基于神經網絡的多機械臂固定時間同步控制

(浙江工業大學 信息工程學院，杭州 310023)

0 引言

隨著機械臂的應用越來越廣泛，操作要求越來越復雜化，精密化，單個機械臂系統已經逐漸不能夠滿足控制要求。與單個機械臂相比，兩個或多個機械臂可以完成更復雜的生產任務，如運輸、涂裝、焊接和裝配等[1-2]。多機械臂系統是一個多輸入多輸出，高度非線性，耦合性強的復雜系統，并且又存在著參數攝動，內部摩擦、外界干擾以及未建模動態等不確定性，這些因素給多機械臂同步跟蹤控制增加了難度。因此，提高多機械臂系統的穩定性和精確性，實現多機械臂同步控制，具有重要的研究意義和實用價值[3-4]。

在多機械臂的同步控制過程中，最重要的是保持機械臂之間的同步性能，所以同步控制方法是保證多機械臂系統同步運動的關鍵手段。基于多機械臂同步控制技術重要的研究意義及現實意義，近年來，許多國內外學者進行了研究和探索，并且提出了一系列的同步控制策略，如：主從控制，領導者-跟隨者控制，相鄰交叉耦合控制等[5-7]。文獻[5]結合反饋控制器和非線性觀測器，設計了兩個機械臂的主從同步控制策略。主從控制方式的缺點是當主機械臂受到擾動時對從屬機械臂產生影響，反之，當從屬機械臂受到擾動時，主機械臂無法獲得從屬機械臂的反饋信號。文獻[6]中，提出一種領導者-跟隨者通信網絡拓撲同步控制方法，設計的通信網絡拓撲定義領導者相互之間以及跟隨者之間的同步誤差，并且通過所設計的控制器來實現領導機械臂和跟隨機械臂的精確跟蹤軌跡。文獻[7]采用了交叉耦合同步控制策略，實現了多機械臂系統的位置誤差和同步誤差的漸進收斂。上述提到的同步控制算法中，相鄰交叉耦合策略在多伺服系統中的運用最為普遍[8]。相鄰交叉耦合控制是將每個機械臂自身反饋誤差和與之相鄰的兩個機械臂之間的同步誤差作為反饋信號。其優點是當機械臂的數量增多時，控制器設計的復雜性不會隨之增加。文獻[8]提出了一種基于相鄰交叉耦合同步控制策略的多電機系統控制方法，保證了位置跟蹤誤差和同步誤差同時收斂。

為了進一步提高位置跟蹤控制性能，多機械臂的控制算法逐漸得到國內外學者的關注。目前應用于多機械臂系統的算法主要有基于模型控制、PID控制、滑模控制、自適應控制和魯棒控制等。在眾多的方法中，滑模控制因為其魯棒性好，穩定性高，并且易于實現等優點受到了廣泛關注[9-11]。文獻[9]設計了基于自適應神經網絡的積分滑模控制策略，實現兩個機械臂的同步控制。文獻[10]結合參數自適應和干擾觀測器提出了一種多機械臂分散模糊控制，以保證跟蹤誤差漸進收斂。文獻[11]針對多個機械臂系統開發了一種基于自適應終端滑模的同步控制算法，以保證跟蹤誤差和同步誤差在有限時間內收斂到零。在大多數有限時間控制方案中，收斂時間的上界與系統初始條件有關，這意味著當初始系統狀態發生變化時，收斂時間上界也隨之改變。近年來，在文獻[12]中提出了一種固定時間的控制方案，其收斂時間的上限與系統初始狀態無關。隨后，固定時間控制方案被廣泛應用于航天器、多智能體系統等領域[13]。然而，固定時間控制在具有模型不確定性的多機械臂系統中的研究比較少。

因此，文中針對多機械臂同步系統提出一種基于相鄰交叉耦合的固定時間同步控制算法。通過每個機械臂自身反饋誤差和與之相鄰的兩個機械臂之間的同步誤差作為反饋信號，結合機械臂的跟蹤誤差，得到相鄰交叉耦合誤差，用于固定時間滑模控制器，實現多機械的跟蹤誤差與同步誤差在固定時間內收斂。同時，設計RBF神經網絡權值更新律估計系統非線性動力學模型，從而減小其對系統控制的影響。然后通過李雅普諾夫定理分析系統的收斂性及穩定性。最后，仿真結果證明方法的有效性。

