考慮相對幾何約束的載人月面上升交會軌道研究

侯振東,張柏楠,田 林,王 平,黃 震,楊 雷

(中國空間技術研究院載人航天總體部,北京100094)

1 引言

在典型的載人月球探測模式中,航天員完成月面任務后需搭乘載人月面著陸器從月面起飛上升,與環月軌道上的目標飛行器交會對接[1-3]。載人月面上升交會任務由于處于載人月球探測任務末端,器上資源(能源、推進劑、航天員物資等)十分有限,因此對任務的快速性要求更高[4-5]。同時由于遠離地球,地面測控對其支持能力極其受限,需要月面著陸器具有較強的任務自主執行能力。

目前只有阿波羅計劃成功實施了月面著陸器的上升交會對接。阿波羅-(14～17)均采用了從月面上升直接與目標飛行器交會的策略,任務周期最短,不超過目標飛行器的1個軌道周期[6]。但直接上升交會策略對著陸器的測量控制精度要求較高,因此阿波羅計劃也是在后期任務中才采用這種策略。阿波羅-(11～12)采用了共橢圓交會策略,任務周期不超過2個軌道周期,對著陸器的測量控制精度要求有所降低,更宜作為前期登月任務的選擇[7]。

近年來發展的近地快速交會對接技術也可將任務周期縮短至數個軌道周期,如天舟一號貨運飛船[8]。近地快速交會策略的任務周期一般大于2圈,在地面測控支持下可以很好地兼顧任務可靠性和安全性[9]。對于月面上升交會任務,共橢圓交會策略不僅時間更優,而且末端的Lambert變軌機動方法還可作為月面直接上升交會策略的技術驗證,有利于大規模載人月球探測后期直接上升交會策略的實施。阿波羅工程基于雙子星的在軌飛行經驗,設計了一種上升交會軌道方案[1,6]；陳歡等[10]給出了任務周期、推進劑消耗等性能指標下的軌道參數優化方法。本文則從載人月面上升交會任務的工程需求出發,引入相對測量約束和航天員應急狀態下的操控需求,將其抽象為約束模型,并基于該約束模型提出一種可用于工程實際的多約束下載人月面上升交會軌道參數可行域快速求解方法。

2 飛行軌道建模

當目標飛行器的環月軌道為圓軌道時,共橢圓交會策略如圖1所示。月面著陸器上升入軌后進入一個近月點高度hp1、遠月點高度ha1的橢圓軌道,后續的飛行軌道設計如下：

圖1 共橢圓交會策略示意圖Fig.1 Illustration of co-elliptic strategy

1)入軌后經過半個軌道周期,進行CSI(Coelliptic Sequence Initiation)機動,將軌道變為高度ha1的圓軌道。當入軌相位偏差較大時,也可通過CSI機動將軌道調整為合適的調相橢圓軌道。從入軌到CSI機動之間的飛行軌道記為第1階段,飛行時間記為t1,軌道半長軸記為a1,轉移相位記為φ1。

2)CSI機動后經過半個軌道周期,進行CDH(Constant Differential Height)機動,使軌道與目標環月軌道保持恒定高度差。當軌道已調整為高度ha1的圓軌道時,無需再進行CSI機動。CSI機動到CDH機動之間的飛行軌道記為第2階段,飛行時間記為t2,軌道半長軸記為a2,轉移相位記為φ2。

3)在恒定高度差軌道上運行一段時間后,進行TPI(Terminal Phase Initiation)機動,進入Lambert轉移軌道。從CDH機動到TPI機動之間的飛行軌道記為第3階段,飛行時間記為t3,軌道半長軸記為a3,轉移相位記為φ3。

4)與目標飛行器交會時進行(Terminal Phase Braking)TPB機動,進入目標環月軌道。從TPI機動到TPB機動之間的飛行軌道記為第4階段,飛行時間記為t4,軌道半長軸記為a4,轉移相位記為φ4。

暫不考慮入軌和軌道機動誤差,則可忽略CDH機動的速度增量。TPI機動前的飛行時間、相位和速度增量較易建模計算,因此僅給出之后Lambert轉移軌道的模型。

為建立飛行時間和速度增量的解析模型,采用轉移軌道半長軸a4和轉移相位φ4作為設計變量。由于第二類轉移軌道會穿越到目標環月軌道上方,不便于航天員觀察操控,因此只考慮第一類轉移軌道。

2.1 Lambert轉移飛行時間

定義s為轉移軌道初始位置、末端位置和中心引力體組成的三角形半周長,c為初始位置和末端位置的相對距離,則其可定義為式(1)：

其中r3為TPI機動前軌道半徑,rt為目標軌道半徑。定義中間變量α和β如式(2)：

則飛行時長t4可描述為式(3)[11]：

2.2 Lambert轉移速度增量

Lambert轉移的速度增量如式(4)所示,由TPI和TPB機動兩部分組成。

其中vL1和vL2分別為轉移軌道上起始點和終止點的速度,v3和vt分別為過渡軌道和目標軌道的速度,φL1和φL2分別為vL1和v3、vL2和vt的速度方向夾角。利用橢圓軌道上任一相位的速度與軌道六要素的關系,由式(4)推導可得式(5)：

