淺析地球經緯網和單位經緯線長度

任正瑛

摘 要：單位經線長度是指經線跨越每1度、每1分、每1秒緯度的長度，單位緯線長度是指緯線跨越每1度、每1分、每1秒經度的長度。了解地球經緯度的定義和性質，在標準球體模型中我們很容易掌握地球經緯網的特征和性質，并推算出地球單位經緯線的長度。但地理學中的經緯度，是以特殊的角度來定義的，經緯線的真實長度受到地球真實形狀和地形的影響，因此，在不同的地球坐標系中，地球的單位經緯線長度并不相等。地球上，不同地點的單位經緯線長度變化遵循什么規律，值得地理學愛好者認真研究和探討。

關鍵詞：地球;經緯度;經緯線;長度

一、地球經緯線和經緯度概述

1、地球經線和經度

經線也稱子午線，是人們為了方便確定地理位置而假設出來的，指示南北方向的輔助線。高中地理教材中是這樣描述經線和經度的：經線是地球表面連接南北兩極的大圓線上的半圓弧;任兩根經線的長度相等，相交于南北兩極點;每一根經線都有其相對應的數值，稱為經度。1884年的國際地理大會將經過格林尼治天文臺的經線定為經度的起點，即“本初子午線”，本初子午線以東叫東經，本初子午線以西叫西經;將東經180°（與西經180°重合），定為“國際日期變更線”，該線兩側日期相差一日;東經用“E”表示，西經用“W”表示，每條東經線與背面的一條西經線共同構成一條經線圈，經度之和為180°。每一度經度分為60分，每一分分為60秒;不同的經線具有不同的地方時，偏東的地方時要比較早，偏西的地方時要遲。地理學里，經度的標準定義是：通過某地的經線面與本初子午面所成的二面夾角。如圖1中，甲、丙同處在東經20°經線面上，經度均為20°W。

2、地球緯線和緯度

緯線也是為了方便確定地理位置而假設出來的，指示東西方向輔助線。它是地球表面某點隨地球自轉所形成的軌跡，它們都相互平行，并與經線垂直。緯線的長度不等，赤道為最長的緯線，從赤道向兩極緯線圈逐漸縮小，到南、北兩極縮小為點。每一根緯線都有其相對應的數值，稱為緯度。地理學里，緯度的標準定義是：過球面上某點作法線（與地面垂直的線），緯度是該法線與赤道平面的線面角（線與面的夾角），其數值在0至90度之間。位于赤道以北的緯線叫北緯，記為N;位于赤道以南的點的緯度稱南緯，記為S，起點面是赤道平面，北緯度的最大值為90°N，即北極點，南緯度的最大值為90°S ，即南極點。赤道、南回歸線、北回歸線、南極圈和北極圈是特殊的緯線。如圖1中，甲、乙的地面法線與赤道平面的夾角均為40°，緯度均為40°N。（如圖1）

3、地球經緯網

經度和緯度都是一種角度。經度是經線平面與本初子午線平面之間的夾角，緯度是與地面法線與赤道平面之間的夾角。在地球儀上，由經線和緯線組成了經緯網，覆蓋全球。將經緯網地球儀展開，就形成了一幅展開的平面地圖，各地顯示比例與圖1的投影圖相比是有差別的。利用圖中確定的地理坐標體系，人們可以確定地球任意一點的方向和位置，便于精確定位（如圖2）。

如果將地球視作標準的球體，地面某點的經度等于球心連線和本初子午線平面的夾角;地面某點的緯度等于球心連線和赤道平面之間的夾角，此時的地球經緯網具有如下特點：

（1）一個經度和一個緯度一起確定地球上一個地點的精確位置。

（2）所有的經線圈都是一樣長，且等于地球赤道周長。

（3）赤道是緯度的起點，也是最長的緯線，其長度向兩極逐漸縮短，直到兩極點的緯線長度為零。

（4）由于一個地點的經度一般與它于協調世界時之間的時差相應，每天有24小時，而一個圓圈有360度，因此地球每小時自轉15度，經線每相隔15度，地方時相差1小時。通過對地方時的測量，一個人可以算得出他所在的地點的經度，為了計算這個數據，他需要一個指示協調世界時的鐘和需要觀察對太陽經過子午圈的時間。

