化教材“盲點”為教學“亮點”
——基于人教版6.1“平方根（第二課時）”的思考

☉重慶市璧山中學 王 偉

☉重慶市璧山區教科所 劉志成

新教材最突出的特點是加強了真實的問題情境引入，強調關注學生的探究性活動，更關注學習過程中的學習方式.但教師在使用教材時，在思維的嚴謹性上有些淡化，容易造成課堂教學中出現認識上的盲點，使得學生學習時產生不少困惑，又無法得到合理的解釋.下面將“平方根（第二課時）”的課堂教學實錄展示給大家.

一、課堂實錄

問題1：怎樣用兩個面積為1的小正方形拼成一個面積較大的正方形？

圖1

學生操作后，展示了如下成果：

生1：可以拼成圖2.

生2：可以拼成圖3.

生3：可以拼成圖4.

圖2

圖3

圖4

問題2：你知道你們設計的大正方形的邊長是多少嗎？為什么？

生：由于大正方形的面積為S=2，設邊長為a，那么a2=2，那么a=

問題3：你知道有多大嗎？

生：比1大但比2小.

師：你是怎么知道的？

生：a=1時，S=1，a=2時，S=4.由于S=2，所以比1大但比2小.

師：回答很漂亮！那么，我們能不能做更精確的估計？

學生討論后，感覺有些吃力.

師：請大家算一算a=1.4和a=1.5時S的值，能得到什么結論？

師：那么我們能再精確到小數點后兩位嗎？請大家計算a=1.41和a=1.42時S的值.

以下略，探索過程如下：

表1

教師小組點評：通過學生的探究過程，體驗無限不循環小數的存在，為無理數概念的引入做好了鋪設.

問題4：還可以繼續下去嗎？繼續探索，并判斷：a是有限小數嗎？

生：還可以繼續進行.

師：那么a是有限小數嗎？

生：不知道.

生：好像是喲.但不太肯定！

生∶1.414213562.

問題5：你發現有理數是什么樣的小數？

生：有理數總可以用有限小數或無限循環小數表示；反過來，任何有限小數或無限循環小數都是有理數.

師：像上面研究過的a2=2中的a是什么小數呢？

學生開始猶豫.最后比較順利回答：無限不循環小數.

教師小組點評：本環節通過教師指導，師生合作，通過有理數與無理數的對比，進一步感知數域的擴展，為無理數概念的形成打下了基礎.

2.形成結論

3.有理數與無理數的主要區別

無理數是無限不循環小數，有理數是有限小數或無限循環小數，任何一個有理數都可以化為分數的形式，而無理數則不能.

4.小結

在課堂小結時，教師提出：這節課你學到了什么？你還有什么困惑？

在民主的氛圍中學生開始慢慢議論，接著聲音越來越大，在學生的質疑中，下課鈴聲響起，教師來不及了解學生的困惑就匆忙下課了.

小組總體評價：該課積極為學生搭建學習交流的平臺，學生參與度很高，學生學習方式多樣化，體現了新課改的精神.

二、兩種不同觀念

課下，筆者了解了學生對這節課的想法，并將其梳理出來，與本組教師進行了交流，在交流中，筆者發現了兩種不同觀念的交鋒，現呈現如下：

觀點1：圖2、圖3、圖4為什么是正方形？

學生觀點：我們拼出了圖2、圖3、圖4，我們感覺是正方形，但如何證明呢？

教師觀點：這個問題不需要證明，讓學生感知到就可以了，一方面這是明顯的結論，另一方面，證明正方形是初二下學期的內容，現在證明不可取.

學生觀點：從我們的探究看，也只是探究了其中的一部分，計算器上顯示的是有限的幾位數，你怎么知道它真的就是無限不循環小數呢？

教師觀點：在教材P88的“閱讀與思考”中出現了“為什么說不是有理數？”，因為涉及了分式的有關問題，這是初二下學期才學習的內容，同時證明這個問題需要花太多的時間，會導致教學內容無法完成，所以可以不證明.

觀點3：為什么要說0.1010010001……是無理數？

學生觀點：在翻閱后面的教材“實數”時，我看到了“實數與數軸上的點一一對應”，我知道如、π等這樣的無理數可以在數軸表示出來，那么0.1010010001……該如何在數軸上表示呀？如果不能表示出來，說明無理數不是都在數軸上.

教師觀點：我們也不知道如何在數軸上刻畫，只做結論陳述，讓他們記住就行了，在我們的教輔資料上出現了這樣的數，指導學生抓住概念就可以了，它首先滿足無限，還有不循環，它肯定是無理數.因為它是客觀存在的，萬一在考試中出現了怎么辦？因此應該講.

