一道中考試題的多解思路探究

☉湖北省武漢市左嶺第一初級(jí)中學(xué) 王曉霞

解題是人類的一項(xiàng)基本活動(dòng).人類有意識(shí)的思維中大部分均與題目有關(guān).數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與解題息息相關(guān).在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，近幾年的一些中考試題、調(diào)考試題成為研究的熱點(diǎn).首先，這些題目的命制均來源于在數(shù)學(xué)方面有造詣的一些專家、名師，他們對(duì)知識(shí)的理解非常深刻，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用非常精通；其次，這些題目均與平常所做的題目或多或少有些不一樣，從而在解答時(shí)候需要仔細(xì)斟酌；最后，這些題目所展現(xiàn)出來的知識(shí)呈現(xiàn)方式、思維方式、解決問題的方式均值得好好研究與學(xué)習(xí).筆者長期在一線從事基礎(chǔ)教育工作，研究試題是日常工作中重要的一部分，現(xiàn)針對(duì)2018年武漢市中考選擇題第10題，談自己的一點(diǎn)感受.

一、試題呈現(xiàn)

（2018年武漢市中考第10題）如圖1，在⊙O中，點(diǎn)C在優(yōu)弧AB上，將弧BC沿BC折疊后剛好經(jīng)過AB的中點(diǎn)D.若⊙O的半徑為，AB=4，則BC的長為（ ）.

圖1

圖2

二、多解思路

思路1：如圖2，連接OD，作直徑AE，連接BE，過點(diǎn)O作OG⊥BC于點(diǎn)G，交AB于點(diǎn)H.通過計(jì)算易得：BE=BD=2.因?yàn)橄褺E與弦BD是等圓中的兩條弦，所以它們各自所對(duì)的劣弧是等弧，即，所以與是等弧，則∠ABC=∠EBC=45°.在等腰Rt△HBG中，斜邊BH=2+1=3，所以直角邊BG的長為，故BC=

思路1反思：垂徑定理的學(xué)習(xí)與應(yīng)用可以讓學(xué)生順勢(shì)而為連接OD.但只有這條輔助線此問題是無法推進(jìn)的.聯(lián)系題目已知條件，易想到構(gòu)造直徑AE，連接BE.通過簡(jiǎn)單計(jì)算發(fā)現(xiàn)BE=BD=2，這是一個(gè)非常重要的信息，而這個(gè)重要信息是通過計(jì)算獲得的，由此展開分析，利用45°構(gòu)造等腰直角三角形解決問題.

思路2：如圖3，過點(diǎn)E作EF⊥BC于點(diǎn)F，連接CE.由思路1知∠ABC=∠EBC=45°.在等腰直角△BEF中，BF=EF=因?yàn)椤螩=∠A，∠CFE=∠ADO=90°，所以△CEF△AOD且相似比為所以CF=AD=2，故BC=BF+CF=3.

思路2反思：思路2建立在思路1的基礎(chǔ)之上，同樣BC平分∠ABE得到特殊角45°是此解法的出發(fā)點(diǎn)，計(jì)算上兩種處理方法均使用相似求解.

圖3

圖4

思路3：如圖4，在思路1的基礎(chǔ)上，由于BC平分∠ABE，所以過點(diǎn)C作CF⊥AB，CG⊥BE，垂足分別為F、G.易證四邊形CFBG為正方形，設(shè)正方形的邊長為t.在等腰直角△AOC中，計(jì)算得AC=.在Rt△AFC中，利用勾股定理建立方程：（4-t）2+t2=（）2，求得t1=3，t2=1（舍去）.故在等腰直角△CFB中，計(jì)算得BC=3.

思路3反思：BC是∠ABE的平分線，自然聯(lián)想到向角的兩邊作垂線，通過勾股定理建立方程求出關(guān)鍵線段的長，從而計(jì)算出BC.

圖5

思路4：如圖5，過點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，連接AC、CD.與所在的圓是等圓，且它們所對(duì)的圓周角均為∠ABC，所以與是等弧，故AC=DC=.在等腰△ACD中，根據(jù)三線合一，可知點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)，所以在Rt△CDF中利用勾股定理計(jì)算出CF=3，易得BC=3.

思路4反思：∠ABC所對(duì)的弧有兩段，分別為與，雖然這兩段弧不在同一個(gè)圓中，但這兩段弧所在的圓是等圓，從而將角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為弧的相等關(guān)系，再轉(zhuǎn)化為弦的相等關(guān)系，這是本思路的著眼點(diǎn).

思路5：如圖6，因?yàn)椤螦BC=∠EBC=45°，從而注意到AC=EC，故將△CBE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CFA，則△CBE△CFA，所以∠CAF=∠CEB，F(xiàn)A=BE=2.因?yàn)椤螩EB+∠CAB=180°，所以∠CAF+∠CAB=180°，故F、A、B三點(diǎn)共線，所以BF=AB+FA=4+2=6.在等腰Rt△FCB中，已知斜邊，計(jì)算得直角邊BC=3.

思路5反思：基于∠ABC=∠EBC，推理得到AC=EC，故使用旋轉(zhuǎn)法.

