圓中常用的解題技巧

☉山東省淄博第十中學 李作洪

☉山東省淄博市淄川實驗中學 法婷婷

圓是解析幾何中重要的基礎內(nèi)容，是學好解析幾何的關鍵.解題時不僅要用到圓的有關知識，而且常用到一些技巧.現(xiàn)舉例說明.

一、巧用位置關系

例1過原點的直線與圓x2+y2+4x+3=0相切，若切點在第三象限，則該直線的方程是（ ）.

解析：易得所求直線的斜率存在.

由于直線過原點，所以可設直線方程為y=kx，即kxy=0.

圓的方程可化為（x+2）2+y2=1，則其圓心是（-2，0）.

練習1：（2005年全國）求圓心為（1，2）且與直線5x-12y-7=0相切的圓的方程.

二、巧用直線的斜率和截距

例2如果直線將圓x2+y2-2x-4y=0平分，且不過第四象限，那么直線l的斜率的范圍是（ ）.

解析：易得直線的斜率存在.

圓的方程可化為（x-1）2+（y-2）2=5，則其圓心為（1，2）.由直線l平分圓，得直線過圓心（1，2），則可設直線方程為y-2=k（x-1），即y=kx+2-k.又直線l不過第四象限，則則0≤k≤2，故選A.

練習2：（2005年北京）從原點向圓x2+y2-12y+27=0作兩條切線，則這兩條切線的夾角的大小為（ ）.

三、巧用對稱性

例3自點A（-3，3）發(fā)出的光線射到x軸上后，被x軸反射，其反射光線所在的直線與圓C：x2+y2-4x-4y+7=0相切，求光線l所在直線的方程.

解析：根據(jù)光的反射定律，如果反射光線與已知圓相切，則入射光線必與已知圓關于x軸的對稱圓相切.

圓C的方程為（x-2）2+（y-2）2=1，它關于x軸的對稱圓C′的方程為（x-2）2+（y+2）2=1.

易得直線l的斜率存在.

設光線l所在直線的方程為y-3=k（x+3），即kx-y+3k+3=0.

即3x+4y-3=0或4x+3y+3=0.

練習3：（2003年全國）直線y=2x關于x軸對稱的直線方程為___________.

四、巧用平面幾何知識

例4已知圓滿足：①截y軸所得的弦長為2；②被x軸分成兩段圓弧，其弧長的比為3∶1；③圓心到直線l∶x-2y=0的距離為.求圓的方程.

解析：設圓心為點P（a，b），半徑為r，則圓心到x軸、y軸的距離分別為|b|、|a|.

由題意可知：圓截x軸所得的弦長為?，則r2=2b2.

由圓被y軸截所得的弦長為2，得r2=a2+1.

則2b2=a2+1.

則r2=2b2=2.

故圓的方程為（x+1）2+（y+1）2=2或（x-1）2+（y-1）2=2.

練習4：（2005年江蘇）圓O1和圓O2的半徑都等于1，|O1O2|=4，過動點P分別作圓O1、圓O2的切線PM、PN（M、N為切點），使得|PM|=|PN|.試建立平面直角坐標系，并求動點P的軌跡方程.