例談初中數學拓展性作業的設計

☉江蘇省蘇州市相城經濟技術開發區漕湖學校 倪 勇

數學作業是課堂教學的延續，學生通過作業可以達到鞏固所學知識、提升數學能力的目的.然而，由于受應試教學的影響，為了提高班級平均分，教師往往給學生布置大量淺層次的數學作業題，此舉不但加重了學生的課業負擔，同時，讓學生對這類作業產生了抵觸情緒，從而傷害了學生學習數學的積極性.那么，如何改變這種現象呢？筆者認為，教師應加強初中數學拓展性作業的設計，讓學生在別樣的數學作業中感受數學，欣賞數學，從而促進他們數學思維的發展，以達到培養數學學科核心素養的最終目的.那么，在初中數學教學中，教師應如何設計拓展性作業呢？本文結合具體的教學實踐，談談自己的做法與看法，供大家參考.

一、數學拓展性作業，趣味是“王道”

古人云：興趣是最好的老師.數學作業要讓學生自覺、主動地完成，應具有一定的趣味性.尤其是數學拓展性作業.這類作業，首先，應該是課堂探究的延續，其次，不僅與課本有聯系，更是源于課本知識，又高于課本知識，對學生具有一定的挑戰性.

比如，在“凸多邊形”的教學中，教師不僅要把握好教材內容，更要把所學的知識內容與實際聯系起來，設計有關問題讓數學走進學生的生活.在課堂上，我提出了如下問題：

如何求這個少加的角的度數？一般情況下，題設應告訴我們已知多邊形的邊數，然后我們可根據多邊形的內角和定理求出它的所有內角的和，減去除這個角外的其余各角之和就是這個少加的角的度數.然而本題中不知多邊形的邊數，因此無法求出它的內角和.于是我們應該深入、仔細分析，另辟蹊徑，探求解題新思路.我們不妨觀察多邊形的內角和計算公式（n-2）·180°的特點：它是180°的整數倍，而1125°不是180°的整數倍，因此我們可用1125°除以180°，看余下的度數是多少.因為多邊形的每個內角都不會大于或等于180°，所以與“余下的度數”的差就是張明同學少加的那個內角的度數.求出了這個角的度數，再求多邊形的邊數就容易了.

這個問題背景新穎，又是從實際中來，學生倍感親切，在教師的引導下，他們很快解決了問題.那么這節課后，教師該如何布置作業呢？能否在多邊形內角的角度上做文章呢？于是，我布置了如下拓展題，從“網絡爬蟲”出發，抓住學生的心，以“凸多邊形的內角和”為關鍵詞，幫助學生復習舊知，同時注重數學文化與能力的拓展，具體如下：

拓展性作業設計1：網絡爬蟲是一種互聯網網頁抓取工具，其算法與數學的一個重要分支圖論有著密切的聯系.圖論可以追溯到大數學家歐拉提出的“哥尼斯堡七橋問題”.圖論中討論的圖是由一些節點和連接這些節點的線組成的.請你回答下列問題：

把一個矩形區域劃分成n個凸多邊形區域（這些凸多邊形區域除公共邊外，沒有公共部分）.已知構成這n個凸多邊形的頂點中，恰有6個頂點在矩形內，12個頂點在矩形的邊界上（含矩形的頂點）；同時，任何3個頂點不共線（除矩形邊界上的頂點共線外）.若圍成這n個凸多邊形的線段中，恰有18條線段在矩形區域內，則這n個凸多邊形中四邊形個數的最大值為___________.

解析：設這n個凸多邊形中，有k3個三角形，k4個四邊形，k5個五邊形，…，km個m邊形.則這n個凸多邊形的內角和為

另一方面，矩形內部有6個頂點，對于每個頂點，圍繞它的多邊形的內角和為.矩形邊界線段內（不含矩形頂點）有8個頂點，在每個頂點處，各多邊形在此匯合成一個平角，其和為.在矩形的每個頂點處，各多邊形在此匯合成一個直角，其和為.因此，這n個凸多邊形的內角和為

再考慮這n個凸多邊形的邊數.由于每個凸m邊形有m條邊，因此，這n個凸多邊形的邊數和為3k3+4k4+5k5+…+mkm.