二、標準球體下的經緯線長度和單位經緯線長度

1、標準球體下的經緯線長度

我們知道，地球的平均半徑為6371公里，將地球視為標準球體，根據圓的周長公式，我們很容易算赤道的長度約為40030公里（真實的赤道周長約為40075公里）。由于地球緯度長度由赤道向兩極逐漸減小，因此，地球赤道兩側的其它緯線周長小于赤道周長，且相距赤道越遠周長越小。

如圖3左側所示，我們將經過B點的水平圓弧定義為赤道，它的理論長度為40030公里，將經過A點的圓弧定義為目標緯線，AB處在同一條經線上（即AB垂直于A、B兩點處在的緯度），連接AO和BO，AO垂直于地面，A點的緯度值即為AO與BO之間的夾角θ。用OAB平面截出地球剖面圖如圖3右側所示，OB為赤道的半徑，AO為經過A點緯線的半徑，可知：AO∥OB，∠AOO=90°，OA=OB，所以AO=OAcosθ= OBcosθ。根據周長公式C=2πr，經過A的緯線長度為“赤道周長×cosθ”，所以：過A點緯線周長等于赤道周長乘以A點緯度的余弦。

將地球視為標準球體，根據經線的定義，可以判斷每一條經線圈的長度相等，每條經線等于赤道周長的一半，即約等于20015公里。

2、標準球體下的單位經緯線長度

（1）跨單位緯度的經線長度（簡稱單位經線長度），即經線跨越每1度（或每1分、每1秒等）緯度的長度。如圖1所示的地球經緯度，甲、丙兩點處在同一條經線上，且兩點緯度跨40度，單位緯度長度是指甲丙之間每相距1個單位緯度產生的距離。我們知道標準球體模型下，經線的長度是相等的，那么單位緯度長度也很方便計算，即用經線總長乘以一定的均分系數即可，如下表所示。

（2）跨單位經度的緯線長度（簡稱單位緯線長度），即緯線跨越每1度（或每1分、每1秒等）經度的長度。如圖1所示的地球經緯度，甲、乙兩點處在同一條緯線上，且兩點經度跨40度，單位緯線長度是指甲乙之間每相距1個單位經度產生的距離。由于緯線長度南北半球對稱相等，且與緯度的余弦值成正比，通過查余弦值表，可以計算出不同緯度的緯線長度，再乘以一定的均分系數，即可算出不同緯度地區單位經度的緯線長度。下表列出了幾個代表性緯線上單位經度的緯線長度。

三、地球實際情況的復雜性

人類很早就知道了地球呈球形。2000年多年前，亞里士多德通過觀察不同地區北極星的位置，發現大地是弧形的;1519至1522年，葡萄牙人麥哲倫的船隊完成了人類歷史上第一次環球航行，它以無可辯駁的事實向全人類證明了地球是球形的說法。但是地球并非是規則的球形，這一點直到大地測量術取得發展后，才慢慢被發現，而這一結果的發現與測量單位經緯度的長度有關。我國唐代杰出天文學家一行和尚，在世界上首次推算出單位經線長度（當時的測量結果比真實情況稍有偏差），1730年，西方科學界根據各地測量的單位經緯線長度并不一致，對地球的真正形狀產生了爭論，法國數學家、物理學家莫佩爾蒂運用牛頓運動定律，在恩師約翰·伯努利的悉心指導下，論定地球不可能是標準球體，而是近扁球形的。他的學術對手法國天文學家雅克·卡西尼則認為地球是長球形的。為了平息這場爭論，1736年，他們同時率領一支遠征隊去北極附近和赤道附近測量單位經緯度的長度，結果發現地球的確不是標準球體，而是“兩極稍扁、赤道略鼓”的不規則球體。