對以上學生想法，有教師認為是鉆“牛角尖”，筆者不這樣認為，以上兩種觀念的交鋒反映了我們教材和課堂教學存在的問題，從而造成學生認知上的“盲點”.

三、解決問題的辦法

杜威把教學分為五個步驟：設計情境，產生真實的問題，從事必要的觀察，展開問題可能的途徑和方法，檢驗和驗證解決問題的方法是否有效.

為什么教師認可的好課，學生卻有如此多的疑惑？筆者經過長時間的思考，認為所謂“盲點”就是教材沒有做出明確的解釋，課堂教學也容易忽略而造成學生認知障礙的地方.根據杜威的教學理論便得到了合理的解釋.就本課教學具體分析如下：

1.設計真實、合情的情境，是學習的前提

圖5

新的問題又出現了，那就是圖2、圖3、圖4是正方形嗎？教材沒有證明，教師也往往默認了.要解決這個問題，其實學生是有基礎的.筆者查閱了小學關于正方形的描述——“四個角相等，四條邊相等的四邊形叫作正方形”，我們結合全等三角形的知識就可以解決.

對“正方形的問題”，一方面有新版教材的問題，另一方面教師在處理教材時，認為大家都認可，所以忽略了證明.如果教師不解決學生提出的“正方形的問題”，那么我們就缺乏合理展示的背景，這是本課知識結構得以發展的基礎.因此建議教材提出“你拼出的圖形是正方形嗎”，以此警醒我們的課堂教學，更真實地展示的背景，使得課堂教學探究活動得以有力推進，這何嘗不是教學的亮點之一呢？

2.設計合理的探究途徑，是學習的核心

現代教學理論認為，教學目標就是要關注學生課堂的達成度，而不是追求教學內容的完整性，面對學生的困惑，教師應當有所作為.學習中學生產生了困惑，就是教學活動中的閃光點，教師應及時抓住，適時引導，合情推理，那么課堂教學就會變得更有活力.

筆者認為，在初中階段，對于無限無規律問題，使用不完全歸納法得不到合理說明的，使用不完全歸納法學生是能夠接受的.因此，我們不僅應該深刻理解教材反映的數學知識，準確解析概念及其反映的數學思想方法，而且應當把握學生理解概念時容易產生困難或錯誤的地方，并在此過程中，讓知識留下思維的印記，實現數學能力的發展，培育理性精神.為了解決這個問題，建議將“閱讀與思考”作為教材學習內容重要的組成部分加以學習，那么問題便可得到很好的解釋.

3.設計檢驗和驗證問題場所，是學習的保障

“0.1010010001……是無理數”無法得到有效驗證，因為“0.1010010001……是無理數”在數軸上無法做準確的刻畫.為此教材是這樣描述的：很多平方根和立方根都是無限不循環小數，無限不循環小數又叫作無理數.例如都是無理數，π=3.14159265……也是無理數.這些無理數都有真實的背景，如果按極限來理解0.1010010001…=是一個發散的數，在實數范圍內我們對這個數如何驗證呢？有教師認為它是一個“人造數”，“告訴學生它真的在數軸上就行了，只是現在我們知識有限無法刻畫而已”，問題真的是這樣嗎？筆者也無法正面回答這個問題，所以咨詢了有關人士，他們對這個問題也無法做出合理的解釋，筆者查閱了相關資料也沒有相關介紹，大家都回避了這個問題，看來教材中沒有說這個問題是有一定道理的.

通過反思，筆者認為要把教材“盲點”化為教學“亮點”，這是兩個層面的問題.教材主要面對“教什么”的問題——為了有效地達成課程標準所設定的素養目標，課程研制者建議“一般應該教什么”.課堂教學內容同時面對兩個問題：第一，針對具體情境，對于這一班乃至這一組、這一個學生，為使他們或他（她）更有效地達成既定的課程目標，“實際上需要教什么”；第二，為使這一班乃至這一組、這一個學生能更好地掌握既定的課程內容，“實際上最好用什么去教”.因此，面對教材中的“盲點”，關鍵還是“怎么教”的問題.在知識的學習探究中，不應因自己的“疏忽”而造成學習者學習的“盲點”，執教者應抓住“盲點”設計合情、真實的情境，使用合理的探究途徑和方法，這樣學習者才能習得數學思維和數學方法而產生“亮點”，在數學的天地里留住一群熱愛數學的人！