思路6：如圖6，延長線段BA至點(diǎn)F，使AF=EB，連接CF.易證△ACF△ECB，則CF=CB，∠FCA=∠BCE.因?yàn)椤螦CE=90°，所以∠FCB=90°，即△FCB為等腰直角三角形，且斜邊長為6，所以直角邊BC=3.

圖6

圖7

思路6反思：使用補(bǔ)短法構(gòu)造全等三角形.

思路7：如圖7，類比思路5，將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△EFC.易證B、E、F三點(diǎn)共線，可知△BCF為等腰直角三角形，易得BC=3.

思路7反思：類比思路5，使用旋轉(zhuǎn)法，但旋轉(zhuǎn)的方向不同.

思路8：如圖7，類比思路6，延長線段BE至點(diǎn)F，使EF=AB，連接CF.易證△ABC△EFC，簡(jiǎn)單推理即可知△FCB為等腰直角三角形，且斜邊長為6，所以直角邊BC=3.

思路8反思：類比思路6，使用補(bǔ)短法.

思路9：如圖8，取點(diǎn)O關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)O′，則O′為折疊之后的所在圓的圓心，⊙O與⊙O′為等圓，過點(diǎn)O′作O′E⊥AB于點(diǎn)E，則DE=BD=1.連接O′D、OO′、CO′，過點(diǎn)O作OG⊥O′E于點(diǎn)G，四邊形ODEG為正方形，所以O(shè)G=1，GE=1.計(jì)算得O′E=2，所以O(shè)′G=1.在Rt△OO′G中，利用勾股定理，得OO′=.根據(jù)對(duì)稱性，可知：HO′=，OO′⊥BC.在Rt△CHO′中，算得CH=，則

思路9反思：思路9的著眼點(diǎn)在于將表面的折疊問題看作一個(gè)隱圓問題，構(gòu)造出這個(gè)隱圓，在隱圓中將問題解決.

圖8

圖9

三、解法升華

本題是武漢市2018年中考第10題，它的定位是一道有一定區(qū)分度、一定思維高度要求的題.本題雖然解法靈活，形式多樣，但是本題的切口并不大，主要切入點(diǎn)在同圓或等圓中弦、弧、圓周角之間的關(guān)系.如圖9，作直徑AF，連接OE、BF，對(duì)學(xué)生來說是可以自然而然作出來的輔助線，通過簡(jiǎn)單計(jì)算可知BE=BF，學(xué)生難以由這兩條弦相等推導(dǎo)出它們所對(duì)的劣弧相等，這是本題的第一個(gè)難點(diǎn).另外學(xué)生不易發(fā)現(xiàn)與是等弧，這是本題的第二個(gè)難點(diǎn).為什么會(huì)出現(xiàn)這種現(xiàn)象？主要還是學(xué)生并沒有深入理解等圓的概念，學(xué)生傾向于或者更擅長處理同一個(gè)圓中弦、弧、圓心角、圓周角之間的關(guān)系，實(shí)際上它們的等量轉(zhuǎn)化關(guān)系在等圓中也成立.人教版教科書九年級(jí)（上）第二十四章“圓”第一節(jié)明確指出能夠重合的兩個(gè)圓叫作等圓.容易看出：半徑相等的兩個(gè)圓是等圓.本題中實(shí)際上有兩個(gè)圓，而且這兩個(gè)圓是等圓.如果突破了這兩個(gè)難點(diǎn)，這個(gè)問題就變得非常簡(jiǎn)單了，可以抽象化、一般化為圖10，在⊙O中，BD是∠ABC的平分線，∠ABD=α，延長BC至點(diǎn)E，使CE=AB，連接DE、DC、DA，過點(diǎn)D作DF⊥BC，垂足為F.則△DCE?△DAB，所以DE=DB.在等腰△BDE中，，所以， 即AB+BC=2BD·cosα.

圖10

本文中的考題是一個(gè)選擇題，可以直接利用上述45°角時(shí)的結(jié)論求得BC=3.這樣既提高準(zhǔn)確度，又節(jié)省時(shí)間，不失為一種較好的處理方法.

四、寫在最后

通過對(duì)武漢市中考試題中選擇題第10題的研究發(fā)現(xiàn)：沒有任何一個(gè)題目是完全沒有見過的，雖然本題是一道有一定難度的題，但是經(jīng)過分析還是能將它轉(zhuǎn)化為一個(gè)比較熟悉和簡(jiǎn)單的問題，從而解決問題；任何一個(gè)看似復(fù)雜的問題也仍然是由一些比較簡(jiǎn)單的問題重組而成的，在分析時(shí)要善于步步為營地將問題分解，各個(gè)擊破；解題不單純是一種“智力活動(dòng)”，其中很大程度上是對(duì)學(xué)生意志的考查，學(xué)生很多時(shí)候由于畏難情緒，喪失了解決問題的迫切需求，解題欲望下降，主觀能動(dòng)性不足，因而無法解決問題.所以，在數(shù)學(xué)解題過程中，要調(diào)動(dòng)一切的智力因素與非智力因素，從基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法出發(fā)，合理分解，最終將一個(gè)未知問題轉(zhuǎn)化到一個(gè)比較熟悉和比較簡(jiǎn)單的問題上來，從而解決問題.