一點點變化，讓作業更有意義

江蘇南京市瑯琊路小學 張紹華

數學課堂作為學科教學的主陣地，是教師關注的重點，我們一直努力“向40分鐘要效率”。其實，數學家庭作業作為課堂教學的延伸和拓展，也是學生數學學習的重要環節，我們也應該“向20分鐘要效率”（此實踐基于小學中年級，我們使用的是數學“補充習題”，據統計，平均每生每天的數學家庭作業時間約為20分鐘）。引導學生“寫好”作業，為看似平常的數學家庭作業不斷提升品質，提高學習效率，發展數學能力。

一、現狀分析，確定家庭作業改革的方向

[情境回放]

辦公室里，教師把數學“補充習題”作業扔在學生面前。

師：這些錯題，你會做嗎？

生：會做。

師：會做，為什么做錯？

生：我急，我寫得太快了。

師：你急什么？

生：想快點寫好，去玩。

……

到了中午，教師總算改完了整套作業，于是走廊里排起了長隊，是學生訂正面批。有不少學生在走環形路線，因為他們三番五次返工，教師終于爆發了：“怎么又錯了！ 用點心可以嗎？”

這是我們幾乎每天都可以看到的情景，學生們“急”“不用心”，說明他們將家庭作業視為任務甚至是負擔。在調查中，很多學生對“為什么要寫數學家庭作業”的回答是：因為是老師布置的。也有學生會說：因為寫作業能夠幫助我們鞏固今天所學的知識。但要再追問，你怎么體會到的？答：是老師說的。當問到學生“寫家庭作業有什么樂趣”時，相當一部分學生表示沒有樂趣，甚至是厭煩；也有很多學生表示樂趣就是能夠得到老師的表揚或獎勵；只有少部分學生說偶爾遇到難一點的題目做出來了，很開心。

看來，作業對于學生來說就是個任務，他們沒有意識到也沒看到家庭作業對自己的數學學習有何價值，更不用說作業是他們學業發展中的內在需求。正因為如此，很多學生對家庭作業的態度是“應付”，從而導致學習效率低下。

為了改變現狀，筆者開始關注如何引導學生“寫好”家庭作業。我班學生與平行班的家庭作業內容是一樣的，都是學?，F行配套的“補充習題”，也不增加任何其他內容，但他們寫作業的方式要發生變化，作業的品質要提升。

二、實踐探索，賦予家庭作業新的意義

（一）過程表達

首先，我鼓勵學生在寫作業時，不僅要寫答案，還可以盡可能地呈現解決問題的思維過程。

審題能力欠缺是小學生解決問題失敗的原因之一，我們常提醒學生要注意審題，可是他們并不知道怎樣做才是認真審題。于是，筆者引導學生將題目中的關鍵詞圈出來，例如在計算中，學生常常忘記題目中驗算的要求，這時讓學生將“驗算”二字圈出來，以作提醒。有時不但要圈出關鍵詞，還要對此做“批注”，例如：題目中已知每天節約用水5千克，求4月份共節水多少千克。這里的關鍵詞就是“4月份”，而且我們要在旁邊注上“30天”。這里的批注不僅是對“大小月”知識的運用，也是在分析條件與問題間的關系：4月份節水與每天的節水量、4月份的天數有關，所以要用5×30而不是5×4了。

（二）策略運用

比如，常常看到學生們遇到難題時，喜歡歪著腦袋“干想”，其實有些問題，我們如果能夠畫畫圖、列個表、舉個例子……很容易就能得到解決。所以筆者鼓勵學生在解決問題時，嘗試采用這些策略。以前學生們總是不用這些方法，因為他們不知道這些策略的價值，現在用多了，也就會用了，也喜歡用了。

