學生學習提供更大的空間。

如在三年級“認識分數”單元中，有“分數的大小比較”這一內容，筆者在學生學習“分數的大小比較”這節課前，設計了這樣的作業：怎樣比較的大小。即布置給學生一個問題，讓學生寫下自己的想法。這樣的作業，有點像語文學科的命題作文。只不過，教師在這里是通過問題，讓學生展開充分的數學思考，然后在紙上記錄自己的想法。

下面是一名學生完成的作業：

在這樣的作業中，學生以研究的方式展開對將學內容的探討，更多的是展現自己的想法，解答自己的疑問。每個學生帶著自己的想法走進課堂，課上，學生展開對各自想法的交流，在交流過程中學生豐富、完善、修正各自原先的想法。

以往的作業體現的是“瞻前”，以鞏固為目的，最后的“成品”都在教師的預設中，呈現出來的是既具有唯一性也具有統一性的“產品”。而現在，兼顧了“顧后”，以“預想”為目的，學生完成的作業具有更大的差異性，帶有學生的個人烙印，是更多展現學生帶有研究意味的，有著豐富多彩想法的“作品”。

二、作業內容：學生也可以是“供題者”

課堂作業，家庭作業，教師提供練習題，學生遵照安排完成作業。這樣的場景，我們太熟悉了。不過，這樣的練習方式，教師統得過死、牽得過多，學生馬首是瞻，漸漸地成了“圈養動物”，個性受到壓抑，失去了自己“覓食”的能力。在教學中，我們更多的是把學生作為“受方”，其實，學生也可以是“供方”，可以參與題目的選擇、改編、設計與安排。

1.學生選題

教學《圓錐的體積》時，在新課中的課堂作業環節，學生先把教科書中的習題瀏覽一遍，然后交流做哪些題目。有學生提出：書上“練一練”和練習四的第1題，不必做了，因為那是應用公式來算圓錐體的體積，除非你算錯了。有學生提出：練習四的第2題、第3題要做。因為第2題鞏固了等底等高圓錐與圓柱的體積之間的關系。第3題，題目不僅有體積問題，還有底面積問題，不能混淆。學生的想法有理有據。我們全班的課堂作業就不再完成“練一練”與練習四第1題，而是完成他們選擇要做的第2、3題。由此可見，學生做什么樣的題目，他們自己選擇。

再如，在“圓柱的表面積和體積”練習課的前一天，筆者布置這樣的作業：每位學生選擇不少于兩道與圓柱表面積、體積有關的題目，分析并解答。學生完成這樣的作業，為了選兩道題目，他們會瀏覽數學書、練習冊以及各種教輔中的相關題目。他們知道，要選擇那些容易出錯的題目，那些看似很難、其實不難的題目，那些方法多樣的題目，那些解法特別巧妙的題目，那些還可以變化、再改編的題目，那些一看感覺不會、對自己有挑戰的題目。這樣的題目，我學生習慣稱之為“好題”。

2.學生改題

教學《找規律》時，教師組織學生思考、完成如下問題：灰兔、白兔按照“灰、白、白、灰、白、白……”排成一隊，照這樣排列，18只兔中有幾只灰兔，幾只白兔？如果是20只兔呢？

之后，教師組織學生將這道題改編，提出不同的問題并作為課堂作業完成解答。學生改編的問題有：①如果是100只兔呢？②100只兔子中，白兔比灰兔多多少只？③如果從右往左數，23只兔中有幾只白兔，有幾只灰兔？④照這樣排列，第2011只兔后的第一只兔子是什么顏色？⑤如果白兔有14只，灰兔有幾只？……

改編題目由學生自主完成，學生在充分獨立思考的基礎上，呈現了豐富多樣的想法。學生不僅能改編，而且會改編，他們的想法遠遠超越了教師的預設。

3.學生編題

在學習過程中，可以讓學生結合所學內容自己編題并解答。學生編題，自然會出現所編題目可能有缺陷，可能有漏洞，甚至是錯誤的狀況。以往，我們不希望這樣的“敗筆”出現。事實上，學生所編題目中出現這些狀況，恰恰反映了學生真實的思維水平，他們暴露的問題大部分正是教師需要關注的，需要組織學生研討的，這些學生的“問題”，是真正的問題，是學生學習與發展的空間所在。

