大尺度空間薄膜地面振動試驗(yàn)網(wǎng)格膜等效理論分析與數(shù)值模擬

張祎貝,陳務(wù)軍*,謝 超,彭福軍

(1.上海交通大學(xué)空間結(jié)構(gòu)研究中心,上海200240；2.上海宇航系統(tǒng)工程研究所,上海201108)

1 引言

薄膜結(jié)構(gòu)具有質(zhì)量輕、面質(zhì)比高、折疊展開能力優(yōu)異等多方面的特點(diǎn),在航天工程領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用前景,已經(jīng)在大面積太陽電池陣、太陽帆和充氣艙等空間大型可展開結(jié)構(gòu)中得到工程應(yīng)用或在軌驗(yàn)證[1-2]。這些空間大型可展結(jié)構(gòu)需要在工程應(yīng)用前進(jìn)行地面動力學(xué)驗(yàn)證測試,包含自振頻率及振型的辨識、外部擾動下結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的預(yù)測等。然而,因?yàn)樵诳諝庾枇π?yīng)的影響下,這類結(jié)構(gòu)在大氣環(huán)境下的動力學(xué)特性與其在太空(真空)環(huán)境下的動力學(xué)特性有明顯不同[3-5],所以地面動力學(xué)特性測試試驗(yàn)需要通過某種手段減弱乃至消除空氣阻力效應(yīng)的影響。

減弱空氣阻力效應(yīng)影響的常規(guī)方法是在真空裝置中進(jìn)行動力學(xué)測試,可最直接地消除空氣阻力效應(yīng)影響。然而由于設(shè)備尺寸的限制(目前尺寸最大的真空裝置的內(nèi)腔長度也只在幾米量級)[6],無法在真空裝置中開展全尺寸空間大型可展薄膜結(jié)構(gòu)的振動試驗(yàn)。因此該方法只適用于小尺寸空間薄膜結(jié)構(gòu)的動力學(xué)特性測試試驗(yàn)。另一種思路是將傳統(tǒng)的薄膜結(jié)構(gòu)替換為另一結(jié)構(gòu),新結(jié)構(gòu)需要與原薄膜結(jié)構(gòu)保持一致的動力學(xué)特性；同時,新結(jié)構(gòu)需要對空氣阻力效應(yīng)不敏感。這種方案可以有效減小空氣阻力效應(yīng)的影響,并能夠進(jìn)行全尺寸的空間大型可展結(jié)構(gòu)的振動試驗(yàn),但需要建立兩種結(jié)構(gòu)的動力學(xué)等效準(zhǔn)則。

關(guān)于動力學(xué)等效,通常的研究是用一個簡單結(jié)構(gòu)替代原有的復(fù)雜結(jié)構(gòu),對原有的結(jié)構(gòu)進(jìn)行簡化得到動力學(xué)等效準(zhǔn)則。例如,Xu[7]將薄膜天線SAR簡化為一根懸臂梁,Liu[8]將一種環(huán)形桁架天線簡化為環(huán)形梁結(jié)構(gòu)。然而研究如何用一種復(fù)雜結(jié)構(gòu)來替代簡單結(jié)構(gòu)的文獻(xiàn)很少,因?yàn)檫@不是一個簡化的過程,需要對兩種結(jié)構(gòu)的動力學(xué)特性展開詳細(xì)研究。

本文采用網(wǎng)格膜作為矩形膜的替代結(jié)構(gòu),基于矩形膜與網(wǎng)格膜的動力學(xué)方程,提出一種新的動力學(xué)等效準(zhǔn)則,并通過仿真計(jì)算驗(yàn)證該準(zhǔn)則的有效性。

2 研究對象

本文研究對象為圖1所示平面矩形薄膜結(jié)構(gòu)(下文簡稱為矩形膜面結(jié)構(gòu)),作為替代結(jié)構(gòu)進(jìn)行振動試驗(yàn)的是圖2所示網(wǎng)格膜結(jié)構(gòu),由縱橫垂直的膜條組成,相鄰膜條之間的空間可以保證空氣的自由流動,因此受空氣阻力效應(yīng)影響小。