（三）好題分享

講評作業時以“好題”為主。以往，每天總想擠出一點時間，對前一天家庭作業中錯得比較多的題目進行講解?，F在，筆者把這一點寶貴的時間留給“好題”。所謂好題就是學生解答過程特別精彩的題，如下圖這題出現在三年級作業本上，還是有一定挑戰性的，此時我們還沒有學過倒推策略。通過交流，學生體會到這個同學解答此題有三個優點：（1）把自己對問題核心的理解用三句話描述出來，而且把握了倒推的關鍵：距離不變，方向相反。（2）標出了四個方向，以免弄錯，尤其是東西方向，這也恰恰說明該生意識到方向是這個問題中的重要元素。（3）在圖中留下了棋子平移的過程痕跡，以免數錯，在講評現場，該生說這兩個空心三角是她在按原來步驟平移進行檢驗時留下的，又博得了其他學生的一片掌聲。當時，做錯這道題的人不少，但筆者不說他們的錯，只讓學生們體會這個同學為什么能做對，既贊賞了這種做法，也講評了錯題。

以上是教師教學行為的改變，而這些改變作用于學生后，他們的家庭作業也發生了質的變化。

1.作業是實踐

這里的實踐就是我們常說的“應用”，即運用所獲得的數學知識去解決同類或類似的問題的過程。學生在課堂中通過探索習得的知識，就要有“用武之地”，學生將這些知識進行了“實踐”，可以加深對數學知識的理解，利于數學知識的保持；還可以促進數學知識的廣泛遷移，將數學知識轉化為數學能力。但小學生在做練習時，常常置自己已掌握的知識于不顧，并沒有意識到，做練習就是將自己掌握到的“理論”進行實踐的機會。如在學習軸對稱圖形的課上，學生通過對平行四邊形的激烈討論、操作證明，體會到軸對稱圖形概念的兩個核心元素，一是對折，二是完全重合。結果寫作業時，對于平行四邊形學生能正確判斷，可類似于紫荊花的圖案（見下頁），學生還是會誤判。由此可知，學生在判斷一個圖形時，并沒有運用他們所掌握的軸對稱圖形的概念，還是憑感覺。平行四邊形判斷對了，只是他們記住的一個結果。學生沒有意識到概念是用來實踐解決問題的，而這個學生的作業卻能給同伴帶來啟示。

請看下面的對話。

師：你為什么要在圖上畫這些線條？

生：我先假設這個圖形是軸對稱圖形，并給它畫上對稱軸，然后可以根據這條“對稱軸”想象一下，對折后能完全重合嗎？如果能就真的是軸對稱圖形，如果不能就不是，我就把原來的虛線描成實線。

通過交流，學生們體會到這個同學表面上比我們僅僅是多畫幾條線，其實是比我們多經歷了一個運用概念進行實踐的過程。于是他們在今后的練習中，會主動調用已掌握的相關概念、法則、公式等來解決問題。

2.作業是反思

《義務教育數學課程標準（2011年版）》在總體目標中明確指出：在義務教育階段，要使學生初步形成評價與反思意識?！胺此际菙祵W思維活動的核心和動力”。（弗賴登塔爾）在寫數學作業的過程中，學生如果能對自己的思路做自我評價，探討成功的經驗或失敗的教訓，那么其思維就會在更高的層次上進行再概括，并促使思維進入理性認識階段，而不是僅僅停留在經驗的水平上。

比如，常常讓我們頭疼的是同樣的錯誤學生犯了又犯，因為學生缺乏對錯誤進行反思的意識。這個學生在作業中（如左下圖）提到的“別忘寫0，特別是兩個0；別忘寫橫式答案，不要抄錯題”，看似沒什么思維含量，但是她告訴大家說：“我昨天就犯了40×60=240的錯誤，所以我覺得自己要特別注意；昨天我的豎式計算沒有錯，但是我發現很多小朋友經常不寫橫式答案、抄錯數，我是想提醒大家的?！边@個學生能夠關注到練習中容易出錯之處，就是基于對學習行為的反思，不僅是自己還有同伴的。

