真值為格值的二型模糊集及其運算

嚴衛平， 王學平

（四川師范大學 數學與軟件科學學院，四川 成都610066）

二型模糊集的概念是由Zadeh［1］在1975年首次提出，他擴展了一般模糊集和區間值模糊集的概念．文獻［2－4］給出了二型模糊集的性質與運算．2001年，Karnik等［5］討論了二型模糊集的集合運算（包括取小與乘積t－模的并交運算）、代數運算、二型模糊集隸屬度的性質、二型模糊關系及其合成．2002年，Mendel等［6］介紹了二型模糊集的表示定理，他們不使用擴展原理而用表示定理證明了并、交、補運算．2005年，Walker等［7］等討論了二型模糊集的真值運算與真值代數，并對二型模糊集真值代數的結構進行了研究．2007年，Hading等［8－9］研究了二型模糊集真值代數的子代數，證明了它的一些子代數是格，且討論了格的完備性．2010年，Harding等［10］還討論了二型模糊集真值代數的生成問題．2014年，Walker等［11］給出了有限鏈上二型模糊集的運算性質．2014年，Hu等［12－13］在文獻［7］的基礎上討論了線性序集上二型模糊集真值的二元運算的擴展t－模運算，隨后又討論了二型模糊集的t－模運算、二型模糊數的性質、二型模糊關系以及區間值二型模糊集．2014年，Wang等［14］在文獻［12－13］的基礎上討論了蘊含運算．2016年，Gonzalo等［15］給出了次隸屬函數的廣義二型模糊集的交與并運算等．

以上討論都是在［0，1］上．本文是在文獻［7，12］的基礎上，將［0，1］拓展到完備分配格上，討論真值為格值的二型模糊集的運算及其性質．

1 完備分配格L上的二型模糊集的模糊真值運算

設L是完備分配格（有關格知識參見文獻［16］），X 上的模糊集是映射A：X→L，稱A（x）為模糊集A在x處的隸屬度，稱X為模糊集A的定義域，稱L為模糊集A的值域．所有X到L的映射構成的集合記為Map（X，L）．對任意A，B∈Map（X，L），定義A≤B當且僅當對任意x∈X，A（x）≤B（x）．對任意Ai∈Map（X，L），x∈X，定義（∪Ai）（x）＝∨Ai（x）， （∩Ai）（x）＝∧Ai（x），i∈Ii∈Ii∈Ii∈I其中I為指標集．易見，模糊集的序≤，運算∪及∩均以點式定義方式來源于格（L，≤，∨，∧）．設J為完備分配格L的完備子格．拓展二型模糊集的定義如下．

定義1．1 設X為非空集合，稱映射A：X→Map（J，L）為X上二型模糊集．

記X上所有二型模糊子集構成的集合為Map（X，Map（J，L））．Map（J，L）的元素是L 的一般模糊集．與Map（X，L）一樣，Map（X，Map（J，L））中二型模糊集的運算可從Map（J，L）的運算以點式定義方式得到．與文獻［7］中Map（X，Map（J，［0，1］）的二型模糊集的運算一樣，可以使用卷積構造Map（J，L）上的運算．設U、V 是2個集合，ο是U 上的二元運算，▲是V上的二元運算，▼是V上另一二元運算，則可用如下方式定義集合Map（U，V）上的二元運算·：對任意f，g∈Map（U，V），定義稱f·g為f與g的卷積．

以下利用卷積運算，可以定義Map（J，L）上的運算．

定義1．2 如果映射N：L→L滿足：

1）對任意x，y∈L，如果x≤y，則N（y）≤N（x）；

2）對任意x∈L，N（N（x））＝x，則稱N為L上的強否定．

定義1．3 設f，g∈Map（J，L），N 為L 上強否定運算，定義fg和fg如下：

定義1．4 設f∈M，定義M中的fL和fR如下：對任意x∈J，

易見，函數fL是單調遞增的，而fR是單調遞減的．

定理1．1 設f，g∈M，則：

1）f≤fL，f≤fR；

2）（fL）L＝fL，（fR）R＝fR；

3）（fL）R＝（fR）L，因此（fL）R可以寫成fRL或者fLR；

證明 由定義1．4知1）、2）與8）顯然成立．

3）對任意x∈J，

因此，任意x∈L，

4）對任意x∈J，

又

5）對任意x∈J，

即（f∪g）L＝fL∪gL．類似可證（f∪g）R＝fR∪gR．

6）對任意x∈J，所以（f∩g）L≤fL∩gL．類似可證

7）對任意x∈J，

定理1．2 設f，g∈M，則：

證明 對任意x∈J，f，g∈M，

又由（L，∨，∧，0，1）是完備分配格知（Map（J，L），∩，∪，0－，1－）是完備分配格，因此

（由定理 的結論 ））1．11

所以

類似有

所以

注1．1易見，如果定理1．2中函數f與g均是單調遞增的，則等號成立 因為此時．

但等號一般不成立．

例1．1 設L＝｛0，a，b，1｝滿足a與b不可比，且a∨b＝1，a∧b＝0，則易見（L，∧，∨，0，1）是完備分配格．

1）設f（0）＝1，f（a）＝a，f（b）＝b，f（1）＝0；g（0）＝1，g（a）＝b，g（b）＝a，g（1）＝0，則

而

所以

而

所以

命題1．1 設f，g∈M，則：

2）fLgL≥fL∩gL，fL∩gL≤fLg；

3）fRgR≥fR∩gR，fR∩gR≤fRg；

證明 1）對任意x∈J，

2）由定理1．2及定理1．1的結論2）知

3）由定理1．2及定理1．1的結論2）知

4）對任意x∈J，

5）由定理1．2直接可證．

命題1．2 設f，g∈M，則：

證明 1）對任意x∈J，

因此，若y∧z≤x，則存在y1，z1∈J使得y1≥y，z1≥z，y1∧z1＝x．故

又對任意x∈J，因為

因此，若y∨z≥x，則存在y1，z1∈J使得y1≤y，z1≤z，x＝y1∨z1．故

又對任意x∈J，因為

注1．2 命題1．2中等號一般不成立．

例1．2 設格L是平面的所有閉子集構成的完備分配格，且f，g∈Map（L，L）．

由命題1．1的結論2）知fLgL≥fL∩gL，所以（fg）L（x）＜（fLgL）（x），即（fg）L＜fLgL．同理可證其余等式也不成立．

注1．3 定理1．3中等號一般不成立．

例1．3 設L＝｛0，a，b，1｝滿足a與b不可比，且a∨b＝1，a∧b＝0，則易見（L，∧，∨，0，1）是完備分配格．

1）設f（0）＝a，f（a）＝b，f（b）＝1，f（1）＝0，

則

所以

2）設f（0）＝0，f（a）＝a，f（b）＝1，f（1）＝b，則：

定理1．4 設f，g，h∈M，則：

證明 1）對任意x∈J，

2）對任意x∈J，因此，

定理1．5 設f，g，h∈M．若格L是無限分配的，則：

證明 對任意 ， x∈J

（由L的無限分配性）

（由L的無限分配性）

定理1．6 設f，g，h∈M，則：

證明 對任意x∈J，

定理1．7 設f，g，h∈M．若格L是無限分配的，則：

證明 對任意x∈J，（由L的無限分配性）

注1．5 定理1．7中等號一般不成立．

例 設 （ （）， ）， ｛，，｝，1．4 L＝PowA∈A＝012設f，g，h∈Map（L，L），

設x＝1L，則