讓學生插上思維的翅膀
——以“點與圓的位置關系”教學為例

☉山東省東營市墾利區永安中學 張 群

新課標指出，教師是學習活動的引導者和組織者，學生是課堂的主人，要充分體現以人為本的教學理念，尊重學生的個體差異，通過學生自主探索與合作交流，發展學生的空間觀念，豐富想象力，引發學生的發散思維和創新意識，不斷提高學生的數學素養及綜合能力.下面是我在新課標指導下，在“圓的基本概念”一節中的一個教學片段，即“點與圓的位置關系”的探究教學，為幾何教學的研究提供了一個非常好的教育教學案例.

圖1

教師運用多媒體給出探索題目：

已知矩形ABCD中，AB=6，BC=8.

（1）以點A為圓心，以6為半徑的圓，與點B、C、D有怎樣的位置關系？

（2）以點A為圓心，以8為半徑的圓，與點B、C、D有怎樣的位置關系？

（3）若以點A為圓心，以r為半徑作圓，使B、C、D三點中至少有一點在圓內，有一點在圓外，則r的取值如何？

學生很容易根據點和圓的位置關系的判斷方法，解決（1）和（2），但是解決（3）時出現了困難！

教師讓學生獨立思考2分鐘.教師巡視，給予較落后的學生以指導.學生積極投入思考.教師發現學生最需要的是解決問題的方法.

學生經過獨立思考，運用投影儀展示出了自己思考的結果：6＜r＜8.

師：大家還有不同的想法嗎？

這時，一個數學成績并不顯眼的學生半舉起了他的手，他一直不太喜歡數學，認為自己天生就不是學習數學的料兒，缺乏自信，但從學習“圓”一章開始，他好像突然興趣比以往濃厚了許多，教師一直在等待著、尋找著讓他喜歡上數學、建立自信的機會.

生：我不確定我的想法對不對！

師：沒有關系，大膽說！說出來或許就是一個真理！

生：我認為r應該大于6，小于10.

這個學生說完后，許多學生不以為然，讓他說出為什么.

師：你來講臺上展示一下你畫的圖形，好讓大家更清楚地思考！

他將畫的不太規整的圖形演示給其他學生，并做了簡短的并不工整的說明.

這或許是他第一次登上課堂的講臺做演說！他有些手忙腳亂，有些羞澀，但從他的眼神中可看得出他很高興！講完后，他紅著臉匆匆地回到了自己的位子上.

師：他的想法對嗎？

有些學生通過他的圖形再思考后，認為是對的，但有些還是堅持自己的觀點.

師：大家有兩種想法，究竟哪一種正確？哪一種才是科學道理？

教師借助那個學生的圖，清楚地重復了那個學生的想法，給學生指出半徑為8時的情況，讓學生再仔細思考是否符合條件.

學生的好奇心和求知欲達到高潮！

教師讓學生展開第一輪的小組討論.教師巡視，發現學生能夠跨過半徑為8的情況，討論半徑再大時是否符合條件，但是到什么時候為止呢？

經過頗有爭議的討論，小組間展示討論成果時，有三個組確定答案是6＜r＜10.（全班共分6個小組）但其他組提出異議：為什么到10為止呢？

教師讓得到確定答案的學生來展示，并講解.

生：當半徑為6時，有兩個點在圓外，有一個點在圓上，半徑再小，則三個點都在圓外，半徑再大，正好至少有一個在圓內，一個在圓外，但到10時，又有一個在圓上，另兩個在圓內了，不再符合條件，再大就都在圓內了.

聽完這個優生的講述，學生不約而同地給予了熱烈的掌聲，多數學生能夠理解了.

教師表揚了這名學生以后，又運用幾何畫板更好地展示了半徑依次為6、8、10、再大的情況.學生點頭，這說明學生終于理解了這個看似簡單的幾何動態問題！

師：第一個發現“新大陸”的是——

學生集體回答著那個同學的名字.

教師提議給他掌聲.

學生給了他贊許、肯定的掌聲.

我很興奮，終于又讓一個孩子走進了數學的思維殿堂，我想他的明天一定會更美好！

師：解決這類題的基本思路是怎樣的呢？（激發學生尋找這類動態幾何問題的解決方法）

小組內開始展開第二輪激烈的討論，歸納解決此類動態幾何問題的基本思路！

師：一個小組先回答，其他小組補充！

生：先找特殊的情況研究，如此題：先找半徑為6時的情形，再找半徑為8（一點在圓上，兩點在圓外）時的情形，然后是半徑為10（兩點在圓內，一點在圓上）時的情形，這樣中間的就是我們要找的部分了！

教師進行了簡要的總結：先找動態中的靜態時刻，即找臨界線，進而研究中間過程，就可以很容易地解決此類問題.

學生自我探究、小組交流、小組歸納總結，終于清楚地找到了解決此類動態幾何問題、分類討論問題的思路和方法，很好地開拓了思維，擴充了探究幾何問題的方法！

【反思】

（1）這個教育教學案例很好地突出新課標的指導思想，以課堂學習為載體，以學生探究為主體，以教師的及時發現、引導為輔助的基本原則，為學生高效學習創造了和諧的學習環境，為學生數學素養的養成提供了很好的空間.

（2）改變了傳統的教育教學方式，充分借助教學中的時機，對學生的求知欲、成功欲進行培養和引導，及時給予學生鼓勵、表揚、引導，使學生能夠從數學中找到滿足，找到成功感，進而更加熱愛數學.

（3）改變了學生的角色和學習方式，由學生原來的被動地聽，改成了今天的主動地講，由原來的參與當群眾，變成了今天的參與當主角，在小組合作交流探究中，優生積極發揮主動能動性，給予學困生適當的指導與幫助，使其有了一定的上進渴望，希望能夠給予他們回報，產生了要對小組做出貢獻的責任感，讓自己逐漸成為一名可以幫助其他人的優生，這就讓他們主動去學習，主動去探究，主動去參與，將課堂以生為本的理念貫徹得非常到位.

（4）很好地將幾何探究問題的方法加以總結、歸納，讓學生從探究中發現，從交流中歸納，從歸納后應用，從應用中體會、掌握，掌握學習探究幾何問題的方法，使得學生能夠以“法”來學習，以不變應萬變.