后來很多同學效仿，也像她這樣在題目旁寫上注意點，可是依然有學生明明寫了“注意橫式答案”，結果做題時還是出錯。于是，筆者就問做對題的學生：你們倆同樣寫了這句話，為什么你能記住寫橫式答案，可他卻沒有效果呢？這個學生答道：寫這句話不是給老師看的，是給自己看的，我計算完以后，會再看看自己的提醒，這樣的提醒才有用啊?？梢?，就是一個簡單的豎式計算，學生也是經歷了一次又一次的反思、改進，才取得了成效。

3.作業是建構

數學建構主義理論認為，作為認知客體的數學知識是不能被傳授的，教師只不過是向學生頭腦里嵌入了一個外部結構，這個外部結構只有經過學生原有認知結構的內化，取得與原有認知結構非人為的、實質性的聯系后，才能獲得心理上的意義。那么，我們的數學作業是否能夠擔負這個“內化”“建立聯系”的責任呢？

事實證明，學生在完成作業時，如果總是能夠不斷地深入思考，那么練習就不僅是在對已知的運用，也會促進已有認知結構的完善。本學期我們認識了千米、噸和一些面積單位，在填寫合適單位的時候，學生的問題比較突出。于是，筆者就鼓勵學生在填寫單位時，把自己的想法寫出來。剛開始，他們會寫“‘噸’太重了，所以我填‘千克’；‘平方厘米’太小了，所以我選‘平方米’。”后來學生們自己也發現，這種方法一點用都沒有，還是總出錯。因為他們只是有個印象：1噸很重，但重到什么程度，與所填寫的對象之間到底有多大差距，沒有深入思考。后來，學生們慢慢摸索出許多有效的方法。他們用得最得心應手的是參照法（見上頁圖），看，如果記住了自己的體重，可以幫助我們解決許多問題。

之后，我們又學習了單位間的進率，于是又有學生想到了用單位換算的方法來解決問題。如下圖中的第2小題，該生除了運用參照法，在排除毫米這個單位時，還用了換算法，因為142這個數據本身比較大，學生很難想象142個長度單位究竟有多少，但是換算成分米后，對于1個長度單位還是有穩定表象的。同樣是這個學生，從第2、4、5小題中，可以看出他善用“兩頭排除法”，即當他想確定選擇某一個單位時，會嘗試對其相鄰的兩個同類單位都進行排除，以確保選擇的合理性。

最讓筆者欣喜的是，有學生還發明了不同類單位間的轉化法來解決問題，如上圖所示。當想排除“米”這個單位時，這個學生首先把4000米換算成4千米，而筆者帶學生體驗過步行1千米大約用10分鐘，于是他計算得出步行4千米需要40分鐘，然后再運用從一個城市到另一個城市的時間經驗來做出判斷。這就將對長度的選擇轉化成了對時間的判斷。

填寫單位的練習做到現在這個程度，學生們不再是借助一個個模糊的概念表象來隨意選擇，而是構建了更為清晰的單位表象，也構建了解決此類問題的模型。

4.作業是發展

由于學生們對自己的作業傾注了太多的熱情，他們常常不滿足于解決問題本身，還會自己有所悟，有所發展，如上題中只要求算出圖形的面積和周長分別是多少。有個學生還總結出了一句話：面積一樣周長不一定一樣，周長一樣面積不一定一樣。在全班交流時，有其他學生質疑：這道題只能證明你說的前半句話，后半句不行。于是這個學生解釋道，我不是今天突然發現這個規律的，早就開始注意這個問題了，然后如數家珍般帶著全班同學翻到前面的若干次作業，以證明自己的觀點。也就是說，這個學生在做題時，不但把問題解決了，還關注了題目本身隱含的可能性知識，當練習積累到一定程度，她就能將這個可能性知識加以確定，形成自己的發現。她不僅僅滿足于做對題，還追求自我認知的發展。

三、總結反思，提升家庭作業的價值

1.作業成效的提高

學生用心對待作業，必然會帶來作業成效的提升。重要的是這些成效并沒有以增加時間和作業量為代價，而是以家庭作業的增值來實現的。下面就以本學期（三年級下冊）為例，結合具體的學習內容加以闡述。