圖1 矩形膜面圖Fig.1 Rectangular membrane

圖2 網(wǎng)格膜Fig.2 Grid membrane

3 薄膜結(jié)構(gòu)動力學(xué)方程

一般的薄膜振動問題可不考慮褶皺等高非線性,因此建立薄膜微元的動力學(xué)方程時,只考慮膜面內(nèi)的應(yīng)力[9]。薄膜微元的受力狀態(tài)如圖3、4所示。

圖3 薄膜微元受線拉力作用示意圖Fig.3 Diagram of tensile force on infinitesimal element

圖4 薄膜結(jié)構(gòu)受線剪力作用示意圖Fig.4 Diagram of shear force on infinitesimal element

其中,Nx為x方向的線拉力；Ny為y方向的線拉力；Nyx為x方向的線剪力；Nxy為y方向的線剪力；θ為Nx與x方向的夾角；φ為Ny與y方向的夾角。根據(jù)圖3、4的受力關(guān)系,可得到微元的內(nèi)力在z方向上的合力如式(1),與之相對應(yīng)的外力的合力,即慣性力如式(2)：

其中,ρ為膜的體密度,h為膜的厚度。令薄膜微元的內(nèi)力與外力表達(dá)式相等,得到微元的動力學(xué)方程如式(3)：

為簡化式(3),需要建立應(yīng)力、應(yīng)變與位移之間的關(guān)系式[9]。可忽略振動過程中面內(nèi)位移對結(jié)構(gòu)應(yīng)變的影響[10],直接建立應(yīng)力與位移的關(guān)系。通常情況下,當(dāng)薄膜的主要變形在垂直于膜面的方向振動時,這種簡化是合理的。對簡化后的式(3)采用伽遼金法,在整個面域上進(jìn)行積分,建立整個薄膜結(jié)構(gòu)第(m,n)階動力學(xué)方程如式(4)：

其中,ωmn2Tmn是預(yù)應(yīng)力對動力學(xué)方程的貢獻(xiàn)(小變形理論),εmnTmn3是結(jié)構(gòu)在振動過程中的變形對動力學(xué)方程的貢獻(xiàn)(大變形理論)。式(4)采用了模態(tài)疊加法,并考慮了不同模態(tài)的正交性,將z方向的變形假設(shè)為若干模態(tài)的疊加：z(x,y,t)=其中Zmn(x,y)代表(m,n)階振型,Tmn(t)代表第(m,n)階振型的時程項(xiàng)。

4 動力學(xué)等效準(zhǔn)則

4.1 小變形等效

小變形理論不考慮振動變形對結(jié)構(gòu)動力學(xué)特性的影響,因此只需要令兩種結(jié)構(gòu)的ωmn相等,由此可以建立矩形膜面與網(wǎng)格膜的小變形動力學(xué)等效準(zhǔn)則如式(5)～(7)[11]：

其中,Nx0_1為矩形膜面沿x方向的線預(yù)張力,Ny0_1為矩形膜面沿y方向的線預(yù)張力,ρ1為矩形膜面的密度,h1為矩形膜面的厚度,Nx0_2為網(wǎng)格膜沿x方向的線預(yù)張力,Ny0_2為網(wǎng)格膜沿y方向的線預(yù)張力,ρ2為網(wǎng)格膜的密度,h2為網(wǎng)格膜的厚度。a2為網(wǎng)格膜的長度,b2為網(wǎng)格膜的寬度,nx_2為x方向膜條的數(shù)量,ny_2為y方向膜條的數(shù)量,dx_2為網(wǎng)格膜x方向膜條寬度,dy_2為網(wǎng)格膜y方向膜條寬度。下標(biāo)“_1”表示矩形膜面的參數(shù),下標(biāo)“_2”表示網(wǎng)格膜的參數(shù)。

式(7)可解釋為：設(shè)2種結(jié)構(gòu)的某一階振型為x方向有m個峰或谷、y方向有n個峰或谷,若要使2種結(jié)構(gòu)的這一階頻率相等,那么網(wǎng)格膜的x方向膜條數(shù)量nx_2必須是n的質(zhì)數(shù)、y方向膜條數(shù)量ny_2必須是m的質(zhì)數(shù)。同時需要滿足附加條件：網(wǎng)格膜結(jié)構(gòu)必須是由某一“十字”膜條陣列得到的,如圖5。小變形等效的意義在于可以使兩種結(jié)構(gòu)的模態(tài)相等。

