非自治半線性退化隨機拋物方程的動力學行為

楊 瀟， 李曉軍

（河海大學 理學院，江蘇 南京211100）

1 預備知識

考慮在DN上帶有Wiener型乘積噪聲的非自治半線性退化拋物方程

其中，DNRN（N≥2）是一個具有光滑邊界DN的有界區域，λ 是正常數，g（t，x）∈L2loc（R；L2（DN）），ω是定義在概率空間上的雙邊實值 Wiener過程．非線性f∈C1（R，R），滿足：

其中，l＞0，αi，βi＞0，i＝1，2．對于方程（1）中非負可測的擴散系數σ（x），σ：DN→R＋∪0，假設滿足：

使得

對于確定的半線性退化拋物方程的動力學已有大量的研究，如文獻［1－3］．由于退化擴散系數的出現，退化拋物方程動力學行為的研究有別于傳統的方法，主要表現在解的正則性估計與緊吸引集或吸收集的得到．自然界的許多現象帶有隨機性，帶隨機項的拋物方程動力學行為研究也備受關注（如文獻［4－8］）．文獻［4］研究了非退化帶乘積噪聲拋物方程隨機吸引子的存在性，文獻［9－10］研究了帶可加噪聲自治的退化拋物方程吸引子的存在性與正則性．

本文在有界域上研究帶乘積噪聲的非自治退化系統（1）隨機吸引子的存在性．首先，通過Ornstein－Uhlenbeck變換，將方程（1）轉化為一帶隨機參數的方程．其次，通過限制非自治項的增長和在（2）和（3）式之下，說明D－拉回吸收集的存在性．最后，通過在權空間中解的正則性估計，得到緊的吸引集．

令‖·‖和（·，·）表示在L2（DN）上的范數和內積，‖·‖p表示Lp（DN）上的范數．

1．1 函數空間 假設N≥2，α∈（0，2），令

令空間D1，20（DN，σ）是C∞0按下列范數的閉包

D10，2（DN，σ）上的內積定義為：

按此內積定義的空間 D10，2（DN，σ）是一個 Hilbert空間，由文獻［11－12］有以下結論．

引理1．1 假設DN是RN上的有界集，N≥2，且σ滿足條件（h），則有：

1）D10，2（DN，σ）L2α＊（DN）是連續的；

2）當p∈［1，2α＊）時，D10，2（DN，σ）Lp（DN）是緊的．

1．2 隨機動力系統 以下敘述中關于隨機動力系統的相關概念與理論，可參考文獻［5－6，13］．

令Q是一個非空集，（Ω，F，P）是一個概率空間．（X，‖·‖X）是一可分的Hiblert空間，其上的Borelσ－代數為 B（X）．對任意的t∈R，σt：Q→Q是一映射，稱（Q，｛σt｝t∈R）為一參數動力系統，若對任意的s、t∈R，有σs＋t＝σsοσt，σ0是Q 上的恒同映射．類似地，θ：R×Ω→Ω是（B（R）×F，F）－可測的，θ0在Ω上恒同映射，且對任意的s、t∈R，有θs＋t＝θsοθt和θtp＝p，稱（Ω，F，P，｛θt｝t∈R）為度量動力系統．

定義1．2 令（Q，｛σt｝t∈R）和（Ω，F，P，｛θt｝t∈R）分別為參數動力系統和度量動力系統，映射

稱為X 上定義在（Q，｛σt｝t∈R）和（Ω，F，P，｛θt｝t∈R）上的隨機余圈，如果對于任意的q∈Q，w∈Ω和任意的s，t∈R＋，有：是可測；

（ii）φ（0，q，w，·）是X 上的恒同映射；

稱為隨機余圈φ在X中的連續余圈，如果對于任意的q∈Q，w∈Ω 和t∈R＋，φ（t，q，w，·）在X 中是連續的．

令D表示X中非空子集組成的集合

為確保拉回吸引子的唯一性，引入下面概念：稱D是包含閉，若對任意的

如果

那么

定義1．5 令D是X的非空子集族組成的集合．稱φ是X上D－拉回漸近緊，如果對任意的q∈Q，ω∈Ω，當xn∈B（σ－tnq，θ－tnω），其中

且tn→∞時，序列在X中有收斂子列．

定義1．6 令A＝｛A（q，ω）：q∈Q，ω∈Ω｝∈D，稱A是φ的D－拉回吸引子，如果：

（i）A關于F在Ω中是可測的，且對任意的q∈Q，ω∈Ω，A（q，ω）是緊的；

（ii）A是不變的，即對任意的q∈Q，ω∈Ω，φ（t，q，ω，A（q，ω））＝A（σtq，θtω），t≥0；（iii）A吸引D中任意集合，即

公司生技部、安監部、人資部、市場部等部門負責人，公司黨校(教育培訓評價中心)分管培訓負責人，各地市級供電單位，云南電科院、建設分公司、帶電作業分公司、送變電工程公司等分管生產和安監的相關負責人，以及各供電局縣級供電企業分管生產的負責人共計80多人參加會議。