（1）計算能力的提高。這學期我們主要學習了除數是一位數的除法、兩位數乘兩位數及其估算、小數加減法等。即使是計算練習，學生們也非常重視，根據自己的情況，在不同的階段會有相應的關注點。如在除法中，學生會特別注意橫式答案的正確填寫；兩位數乘兩位數，會自覺地驗算（連續進位使得學生的錯誤率增加）；小數加減法，要看清運算符號。值得一提的是估算，有這樣一道題：先估計29×60的積，再計算。有學生解答之后，又在旁邊注上：我把29看作30，就是多算了一個60，所以用1800減去60得1740，再和列豎式計算結果對照，是正確的。一道題的練習，既深化了對乘法意義的理解，提升了驗算意識和能力，還為今后的乘法分配律的學習打下了基礎。

一年下來，能看到學生計算能力的提高，他們不再認為計算是枯燥無趣的練習，能夠體會到計算中的很多樂趣。

（2）概念理解的深化。小學生依然以形象思維為主，當他們學習了某一抽象概念后，還需要經歷一個內化的過程。下面這兩個學生的作業就是在自覺內化對概念的理解。

生1寫：這些題不在于一共有幾個圖形，而在于是平均分成幾份?！安辉谟谟袔讉€”就是對單位“1”的理解，“平均分成幾份”確定了分母，這里的分子都是1，所以沒有引起學生的注意，今后再遇到幾分之幾的分數，她一定還會補上一句“取了幾份”。單位“1”、分幾份、取幾份是構成分數的三要素，這個學生就是不斷地借助對圖形的觀察、思考逐步深化對分數概念的理解。

生2寫：周長指最外層的皮（線），不能算里面。盡管學生在三年級就已學習了面積與周長的概念，但即使到了高年級，依然會對這兩個概念產生混淆。如果學生能像這樣，主動利用直觀圖形，反復強化對概念的理解，將利于學生抽象思維的發展。

（3）策略運用的滲透。策略是不能脫離問題情境教給學生的，而是需要他們在解決問題的過程中悟出來的。比如畫圖，剛開始學生并不喜歡，因為他們覺得多做了一件事?？墒窃谝恍┡既坏那榫诚拢瑢W生嘗到了畫圖的好處，有學生說：我一邊畫圖，一邊思路就出來了。特別是線段圖，越來越受到學生們的青睞。再如下圖中的這個問題，此時還沒有學過列舉法，但是這個學生卻已經在使用了，并表現出以下幾個特點：①有序，字母是從A開始，數據是從1開始；②并不是完全列舉，而是邊列舉邊體會規律，數據只到3就能體會到A與數據的搭配有35個，字母列到B就能知道共有26組這樣的搭配；③從簡單的列舉中悟出了這里的搭配符合乘法的運算意義，于是一個算式就解決了這個問題。

由此可見，策略在恰當的時候，需要教師的點撥，但更重要的是讓學生在解決問題的過程中去體悟。

2.作業特性的彰顯

學生對作業態度的變化，以及作業方式的變化，使得他們的作業本彰顯出不同以往的特性。

（1）數學思維外顯化。在我們班學生的數學補充習題上，除了本來的答案，更多的是密密麻麻的思考過程。有的寫不下，就加附頁，學生總是樂此不疲地將自己的所思展現出來，因為他們認識到得出一個正確的答案不足為奇，有一個合理、嚴謹、巧妙的解答過程才是值得驕傲的。學生作業中一旦思維外顯，會給教師帶來很多的教學資源，我們可以走進學生的數學現實，從而為其提供更為合理、有針對性的幫助和點撥。

（2）數學作業個性化。數學練習的答案具有確定性特征，所以往往問題解答的結果是共性的，但每個學生得到這個的過程卻各不相同，因此我班學生的作業更具個性化。

如圖，總有學生不是按部就班地解決問題，他們善于利用數據或一些信息的特殊性巧妙地解決問題。雖然這些方法并不具備普適性，卻能展現學生數感方面的優越性或是思維方式的靈活性，給我們帶來意想不到的驚喜。