圓冪定理及其應(yīng)用*

☉北京市豐臺(tái)二中 甘志國(guó)

圓冪定理在平面幾何中有重要應(yīng)用，相交弦定理與切割線定理都是其重要推論，反過(guò)來(lái)，用它們也可給出圓冪定理的證明.文章還給出了圓冪定理在解答自主招生試題中的應(yīng)用.

圓冪定理：若過(guò)定點(diǎn)P作一動(dòng)直線與定圓⊙O（其半徑是R）交于A、B兩點(diǎn)，則PA·PB=|OP2-R2|（把常數(shù)|OP2-R2|叫作定點(diǎn)P對(duì)于定圓O的冪）.

證明：當(dāng)點(diǎn)P在⊙O外時(shí)，如圖1所示，作PT切⊙O于點(diǎn)T，連接OT、OP，可得∠OTP=90°.

圖1

圖2

由切割線定理及勾股定理，可得PA·PB=PT2=OP2-R2=|OP2-R2|.

當(dāng)點(diǎn)P在⊙O上時(shí)，不妨設(shè)點(diǎn)A與點(diǎn)P重合，可得PA·PB=0=|OP2-R2|.

當(dāng)點(diǎn)P在⊙O內(nèi)，即點(diǎn)P在線段AB上且不是端點(diǎn)時(shí)，如圖2所示，作⊙O過(guò)點(diǎn)P的直徑ST.

由相交弦定理及勾股定理，可得PA·PB=PS·PT=（R-OP）（R+OP）=R2-OP2=|OP2-R2|.

綜上所述，可得欲證結(jié)論成立.

注：由該證明可得：也可把圓冪定理的結(jié)論用向量表示為

題目：（2013年北京大學(xué)暑期體驗(yàn)營(yíng)數(shù)學(xué)試題第3題）已知拋物線y=x2+ax+b與坐標(biāo)軸交于三個(gè)兩兩互異的點(diǎn)A、B、C，且△ABC的外心在直線y=x上，求a+b的值.

解法1：可設(shè)點(diǎn)A（x1，0）、B（x2，0）、C（0，b）（b≠0）.

因?yàn)辄c(diǎn)A、B均在拋物線y=x2+ax+b上，所以x1、x2是關(guān)于x的一元二次方程x2+ax+b=0的兩個(gè)根.

由于△ABC的外心在直線y=x上，可設(shè)△ABC的外接圓方程是x2+y2+mx+my+n=0.由點(diǎn)A、B均在該圓上，可得x1、x2是關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+n=0的兩個(gè)根.

所以m=a，n=b.

再由點(diǎn)C（0，b）在圓x2+y2+mx+my+n=0上，可得b2+ab+b=0（b≠0），則a+b=-1.

解法2：可設(shè)點(diǎn)A（x1，0）、B（x2，0）、C（0，b）（b≠0）.

因?yàn)辄c(diǎn)A、B均在拋物線y=x2+ax+b上，所以x1、x2是關(guān)于x的一元二次方程x2+ax+b=0的兩個(gè)根（因而x1x2=b）.

由于△ABC的外心在直線y=x上，可設(shè)△ABC的外接圓圓心為.再由圓冪定理的注可 得x1x2=b=，則a+b=-1.

注：本題源于2008年高考江蘇卷第18題：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)二次函數(shù)f（x）=x2+2x+b（x∈R）的圖像與兩坐標(biāo)軸共有三個(gè)交點(diǎn)，經(jīng)過(guò)這三個(gè)交點(diǎn)的圓記為C.

（1）求實(shí)數(shù)b的取值范圍；

（2）求圓C的方程；

（3）問(wèn)圓C是否經(jīng)過(guò)某定點(diǎn)（其坐標(biāo)與b無(wú)關(guān)）？請(qǐng)證明你的結(jié)論.