其中e4為Lambert轉移軌道的偏心率,可表示為式(6)[11]：

3 相對幾何約束建模

飛行軌道的設計需要同時考慮速度增量、飛行時長、相對測量約束以及航天員的觀察操控習慣性。速度增量和飛行時長約束較易定義,相對測量和航天員的操控習慣可轉換為對飛行軌道幾何形狀的約束。

3.1 航天員操控約束

對于共橢圓交會策略,TPI機動前的飛行軌道相對固定,主要考慮對Lambert轉移段軌跡的約束,主要有：

1)軌跡設計為向前向上逐漸接近目標飛行器,形成持續的追及狀態,因此著陸器相位要滯后于目標飛行器；

2)避免飛行軌跡穿越目標環月軌道、越到目標飛行器上方再向下交會的情形；

3)TPI機動方向向上,避免朝下向月球機動。

根據Lambert轉移軌道幾何形狀隨a4的變化規律,可得出滿足條件2的約束如式(7)：

當a4小于amin時,著陸器可能在轉移末端越到目標飛行器上方。

同理,可得出滿足條件3的約束如式(9)：

進而求解可得式(10)：

當a4大于amax時,TPI機動的速度增量指向當地水平線下方,即朝向月球一側。

3.2 相對測量約束

為實現著陸器對目標飛行器的連續測量,需要保證測量視線不受遮擋。著陸器和目標飛行器的相對位置關系可用二者的相位差來表述。記入軌時著陸器相位滯后于目標飛行器Δφ0,由于后續飛行過程中著陸器軌道高度逐漸抬升、相位差逐漸縮小,因此入軌時的相對距離最遠,測量視線也最容易被月球表面遮擋。因此,由幾何關系可得Δφ0的約束如式(11)：

其中h0≈hp1,為入軌點高度,Rm為月球軌道半徑。當遠地點高度ha1一定時,TPI機動前的相位差Δφ1-3保持不變,因此將式(11)轉換為對Lambert轉移段相位差Δφ4的約束如式(12)：

由于著陸器配備的相對測量裝置,如遠程雷達等,都有一定的有效探測距離。因此,Δφ0或Δφ4也受相對測量裝置量程的約束。反言之,較小的Δφ0或Δφ4也會降低對相對測量裝置的研制要求。

4 飛行軌道的可行域快速求解

飛行軌道的可行域,是指同時滿足飛行時長、速度增量、相對測量、飛行軌道幾何約束的飛行軌道可行解,可用遠地點高度ha1、過渡段時長t3、Lambert轉移軌道半長軸a4和轉移相位φ4定義。為提高可行域的搜索效率,首先對Lambert轉移段的飛行時長t4、速度增量ΔvL和相位差Δφ4隨設計變量a4的演化規律進行分析。

4.1 Lambert轉移軌道特征參數的演化規律

對于共橢圓交會的第4階段Lambert轉移軌道,朱仁璋[11]給出了飛行時間t4隨半長軸a4單調遞減,速度增量ΔvL隨半長軸a4先減小后增加演化規律。本文需考慮相對測量約束,因此推導第4階段中著陸器和目標飛行器的相位差Δφ4隨半長軸a4的演化規律如下：

記目標飛行器的環月軌道角速率為nt,則結合式(3),相位差Δφ4定義為式(13)：

式(13)Δφ4對a4求導可得式(14)：

不考慮a4的定義域限制時,由式(14)可知Δφ4隨著a4的增加先遞減后遞增,極值點為式(15)：

然而Lambert問題有解的條件是a4≥am=s/2[11],由式(15)可知易知a4-min＜am,因此該極值點無法取到,即在定義域內 Δφ4隨a4單調遞增。

4.2 可行域快速求解流程

上升交會的飛行軌道設計應盡量壓縮t3。入軌相位差Δφ0會隨t3的減小而減小,進而降低對相對測量裝置的要求。同時t3的減小也縮短了總飛行時長。但是過渡段還需為Lambert轉移段的兩次變軌機動進行測量計算準備,不能無限縮小。因此,設計時可根據任務將t3取為可容許的下限值。