1 系統模型及預備知識

1.1 RBF神經網絡

RBF神經網絡是一種性能良好的前向網絡，具有良好的函數逼近能力、收斂速度快等優點，通常用于對未知干擾及模型不確定部分的估計。徑向基函數是中心徑向對稱的、局部分布的、非負衰減的非線性函數，下面給出的RBF神經網絡用于近似連續函數f(x):Ra→Rb:

f(x)=W*Tφ(x)+δ

(1)

(2)

1.2 多機械臂系統模型

考慮由n個機械臂組成的多機械臂系統，其中每個機械臂有m個關節，則其動力學方程為[11]:

(3)

機械臂系統的動力學特性[14]如下：

特性1：慣性矩陣H(q)是對稱正定矩陣，存在正數h1,h2，滿足如下不等式:

h1‖x‖2≤xTH(q)x≤h2‖x‖2,?x∈Rmn

(4)

(5)

特性3：機械臂系統滿足如下線性關系:

(6)

1.3 相鄰交叉耦合同步策略

為了提高多機械臂的同步性能，減少控制器設計的復雜程度，本文采用了多機械臂相鄰交叉耦合同步控制策略，其結構如圖1所示。

ei=qd-qi

(7)

εi=2ei-ei-1-ei+1

(8)

根據式(7)和(8)可以得到如下表達形式:

ε=Te

(9)

其中:

(10)

E=e+αε=(I+αT)e=Ae

(11)

其中，α為同步系數且為正定矩陣。由式(11)可得(I+αT)為一個滿秩矩陣，由此可以得到當相鄰交叉耦合誤差E=0時，位置跟蹤誤差e=0，同時根據式(9)可以得到，同步誤差ε=0。

本文的控制目標是針對多機械臂系統(3)，設計固定時間滑模控制器τ，實現相鄰交叉耦合誤差E在固定時間內收斂到零，從而實現跟蹤誤差e和同步誤差ε在固定時間內收斂到零。

2 固定時間同步控制

在本節中，針對動力學模型未知的多機械臂系統，構造固定時間滑模面，并在此基礎上設計固定時間滑模控制器，保證系統的跟蹤誤差與同步誤差在固定時間滑模控制器，保證系統的跟蹤誤差與同步誤差在固定時間內收斂。同時設計神經網絡更新律來逼近系統未知動力學模型，從而提高系統的魯棒性。然后利用李雅普諾夫理論證明系統的穩定性。

2.1 固定時間滑模面

針對系統(3)，設計如下固定時間終端滑模面:

(12)

(13)

對固定時間滑模面S求導可得:

(14)

由于γ2-1<0，所以當E=0時滑模面會存在奇異值問題，為了避免奇異值的出現，將ur調整為:

(15)

其中:

(16)

(17)

2.2 控制器設計

根據式(14)可以得到:

(18)

將公式(18)代入多機械臂系統(3)可得:

(19)

其中非線性機械臂方程為:

(20)

如果非線性機械臂方程是已知的，則控制器可以設計為:

τ=f+K1Sρ1+K2Sρ2

(21)

其中:K1,K2>0且為正定對角矩陣，ρ1>1，0<ρ2<1為控制器參數。將控制器(21)帶入多機械臂系統(3)可以得到如下閉環系統:

(22)

根據李雅普諾夫定理可以很容易證明出閉環系統的穩定性，但是如果f中的系統參數和結構是未知的，上述的控制器則不能保證系統的穩定性。因此，采用神經網絡來逼近非線性方程f。

假設存在一個理想權重向量W*，根據公式(1)可以將非線性機械臂方程(20)寫為如下形式:

f=W*Tφ(x)+δ

(23)

(24)

其中:

(25)

將控制器(24)帶入式(19)可以得到以下方程:

(26)

(27)

其中:Γ為正定對角矩陣。

2.3 穩定性證明

引理1[14]：考慮如下非線性系統:

(28)

其中:x(0)=0，F(0)=0，x∈Rn。假設存在李雅普諾夫函數V(x)，滿足以下不等式:

(29)