此外，由于全球各地地形的不同，地球表面離地心的距離非常復雜，它必定對大地測量的精準度產生影響。在衛星遙感和定位技術成熟后，經過精確測量，并劃定大地平均水準面后（為了減少地形對地球半徑的影響），人們發現：從遠距離看上去，地球形狀像一只梨子：它的赤道部分鼓起，是它的“梨身”，北極有點放尖，像個“梨蒂”，南極有點凹進去，像個“梨臍”，整個地球像個梨形的旋轉體，因此人們稱地球為“梨形地球”。從地心到北極或南極的距離，大約6356.9公里（兩極的差極小，可以忽略）;從地心到赤道的距離，大約6377.8公里;地球平均半徑大約6371.4公里 ，這個數字是地心到地球表面所有各點距離的平均值。據此可計算出地球赤道周長大約為40075千米，比用地球平均半徑計算出來的結果大約增加45公里。

四、地理坐標系統和經緯度大地測量術

1、三大地理坐標系統

地理坐標分為天文坐標系、大地坐標系與地心坐標系。

天文坐標系是以鉛垂線為基準、以大地水準面為基準面建立的坐標系。它以天文經緯度（λ，ψ）表示地面點在大地水準面上的位置，其中天文經度λ是觀測點天頂子午面與格林尼治天頂子午面間的二面角，天文緯度ψ定義為鉛垂線與赤道平面間的夾角。天文坐標系形成得較晚，但對其它坐標系有校正作用。

大地坐標系是以橢球面法線為基準線，以參考橢球面為基準面建立的坐標系，它以大地坐標（L，B，h）表示地面點在參考橢球面上的位置，其中大地經度L為參考橢球面上某點的大地子午面與本初子午面間的二面角，大地緯度B為參考橢球面上某點的法線與赤道平面的夾角，h為大地高，即從觀測點沿橢球法線方向到橢球面的距離。大地坐標系成熟于20世紀半期，我國目前常用坐標系就是大地坐標系 （CGCS2000）。

地心坐標系是與地球真實情況固定在一起的參考坐標系，它以球心為原點建立標準球體坐標系，與地球固連在一起，與地球同步運動，以（L，B）來表示點的位置，其中L為地心經度，與大地經度一致，B為地心緯度，指觀測點與球心連線與赤道面之間的夾角。地心坐標系是天文坐標系與大地坐標系之間融合而成的坐標系，產生時間較晚，但與航空航天密切相關。

2、經緯度大地測量術

人們很早就發現，在地球上任何地點，只要有一只精確的鐘表、一根竹竿和一把卷尺，就可簡易地測出當地的經緯度。方法如下：為了計算方便，我們取中國東北所地，并在春分日當天測量（太陽直射點在赤道上）。在水平地面上垂直地插上竹竿并固定住，假設竹竿的影子最短時是中午13點20分，此時桿長與影長之比為1，則可知該地是北緯45°（tanα=1，則α=45°）。由于我國采用的北京時間位于東八區（中心經線為120°E，中午12點時太陽入射角最高，竿影最短），此地太陽入射角度最高是13點20分，說明地處東八區偏早1小時20分的時區，經度每1小時減15°，4分鐘減1°，說明此地經度為東經100°。后來，人們根據一年中太陽直射點變化規律，可以參照以上方法，在任意時點推算出當地的經緯度，從而建立地球的經緯網，延用至今，這個經緯坐標系屬于大地坐標系。

五、單位經緯線長度的修正

2000多年前，古希臘天文學家托勒密根據前人測量結果，繪制了一份標有經緯度的地中海地圖，對地中海沿岸重要城市等8000多個地方標識了經緯度，這份地圖被航行在地中海中的一些船只用于定位和確定航程。但經過航海家的反復驗證，發現這幅地圖并不實用，許多航線的距離存在偏差，從而發現地球的單位經緯線長度并非完全相等。

下圖4是地球沿某條經線剖開后的地表示意圖，該經線經過B點。為了便于研究，我們將赤道隆起部分放大，即OB>OA。我們畫出地表的法線CG、DF，分別與赤道OB相交于G點和F點。根據大地坐標系和緯度的定義，我們可以發現C點的緯度實際上是∠1的度數，D點的緯度實際上是∠2的度數。如果∠2是∠1的兩倍，即從赤道上的B點出發，到達D點時測量的緯度，是到達C點時測量的緯度的2倍，顯而易見，所經過的弧BC和弧CD并不一樣長。