圖5 由“十字”膜條陣列得到的網(wǎng)格膜Fig.5 Grid membrane constructed by cross membrane array

4.2 大變形等效

大變形等效考慮振動變形對結(jié)構(gòu)動力學(xué)特性的影響,需要令2種結(jié)構(gòu)的動力學(xué)方程中的εmn項(xiàng)相等。由于自變量數(shù)量的限制,只能滿足某一階的εmn項(xiàng)相等,通常取為第1階。則2種結(jié)構(gòu)的拉伸彈性模量、剪切模量、泊松比、以及密度需要滿足式(8)所示關(guān)系：

大變形等效的意義在于可以使兩種結(jié)構(gòu)振動過程中垂直于膜面方向的響應(yīng)一致。

5 算例驗(yàn)證

5.1 結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)計(jì)

考慮一個長寬均為680 mm的矩形膜面,材料取為聚酰亞胺(各向同性材料,彈性模量2.84 GPa,泊松比0.37,密度1448 kg/m3,厚度0.05 mm)。 選用純鋁薄膜作為網(wǎng)格膜材料(彈性模量為70 GPa,厚度0.05 mm,密度2700 kg/m3)。純鋁薄膜的材料屬性相對穩(wěn)定,張拉過程中應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系基本保持為線性,因此適合作為網(wǎng)格膜的原材料。下面按照動力學(xué)等效準(zhǔn)則設(shè)計(jì)網(wǎng)格膜。

2種結(jié)構(gòu)的材料參數(shù)確定后,顯然不滿足大變形等效準(zhǔn)則式(8)。材料的彈性模量通常不能任意調(diào)整的,但可以通過粘貼附加質(zhì)量的方法來調(diào)整材料的等效密度。按照上述材料參數(shù),代入式(8)可以得到網(wǎng)格膜的等效材料密度為13 862 kg/m3。

將2個方向的膜條數(shù)量均設(shè)為5條,膜條寬度均設(shè)為10 mm,上述設(shè)置滿足式(6)、(7)的要求。再選擇網(wǎng)格膜交叉區(qū)域的25個節(jié)點(diǎn)附著附加質(zhì)量,這樣布置附著質(zhì)量對縱向和橫向的膜條的影響較為一致。為了使結(jié)構(gòu)密度達(dá)到13 862 kg/m3,每個交叉區(qū)域需要附著質(zhì)量重1.462 g。

至此,網(wǎng)格膜的材料參數(shù)已滿足大變形等效準(zhǔn)則的要求。小變形等效準(zhǔn)則還對2種結(jié)構(gòu)的預(yù)應(yīng)力場進(jìn)行了限制。令矩形膜面內(nèi)方向1產(chǎn)生1.5 kg的預(yù)拉力,方向2產(chǎn)生2 kg的預(yù)拉力,則在2個方向應(yīng)施加的線拉力為Nx0_1=43.23 N/m,Ny0_1=57.65 N/m。根據(jù)式(5)及現(xiàn)有結(jié)構(gòu)的密度、厚度和膜條寬度,網(wǎng)格膜兩個方向線拉力為：Nx0_2=827.8 N/m,Ny0_2=1103.7 N/m。需要注意的是,式(5)代入的密度ρ2應(yīng)為等效材料密度13 862 kg/m3。至此,網(wǎng)格膜的全部參數(shù)已設(shè)置完畢,流程可總結(jié)為圖6。

圖6 網(wǎng)格膜參數(shù)設(shè)計(jì)流程Fig.6 Flowchart of grid membrane parameters design

5.2 仿真計(jì)算

圖7 矩形膜面前3階振型Fig.7 First 3 order vibration modes of rectangular membrane

采用ABAQUS進(jìn)行仿真計(jì)算,首先計(jì)算2種結(jié)構(gòu)的前3階模態(tài),來驗(yàn)證結(jié)構(gòu)是否滿足小變形等效的要求。兩種結(jié)構(gòu)的前3階振型如圖7、8,從圖上看,前3階振型一致,網(wǎng)格膜的振型平滑度稍差,這是因?yàn)槟l數(shù)量較少并有附加質(zhì)量的緣故。前3階頻率記錄在表1中,偏差較小,在5%以內(nèi),說明2種結(jié)構(gòu)滿足小變形等效的要求。