其中:α>0，β>0，01，則系統固定時間穩定，系統狀態變量收斂時間上界滿足下列不等式關系:

(30)

定理1：針對多機械臂系統(3)，當采用固定時間滑模面(17)時，在固定時間滑模控制器(24)和權值自適應更新律(27)的作用下，系統的穩定性可以得到保證，并且可以得到系統的所有信號均有界。

證明：構造如下李雅普諾夫函數:

(31)

對V1求時間導數，并將式(26)代入，可得:

(32)

根據機械臂的特性2，并且對式(32)的進一步化簡可以得到如下關系式:

(33)

其中:

(34)

證明：

(a)構造如下李雅普諾夫函數:

(35)

對V2(t)求時間導數，并將式(26)代入，可得:

-STK1Sρ1-STK2Sρ2

(36)

根據性質1可以得到:

(37)

根據引理1可知，滑模面S在固定時間內收斂到零，且收斂時間滿足t1≤T1。

(b)當S=0時，根據式(17)可得:

(38)

構建如下李雅普諾夫函數:

(39)

對V3(t)求導數，并將式(38)帶入，可得:

(40)

根據引理1，可以推斷出相鄰交叉耦合誤差E在固定時間內收斂到零，收斂時間滿足t

3 仿真分析

3.1 系統參數設置

為驗證上述方法的有效性，選取4個二關節多機械臂系統為研究對象進行仿真驗證，其表達式為:

(41)

Gi1(q)=(mi1+mi2)gri1cos(qi2)+mi2gri2cos(qi1+qi2)

Gi2(q)=mi2gri2cos(qi1+qi2)。

i=1,2,3,4，mi1,mi2為關節質量，ri1,ri2為關節半徑，Ji1,Ji2為關節轉動慣量，g為重力加速度。

文中設計的針對多機械臂系統提出固定時間同步控制方法，包含滑模面(17)、控制器(24)及權值更新律(27)。為了驗證所提控制方法能夠使系統的收斂時間不受初始值影響，設置兩組系統變量初始值，利用MATLAB軟件建立仿真模型并進行仿真分析。

3.2 仿真實例分析

當系統變量初始值為I時，系統仿真結構如圖2～4所示。由圖2可見，多機械臂的每個關節的角位置跟蹤誤差收斂時間約為1.8秒，誤差收斂精度在10-3rad，由此可見，固定時間滑模控制方法能夠實現較快的位置誤差收斂速度和較高的誤差收斂精度。由圖3可見，系統同步誤差收斂時間為1.8秒左右，由此可以看出文中所提的相鄰交叉耦合同步控制策略的控制器具有較好的同步性能。為驗證神經網絡的函數逼近能力，仿真中給出了神經網絡對未知動力學方程的跟蹤估計曲線，如圖4所示。從圖中可以看出，神經網絡在1.6 s左右準確跟蹤到系統的未知模型，驗證了神經網絡算法良好的函數逼近能力。

圖2 初始值I時多機械臂位置跟蹤誤差

圖3 初始值I時多機械臂位置同步誤差

圖4 初始值I時神經網絡逼近

為驗證本文的所提方法的固定時間收斂的特性，針對系統初始位置變化的情況下，對比系統位置跟蹤誤差收斂時間是否改變。如圖5所示，當系統狀態初始變量設置為初始值II時，多機械臂的關節角位置跟蹤誤差收斂時間約為1.8秒。與初始值I時的收斂時間相比基本不變。仿真結果與文中定理2的證明結果保持一致，驗證了固定時間控制方法中系統的收斂速度與系統初始狀態無關，由此證明了上述所提方法的有效性。

4 結論

針對系統模型未知的多機械臂同步系統，提出一種基于神經網絡的固定時間滑模控制方法。首先定義了相鄰交叉耦合誤差，并以此設計固定時間滑模面和控制器，從而實現多機械臂的位置同步誤差和跟蹤誤差在固定時間內收斂到零。其次，設計RBF神經網絡權值更新律，有效實現了對系統未知動力學模型的逼近，提高了控制性能。通過李雅普諾夫定理證明了系統位置跟蹤誤差與同步誤差的固定時間收斂性能。最后，4個機械臂控制系統的仿真結果表明，該控制方法收斂速度不受初始值影響。