與階乘有關(guān)的兩個(gè)方程的解

姜蓮霞，張四保

(喀什大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，新疆 喀什 844008)

在數(shù)論中，有關(guān)方程解的研究有著廣博的研究成果，如文獻(xiàn)[1-2]就討論了2個(gè)方程解的問(wèn)題。設(shè)n!是正整數(shù)n的階乘,對(duì)于有關(guān)階乘的方程解問(wèn)題的研究是方程研究中最基礎(chǔ)、最重要的問(wèn)題之一[3]。對(duì)于有關(guān)階乘的方程解問(wèn)題，Bencze 和Simmons等提出了一系列的問(wèn)題與猜想，如文獻(xiàn)[4-7]。在國(guó)內(nèi)，對(duì)于有關(guān)階乘的方程解問(wèn)題的討論也有著豐富的研究?jī)?nèi)容，如文獻(xiàn)[8-11]。本文在樂(lè)茂華教授對(duì)有關(guān)階乘的方程解問(wèn)題討論的基礎(chǔ)上，討論了兩個(gè)形式更為一般的方程解問(wèn)題。

1 定理1及其證明

定理1 除p=2之外，方程

(1)

無(wú)解，其中p是滿足p≥2的整數(shù)。

證明 當(dāng)p=2時(shí)，此時(shí)方程就是文獻(xiàn)[12]所討論的方程。以下討論p為p≥3的整數(shù)的情況。

當(dāng)n=1時(shí)，有σ(1！)=1，而

(1×2×…×(p-1))!≥2

因而n=1不是方程(1)的解。

當(dāng)n=2時(shí)，有

而

(2×3×…×(p-1)×(p+1))!≥8!

因而n=2不是方程(1)的解。

當(dāng)n=3時(shí)，有

而

(3×4×…×(p-1)×(p+1)×(p+2))!≥20!

因而n=3不是方程(1)的解。

(n!)n<(n+1)!

(2)

當(dāng)n≥4時(shí)，(2)式左端是

定理1證畢。

2 定理2及其證明

定理2 除p=2之外，方程

(3)

無(wú)解，其中p是滿足p≥2的整數(shù)。

證明 當(dāng)p=2時(shí)，此時(shí)方程就是文獻(xiàn)[14]所討論的方程。以下討論p為p≥3的整數(shù)的情況。

(1×2×…×(p-1)x)!≥(2x)!

因而n=1不是方程(3)的解。

(2×…×(p-1)×(p+1)x)!≥(8x)!

若n=2是方程(3)的解，則有x!+(2x)!=(8x)!,有(8x)!-x！-(2x)!=0,從而有(x+1)(x+2)…(8x)-1-(x+1)(x+2)…(2x)=0，

因而有

(x+1)(x+2)…(2x)[(2x+1)(2x+2)…

(8x)-1]=1

(4)

顯然(4)式是無(wú)正整數(shù)解，因而n=2不是方程(3)的解。

(5)

顯然,當(dāng)n≥3時(shí)(5)式不成立，所以當(dāng)n≥3時(shí)，方程(3)亦無(wú)解。

定理2證畢。