對某一特定ha1,a4和φ4為可設計變量,飛行軌道的可行域求解流程如圖2所示,具體步驟說明如下：

1)確定t3和ha1；

2)求解TPI機動前的總飛行時間t1-3、相位差Δφ1-3和CSI機動的速度增量ΔvCSI；

3)根據式(12)計算 Δφ4的上限值 Δφ4-max,若其為負,表明ha1取值太小,不滿足飛行軌道幾何約束,需提高ha1再返回步驟1)；

4)根據式(8)和(10),計算a4的搜索空間,φ4的搜索空間取為(0,π)。

5)根據式(3)、(13)、(5),計算出a4和φ4搜索空間內的t4、ΔvL和Δφ4取值矩陣；

6)根據任務要求,分別確定總飛行時長和速度增量的上限tmax和 Δvmax,根據式(11)給出Δφmax；

7)基于第5)和6)步的結果,利用4.1節的分析結果,快速確定a4和φ4的邊界值,進而可得到由a4和φ4表示的飛行軌道可行域。

圖2 飛行軌道的可行域求解流程Fig.2 Flowchart for solving the feasible region of flight orbit

5 仿真分析

5.1 上升交會軌道的可行域

主要的仿真參數如表1所示。目標飛行器的軌道高度300 km,著陸器可用速度增量200 m/s。從月面起飛至完成交會對接限定在目標飛行器飛行2個軌道周期內完成,考慮到遠程交會后的近程對接任務時間和月面上升入軌時間,tmax取4.25 h。參考阿波羅工程[6],入軌近月點高度設為15 km,恒定高度差取20 km,即遠月點高度設為280 km,過渡段時間取30 min。

表1 仿真參數表Table 1 List of Simulation Parameters

定義h4=a4-Rm,可得a4和φ4的可行域如圖3所示。由結果可見,隨著φ4的增加,a4的取值范圍逐漸縮小,最后h4在φ4=170°時收斂到290 km,與霍曼轉移的情形相同。

圖3 a4和φ4的可行域Fig.3 Feasible region for a4and φ4

5.2 主要性能指標在可行域內的演化規律

圖4～6給出了可行域內ΔvL、t4和d0的變化情況,其中d0為入軌時著陸器與目標飛行器的相對距離。

圖4 ΔVL在可行域內的變化情況Fig.4 Variation of ΔVLin feasible region

由圖4可見,在可行域內ΔvL的變化范圍較大,從最小不到20 m/s至最大可達140 m/s。隨著φ4的增加,ΔvL呈減小趨勢；當φ4一定時,ΔvL隨著a4的增加先減小后增大,特別是在φ4接近180°的時候較為顯著。

由圖5可見,在可行域內t4的變化范圍也較大,從最短不到10 min至最大可達60 min。隨著φ4的增加,t4呈增大趨勢,與ΔvL相反；當φ4一定時,t4隨著a4的增加而減小,但是這種變化較為平緩。

圖5 t4在可行域內的變化情況Fig.5 Variation of t4in feasible region

圖6 d0在可行域內的變化情況Fig.6 Variation of d0in feasible region

由圖6可見,在可行域內d0的變化較小,從825 km至865 km。隨著φ4的增加,d0整體呈增大趨勢,但當φ4＞30°時,每個φ4對應的d0最大值基本一致；當φ4一定時,d0隨著a4的增加而增大。

改變ha1進行仿真,當ha1＜220 km時,已無法滿足圖2的判斷準則,無可行解。當ha1減小時,可行域的面積變化開始并不明顯,直至接近220 km時銳減至0。ΔvL和t4隨ha1的變化情況也不顯著,主要是隨著ha1的減小,d0整體呈遞增趨勢,局部有跳變,如圖7所示。

圖7 d0隨ha1的變化情況Fig.7 Variation of d0with ha1

5.3 算法驗證

采用圖3表示的可行域邊界值特例對算法的有效性和正確性進行驗證,結果如表2所示。

表2給出了每一組設計變量邊界值下的總任務周期tM、總速度增量 ΔVM、入軌相對距離d0、Lambert轉移速度增量方向θv1和θv2的取值情況。其中,θv1定義為Lambert轉移的第1次速度增量方向與當地水平線夾角,指向下方(朝向月球)時為負,反之為正。θv2的定義可類比,為第2次速度增量方向。

這8組軌道設計參數均滿足任務設計約束。第1、3組取到了d0的下限,第2組取到了ΔVM的上限,第 4、6、8 組取到了θv1的下限,第5、7 組取到了θv2的下限。d0、θv1和θv2的下限均由3.1節航天員操控約束給出。因此,可見航天員的操控約束對上升交會軌道的選擇有很大影響。

表2 可行域邊界值特例對應的仿真結果Table 2 Simulation results for specific Cases on the bounds of the feasible region

6 結論

1)隨著末交會段轉移相位的增加,飛行軌跡的可變范圍縮小,直至趨近180°時轉變為霍曼轉移；

2)當目標環月軌道高度為300 km時,過渡段軌道不應低于220 km,主動飛行器之間相對測量范圍至少應為750 km；

3)速度增量消耗隨著末段轉移軌道半長軸的增加呈先減小后增加趨勢,隨著轉移相位的增加呈減小趨勢；

4)任務周期隨著末段轉移軌道半長軸的增加呈單調遞減趨勢,隨著轉移相位的增加呈增大趨勢；

5)同一過渡軌道高度下,相對距離的極大值變化幅度較小。