另一方面，由條件知在矩形內部的18條邊，每條邊都是兩個凸多邊形的公共邊，應計算2次.而在矩形邊界上的12個點，得到12條線段，它們都對應某個凸多邊形的邊.因此，這n個凸多邊形的邊數和為18×2+12=48.

則3k3+4k4+5k5+…+mkm=48 ②.

聯立①和②，消去k3，得k4+2k5+…+（m-3）km=9.則k4≤9.

圖1

又如圖1所示的劃分符合要求，此時，k3=4，k4=9.

則k4的最大值為9，即這n個凸多邊形中，最多有9個四邊形.

實踐證明，雖然這類問題具有難度，卻符合學生的心理需求，很受他們歡迎，對學生的智力發展也具有一定的作用.

二、數學拓展性作業，探究是“上道”

為了加強基礎知識、基本運算與基本技能，教師授課應立足于應知應會的內容，但課外作業要注重學生探究能力的培養.數學拓展性作業，一般應起源于當天所學的知識，是當天課堂內容的延伸與拓展，具有探究性.要讓學生經過一定的思考和探究才能找到答案，探究之后要讓學生獲得滿足感和成就感.所以從某個角度看，數學拓展性作業，探究是“上道”.

例如，在學習一元二次方程的根與系數的聯系，即韋達定理后，教師都要通過例題與練習加強學生對所學內容的理解.我給出了如下問題與學生探討：

問題1：已知關于x的方程x2-kx-k=0有不等實根，求實數k的取值范圍.

問題2：已知關于x的方程x2-kx-k=0的不等實根為x1與x2，且（x1-1）（x2-1）=24，求實數k的值

問題3：已知關于x的方程x2-kx-k=0有不等實根，求兩個根的平方和的取值范圍.

以上三個問題由淺入深，積極引導學生利用韋達定理，并反映出應用過程中的易錯點.那么這節課后，如何讓學生的思維能力提高一個層次呢？我給出了如下問題：

拓展性作業設計2：已知關于x的方程x2-kx-k+9999=0的兩根都是素數，求k的值.

解析：設方程x2-kx-k+9999=0的兩根分別為p、q.

則（p+1）（q+1）=10000=24·54①.

當m=1時，p=9，不是素數，舍去.當m=2時，p=49，不是素數，舍去.當m=3時，p=249，不是素數，舍去.當m=4時，p=1249，是素數.此時，，q=7，也是素數.則p=1249，q=7，k=p+q=1256，符合要求.

則p=19，q=499，k=p+q=518，符合要求.

綜上所述，k=518或k=1256.

這道題從一元二次方程根與系數的關系入手，最終落腳點卻在討論與的奇偶性，而解答的每一個步驟都體現了解題者的探究精神與解題毅力.誠然，這類問題具有很強的能力要求，會讓部分學生望而卻步，但這類拓展題不僅僅是讓學生會做，更可培養他們的探究精神與思維品質，所以值得嘗試.

三、數學拓展性作業，發展是“正道”

數學教學的最終目的，是發展學生的思維水平與數學能力，因此數學拓展性作業，發展是“正道”，判斷數學拓展性作業是否可行，是否有效，應看它能否促進學生思維的發展.數學思維具有批判性、求異性、深刻性和廣闊性的特征，筆者認為，數學拓展性作業也應該具有這樣的特征.數學課堂上，教師通常推崇一題多解，其實一題多解也是數學拓展性作業的好素材.由于受課堂教學時間的限制，往往讓“一題多解”探究意猶未盡.筆者認為，教師應該把它繼續引向數學拓展性作業.

拓展性作業設計3：如圖2，G為△ABC的重心，點D在CB的延長線上，且，過點D、G的直線交AC于點E，則

課堂上，教師與學生互相探討，發現了如下解法：

如圖3，連接AG，并延長交BC于點F.

圖2

圖3

設CM=k，則CE=3k，EM=2k，AE=4k.則AC=7k，故

那么，本題還有其他解法嗎？請大家課后繼續探究.

減負是一個永久的話題，如何給學生減負？教師可以從數學拓展性作業著手.這種作業雖然量大大減少了，但學生的思維沒有減弱，學生的學習興趣反而加強，在倡導培養學生核心素養的當今教育下，這種作業方式值得大家一試并推廣.