其中d（·，·）是X上的Hausdorff半距離．

定理1．7 令D是X的非空子集族組成的集合，且是包含閉的．φ 是X 上定義在（Q，｛σt｝t∈R）和（Ω，F，P，｛θt｝t∈R）上的連續余圈，則φ有唯一的 D－拉回吸引子A存在當且僅當φ在D上有一個閉可測的D－拉回吸收集

K＝｛K（q，ω）：q∈Q，ω∈Ω｝，

2 方程（1）的變換系統

下面通過Ornstein－Uhlenbeck變換將方程（1）轉化為相應的含隨機參數的非自治方程．

定義作用于（Ω，F，P）的群｛θt｝t∈R：

由文獻［5－6，14］知，其穩定解為

其中u是方程（1）的解，則v是

的解，其初值條件為

由文獻［14］中引理3．1可知，e－bz＊（ω）是緩增的．設方程（1）中的λ滿足

則由遍歷定理［15］可知

運用經典的Galerkin方法［16］可知，如果g（t，x）∈Ll2oc（R；L2（DN）），f 滿足（2）和（3）式時，方程（8）和（9）在L2（DN）中存在唯一的弱解v（·，τ，ω，vτ），且對任意關于t≥τ，解關于初值vτ連續依賴．對t∈R＋，τ∈R，ω∈Ω和uτ∈L2（DN），定義

則φ是方程（1）在L2（DN）生成的連續隨機余圈．令B是L2（DN）中的有界非空子集，‖B‖＝suupB‖u‖L2（DN）．假

∈設D＝｛D（τ，ω）：τ∈R，ω∈Ω｝是L2（DN）的一族有界非空子集，且滿足：對任意的τ∈R，ω∈Ω，有

令D表示L2（DN）中滿足（13）式的有界非空子集組成的集合，即

顯然D是包含閉的．

對非自治外力項g（x，t），假設

3 隨機吸引子的存在性

對方程（8）的解進行一致估計，證明D－拉回吸收集的存在性和余圈φ的漸近緊性，從而得到隨機吸引子的存在性．

引理3．1 假設（2）、（3）及（15）式成立，則對任意的 D＝｛D（τ，ω）：τ∈R，ω∈Ω｝∈D，存在T＝T（τ，ω，D）＞0，當t≥T 時，有

其中vτ－t∈D（τ－t，θ－τω）．

證明 將（8）式與v在L2（DN）中作內積，可得

注意到，由（2）～（4）式、H?lder不等式以及Young不等式，可得：

由（17）～（19）式有

故

在［τ－t，τ］和t＞0對（21）式應用Gronwall引理可得

在（22）式中，用θ－τω 代替ω 得

由于e－2bz＊（θtω）是緩增的，故對任意的ε1＞0，存在T1＝T1（ε1，ω），有

由（11）式可得，對任意的ε2，存在T2＝T2（ε2，ω），有令ε＝ε＝1γ珔，對t＞T＝max｛T，T｝，有

124312

應用（15）和（24）～（26）式有

故對任意的τ∈R，ω∈Ω和D∈D，存在T＝T（τ，ω，D）＞0，使得t≥T時，有

引理3．2 假設（2）、（3）和（15）式成立，則對任意的τ∈R，ω∈Ω，D＝｛D（τ，ω）：τ∈R，ω∈Ω｝∈D，存在T′＝T（τ，ω，D）≥1，使得當t≥T′時，有

其中，r＞max｛T3，T′｝．

證明 將（21）式在［0，t］，t＞0上應用 Gronwall引理，有

在（28）式中首先用T4代替t，T4＞T3，再用θ－tω 代替ω，有

故對充分大的t，t＞T4，應用（24）式得（29）式兩邊同乘以e34（T4－t）γ珔得

（20）式在［T4，t］上應用Gronwall引理，t＞T4＋T3，用θ－tω 代替ω 并應用（30）式得

在（31）式中，用t代替T4，t＋r代替t，其中r＞T3，有

注意到，對t≤s≤t＋r，有

由于‖v0（θ－t－rω）‖2是緩增的，故存在T′（D，ω）＞0，當r＞max｛T3，T′｝，由（32）和（33）式可得

引理3．3 假設（2）、（3）和（15）式成立，則對任意的τ∈R，ω∈Ω，D＝｛D（τ，ω）：τ∈R，ω∈Ω｝∈D，存在T″＝T″（τ，ω，D）≥1，使得當t≥T″時，有

證明 將（8）式與 Av＝－div（σ（x）▽v）在L2（DN）中作內積，有

注意到

由（34）～（36）式可得取t≥T′，且s∈（t，t＋r），這里T′與r同引理3．2，對（37）式在（s，t＋r）上積分，有

用θ－t－rω 代替ω 有

對（39）式中s在（s，t＋r）上積分有

由引理3．2可得

至此，有下面主要結果．

定理3．4 假設（2）、（3）、（8）和（9）式成立，則由系統（1）生成的隨機動力系統φ于L2（DN）上存在唯一的隨機吸引子A．

證明 由引理3．1可知，在假設（8）和（9）成立下，φ于L2（DN）中存在緩增的拉回吸收集．由引理3．3可知，φ是拉回漸近緊的，故應用定理1．7，結論成立．