學生選題、學生改題、學生編題，練習過程的控制權，悄悄向學生轉移，讓學生參與題目的提供，讓學生自主練習。這樣的改變，對學生來說，第一，增加了練習過程的選擇性，提高了學生參與學習活動的積極性。與以往教師出題學生練習相比，學生練習的內容改變了全班所練題目完全相同的格局，學生擁有了練習的自主權，練習的題目對自己而言，更具有針對性。學生在“供題”中練習，變被動等待為主動參與，從“待哺”到“覓食”，從“圈養”到“散養”，釋放了學生學習的激情與能量。第二，豐富了練習的方式，提高了思維含量。當下，各種練習題類的教輔書品種繁多，魚龍混雜，但我們也不能說，所有的題目都是粗制濫造，總有一些“好題”需要慧眼識別。作業的題目從何而來？學生可以從若干題目中挑選出來。我們要認識到的是，解答題目，是練習；選擇題目，也是練習。因為在選擇題目的時候，也在思考這道題目練習了什么，怎么分析，要注意什么。無疑，這些都是練習過程中不可或缺的思考。練，不一定都要動筆寫出來。動腦想，是練習過程中更需要強化的。第三，在題目的呈現、交流過程中促進學生深度學習。課堂中組織學生分享各自選編的題目，學生是資源的創生者，也是資源的受益者。他們在各自題目進行比較、溝通、交流等互動活動中獲得更大的發展空間。除了對這些題目如何解答這些常規式的分析，還可以組織學生就學生所選的“好題”做進一步分析：題目“好”在哪兒？各人提供的不同的題目，之間是否有聯系？倘若學生提供的題目有“漏洞”，教師可以組織學生辨析，發現“漏洞”，并思考與交流如何“打補丁”。

當學生成為作業內容的“供題者”時，作業內容本身也就成為“作品”，教學過程增強了開放性，同時教學結果又更具有實效性。練習的題源與過程，從依靠教師一個人變為依靠全體學生，所有的學生都被發動起來創造性地開展自主性、研究性學習。我們要相信：一個班級學生群體的力量遠遠超過了教師一人的力量。教學，依靠了學生，發展了學生的能力。

三、作業過程：比“練”更重要的是“想”

數學學習中，概念性學習、技能性知識的學習、解決問題的學習是三種主要的形態。對于不同形態內容的練習，我們要注意不能簡單地以“熟練”作為練習的追求。如關于技能性知識的練習，提高熟練程度是合理的、必須的。但對于解決問題的過程，讓學生達到程序化甚至是自動化是有害的，其可能會導致一些定式效應，縮小甚至剝奪學生思考的空間，影響學生解決問題能力的發展。

學生的作業，需要充實的是思維的含量。也就是說，不要讓作業成為一種簡單的、機械的、重復性的操練，將作業單純地作為“程序性訓練”，而應當讓學生在寫作業時徜徉于數學思考中。學生不僅要“做”，更要“想”。因為“想”，題目本身以及分析解答、分享交流過程就充滿了研究性。因為“想”，實現學生的作業從“產品”走向“作品”。教師要把握的是，思考的難度要控制在學生的最近發展區內，讓學生跳一跳能摘到果子。

如在學習了“長方形、正方形的面積”之后，筆者在作業中設計了這樣一道題目：在一張邊長9厘米的正方形紙上剪去一個長3厘米、寬2厘米的長方形，剩下部分的面積與周長分別是多少？

學生在作業中呈現了他們各自的想法。在正方形紙中如何剪長方形，有的學生想到如圖所示的一種剪法，有的學生想到兩種剪法，有的學生想到三種剪法。有的學生還寫下了自己的“發現”：在正方形的四個頂點處剪長方形，看起來不同，但與如下頁圖所示的第一幅圖一樣，也就是剩下部分的周長與面積是一樣的。如何求剩下部分的周長，有的學生是把各段相加，有的是把剩下部分轉化成長方形來求周長。求剩下部分的面積，有的學生是分割成幾部分再相加，有的學生是用大正方形面積減去小長方形面積。有的學生發現剩下部分的周長不同，面積相等。有的學生發現求周長時可以“平移”線段，求面積時不可以“平移”線段。當然，有的學生錯誤的想法隱藏其中，如有的學生認為如圖所示的第二幅圖與第三幅圖的剪法是一樣的。

不同的學生，不同的想法，或是想法數量上的差異，或是解決問題方法上的差異，或是想法水平上的差異。但每個學生都有想法，作業成為展現學生想法的平臺。在這樣作業的基礎上，教師組織學生在課堂中交流各自的想法。學生的發言相互補充、修正。交流、匯報的過程，是每一個學生獲得新的認識、成長的過程。他們在深度參與的過程中，認識從朦朧走向清晰，從膚淺走向深刻，從片面走向全面。

數學作業中開放題的設計，具有研究的性質，要遵循“低入、多思、高出”的原則。所謂“低入”，指題目思考的起點低，所有學生都能投入思考；所謂“多思”，指題目本身具有較大的思維空間，不同的學生會有多樣的思考；所謂“高出”，是指不同的學生通過思考都有相對于自己而言的高產出，都有較大的進益與收獲。

數學開放題的研究性，追求的不是學生的想法有多么豐富，更重要的是關注每個學生是否投入了思考，是否在思考中有新的進步，并且在作業之后的交流過程中是否促進不同想法的比較、溝通與融合，每個學生在這一過程中優化各自原有的想法。也就是說，數學練習過程中不是僅僅追求想法的多樣，而是追求想法的深入。

實踐證明，數學作業的改進，對教師和學生而言，想說“愛你”，可以從“不容易”走向“容易”。讓作業從“產品”走向“作品”，學生體驗數學思考的酸甜苦辣咸，享受智力活動的振奮與愉悅；作業，不只是知識的鞏固和能力的提高，更為學生的學習與發展服務。