圖8 網(wǎng)格膜前3階振型Fig.8 First 3 order vibration modes of grid membrane

表1 矩形膜面及網(wǎng)格膜前3階頻率(小變形)Table 1 First 3 order frequencies of rectangular and grid membranes(small deformation)

下面驗(yàn)證2種結(jié)構(gòu)是否滿足大變形等效的要求。按照前文設(shè)計(jì)的網(wǎng)格膜,可保證2種結(jié)構(gòu)第1階的振動頻率相同。因此,在仿真中,首先使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生與1階振型相同的初位移,隨后使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生自由振動,通過快速傅立葉變換(FFT)拾取結(jié)構(gòu)的振動頻率。計(jì)算3種不同初始位移下,2種結(jié)構(gòu)的往復(fù)振動頻率,結(jié)果記錄在表2中。隨著初始位移的增大,其往復(fù)振動頻率明顯提升。Case 3中,矩形膜面的振動頻率已經(jīng)是小變形振動頻率(27.434 Hz)的3倍以上,說明大變形振動效應(yīng)對結(jié)構(gòu)動力學(xué)特性的影響已經(jīng)十分明顯。兩種結(jié)構(gòu)在3種初始位移下的往復(fù)振動頻率基本保持一致,最大偏差2.48%,說明2種結(jié)構(gòu)滿足大變形等效的要求。

5.3 空氣阻力的影響

通過仿真來評價矩形膜面及網(wǎng)格膜對空氣阻力效應(yīng)的敏感性。采用ABAQUS中的聲固耦合方法來計(jì)算2種結(jié)構(gòu)在空氣中的振動模態(tài)[12-13]。通過試算發(fā)現(xiàn),空氣域設(shè)為直徑3 m的球體是較合理的,這樣計(jì)算效率高,且結(jié)果與考慮更大空氣域后的計(jì)算結(jié)果是基本一致的。因此,將空氣域設(shè)為直徑3 m的球體,如圖9。常溫常壓下,空氣的材料參數(shù)為：密度 1.2 kg/m3,體積模量0.142 MPa。記錄2種結(jié)構(gòu)在空氣域下的前3階振動頻率于表3中。

表2 矩形膜面及網(wǎng)格膜前3階頻率(大變形)Table 2 First 3 order frequencies of rectangular and grid membranes(large deformation)

圖9 空氣域包裹下的矩形膜面Fig.9 Rectangular membrane surrounded by air

表3 矩形膜面與及網(wǎng)格膜在空氣域下的前3階頻率Table 3 First 3 order frequencies of rectangular and grid membrane in atmospheric environment

矩形膜面與網(wǎng)格膜在真空及空氣兩種環(huán)境下的自振頻率如圖10。可以看出：矩形膜面在空氣環(huán)境下的自振頻率與其它3種頻率有明顯差異,說明矩形膜面對空氣阻力效應(yīng)敏感；網(wǎng)格膜在真空及空氣環(huán)境下的自振頻率基本一致,說明網(wǎng)格膜對空氣阻力效應(yīng)不敏感。

圖10 矩形膜面與網(wǎng)格膜在真空及空氣兩種環(huán)境下的自振頻率Fig.10 Natural vibration frequencies of rectangular and grid membrane in vacuum and atmospheric environment

6 結(jié)論

1)提出的采用網(wǎng)格膜作為矩形膜面的替代結(jié)構(gòu)進(jìn)行含有大尺寸薄膜結(jié)構(gòu)的可展開空間結(jié)構(gòu)的地面動力學(xué)驗(yàn)證試驗(yàn)方法,可消除空氣阻力效應(yīng)對航天結(jié)構(gòu)的影響。

2)建立的矩形膜面與網(wǎng)格膜的動力學(xué)等效準(zhǔn)則,通過數(shù)值算例可驗(yàn)明,能夠使網(wǎng)格膜與矩形膜面具有基本一致的動力學(xué)特性。

3)聲固耦合仿真證明,網(wǎng)格膜對空氣阻力效應(yīng)不敏感。