由于赤道的地球半徑更長，C點處的法線必然更加偏離球心（G點比F點更加向右側偏離），所以弧BC<弧CD，即地表隆起幅度越大，單位經線長度越短，而單位緯線長度就越長。由于地中海沿岸城市地處北緯200至450之間，各地的地球半徑并不相等，航海家依照托勒密地圖在大海上航行，他們認為緯度相差n倍，距離就應該相差n 倍，必然會發生“圖實不符”的現象，這也是莫佩爾蒂在測量北極的單位經緯線長度時，發現北極有些地區的單位經線長度高于赤道附近的單位經線長度的原因。

圖4? 赤道附近單位經緯度測量偏差分析

我們再在弧AB的內側，畫出以OA為半徑的標準圓。使得∠1=∠2=∠3=∠4=∠5，可以看出從地表上的B點向A點移動，單位緯度的長度之差在逐步減小。如果我們把赤道隆起和地形相聯系，同樣可以看出海拔高度也會對單位經緯線長度產生影響，因此大地坐標系與其它坐標系有較大的差別。在現代測量技術出現后，科學家根據地球的平均海拔給地球表面建立了平均水準線，并運用衛星定位系統對經緯坐標進行修正，地球三大地理坐標系統現在均已不受地面海拔的影響。

經過科學家的測量，在廣泛運用的大地坐標系中，不同緯度地區的實際單位經緯線長度如上表3所示。將表3與表1、表2進行比照，可以看出：

1、真實的地球，低緯度區域跨單位緯線長度，比以地球平均半徑為半徑的標準球體的單位緯線長度要長，在45°N和45°S附近差距最大，跨1度經度的緯線長度差距可達到0.3公里;在高緯度區差距逐漸縮短，兩極極點附近一定短于標準球體的單位緯線長度。

2、真實的地球，低緯度區域的單位經線長度，比以地球平均半徑為半徑的標準球體的單位經線長度要短，赤道附近跨1度緯度的經線長度差距可達到0.62公里，相差比例達到5‰，且緯度越低差距越大，在45°N和45°S附近差距幾乎為零;高緯度區域的單位經線長度，比以地球平均半徑為半徑的標準球體的單位經線長度要長，兩極附近跨1度緯度的經線長度差距可達到0.5公里，相差比例接近5‰，且緯度越高差距越大。

由于地球形狀的不規則，天體測量所得的信息（如衛星導航系統）并不能在地面等距離地測出位置。慶幸的是，在衛星遙感和定位系統出現后，科學家利用衛星導航技術對全球的經緯度系統進行了嚴格確定，目前全球定位系統（GRS80）已經對地表任一處經緯度進行了精確定位，避免了再運用大量實測來修正理論計算的復雜過程。

六、結論

根據以上分析，假定地球是標準球體，地球經線長度相等且等于赤道長度，緯線隨緯度增加而增加，且等于赤道長度乘以緯度余弦值。而根據地球真實形狀，利用地球赤道半徑、極半徑和平均半徑，可以計算出赤道長度，確定每跨1度經線赤道的單位長度。由于赤道地區的地球半徑稍長，在大地測量時會發現：赤道地區單位經線長度比理論值要少，相差比例達到峰值5‰，單位緯線長度比理論值要多;在45°N和45°S附近，單位經線長度與理論值相近，單位緯線長度比理論值要多，相差比例達到峰值2‰;在兩極地區，單位經線長度比理論值多，相差比例達到峰值5‰，單位緯線長度比理論值要少，相差比例達到峰值5‰。上述的差距變化遵循漸變規則，在計算時可以粗略估算出來。

隨著高科技的發展，人們對確定目標位置的準確性提出了更高的要求，在精確定位時，我們需要注意不同的坐標系統之間的互換規則。不同的導航設備和地理坐標往往有系統差別，例如，現代大地測量學常用天文經緯度定義地理坐標，地圖學則以大地經緯度定義地理坐標，而在小比例尺制圖中，通常采用地心經緯度。注意這些細小差別，科學地進行坐標系統轉換，并對不同系統中的單位經緯線長度進行驗算比較，才能確保坐標系完全一致，做到“圖實相符”，從而使定位更加精確。