隨機植物－食草動物模型的共存性與排斥性

張卿卿， 黃在堂， 林 怡， 張 綠， 陸桂菊

（南寧師范大學 數學與統計學院，廣西 南寧530023）

植物－食草動物的相互作用一直是生態學、進化生物學和資源管理中重點研究的問題［1］．然而，大多數植物－食草動物模型沒有考慮將毒素介導的瀏覽效應納入植物種群動態．為了探討植物毒性對植物－草食動物相互作用的動力學行為的影響，考慮植物毒素引起的食草動物數量的減少，從而修改傳統的Holling II型功能反應，建立了毒素確定的功能反應（TDFR），稱為毒素確定的功能反應模型（TDFRM）［2－3］．與以往的植物－哺乳動物相互作用模型［4－5］相比，它展現出各種復雜的動力學行為．

本文只考慮二維TDFRM系統，包括一種植物物種和一種食草動物群體的情形［2－3，6］，從而此系統可由以下微分方程描述其中，N（t）表示可用于食草動物的植物的生物量，P（t）表示在時間t的食草動物的生物量，毒素確定的功能反應為是HollingⅡ型功能反應，r和K 分別是植物物種的固有生長速率和承載能力，e表示每一個食草動物與每單位植物的接觸率，h表示處理一單位植物生物量所需的平均時間，β表示消耗的植物生物量轉化為新的食草動物生物量（通過生長和繁殖）的轉化率，d為食草動物的自然病死率，常數G表示食草動物每單位時間可消耗的最大毒物量，且＜G＜．然而現實社會中，生態系統不可避免遭受環

境的影響，例如颶風、地震、流行病等因素．因此，在二維TDFRM系統引入隨機因素，則模型轉化為如下隨機模型其中，N0＝n0＞0，P0＝p0＞0，模型中的參數都是正數，B1（t）、B2（t）和 B3（t）表示標準一維布朗運動．

本文主要研究隨機植物－食草動物模型的長期性行為，引入2個閾值λ1、λ2來定義隨機共存性與排斥性．首先，當λ1＞0且λ2＞0時，則發生共存，再利用指數鞅不等式、遍歷理論和馬爾科夫性等理論，證明了隨機植物－食草動物模型存在唯一的不變概率測度，從而給出了共存性條件；其次，當λ1＜0或λ2＜0時，則發生排斥；然后，通過運用強大數定律、非常返性和Portmanteau定理等理論，給出了隨機植物－食草動物模型排斥性的條件，且證明了模型正解分布的收斂性．

1 主要結論

命題1．1［7］下面這些論斷成立：（i）存在M0＞0使得

成立，其中V（n，p）＝（n＋p）－1＋（n＋p）；

（ii）對任意ε＞0，H＞1，T＞0，存在珨H＝珨H（ε，H，T）＞1，使得，當z∈［H－1，H］×［0，H］時，

成立，并且當z∈［0，H］×［H－1，H］時，

成立；

（iii）對任意θ∈（0，3），存在Mp＞0，使得

下面先考慮模型（2）N軸上的邊界方程

c＊1為歸一化常數．根據遍歷性（文獻［10］中的定理3．16），對任意可測函數g（·）：R＋→R滿足

則有

其中φn是（3）式的初始值為n的解．特別地，對任意θ∈（－∞，3），

定義

類似地，考慮該模型的另一個邊界方程

該方程存在唯一不變概率測度π＊2．定義

其中f＊2（·）是π＊2的密度函數，且

下面詳細說明λ1、λ2的定義和使用．為了確定Nz（t）是否收斂到0，考慮當 Nz（t）在足夠長的時間內仍然很小時它的Lyapunov指數．因此，由I公式可得方程

該方程有唯一不變概率測度π＊1∈（0，∞），其密度函數為

當T足夠大時，（8）式右邊第一項與第三項都很?。@然，如果Nz（t）在［0，T］內足夠小，則Pz（t）趨近于ψp（t）．由遍歷性［10］，可得趨近于λ2．下面采用文獻［11］的方法給出隨機共存和排斥的定理，然后說明本文的主要結果，最后給出證明．

定理1．1 如果λ1和λ2都為正數，那么2個物種共存，而且解Z（t）在R2＋上存在唯一不變測度μ＊，使得：

（i）Z（t）的轉移概率P（t，z，·）在總變量中收斂于μ＊，z∈R2＋；

（ii）對于任何μ＊－可積函數F（z）：R2＋→R，有

定理1．2 如果λ1＜0且λ2＞0，那么Nz0（t）的分布弱收斂于π＊1且如果λ1＞0且λ2＜0，那么Pz0（t）的分布弱收斂于π＊2且

定理1．3 假設λ1與λ2都為負數，對于任意z0∈R2＋，有uz0＞0，vz0＞0且uz0＋vz0＝1，則有：

而且Zz0（t）弱收斂于

其中δ＊是收斂于0的Dirac量度．更準確地說，對于任何可測集A，BR，有

2 共存性

下面給出在證明過程中將多次用到的指數鞅不等式．對任何的a＞0，b＞0，

下面給出在證明過程中將多次用到的指數鞅不等式．對任何的a＞0，b＞0，如果W（t）是Ft－適應的布朗運動，m（t）是實值適應過程，那么幾乎處處成立（文獻［12］中的定理1．7．4）．應該指出的是在文獻［12］的定理1．7．4中，不等式被表述為一個有限的間斷．然而（9）式成立，由于

1A為集合A上的示性函數．利用命題1．1的（iii）和Holder不等式，可估計得

其中常數θ1、θ2與z、T、A 無關．特別地，當A＝Ω時，

所以

下面定義一停止時間

引理2．1 任取T＞1，ε＞0，σ＞0，存在一δ＝δ（T，ε，σ）＞0，使得

基于（8）式，當ω∈Ωz1時，有令δ＝σεe－rT，若n≤δ，則

引理2．2 對任意的H＞1，T＞1，ε＞0，ν＞0，存在一σ＞0使得對所有z∈（0，σ］×［H－1，H］滿足

證明 根據命題1．1的（ii），能找到一足夠大的數珨H滿足

令

由B－D－G不等式可得以下估計

其中m珡＝m珡（H珨，T）＞0．利用Gronwall不等式，得到

當σ足夠小時，由Chebyshev不等式可得

即得

結論得證．

引理2．3 對任意的ε＞0，存在＾M＞0，滿足

證明 由于

再運用命題1．1的（iii）和Chebyshev不等式可得結論．證畢．

命題2．1 假定λ2＞0，對任意ε＞0，H＞1，存在T＝T（ε，H）＞0和δ0＝δ0（ε，H），滿足對任意的z∈（0，δ0］×［H－1，H］，有：

證明 由（7）式，對任意小的ν有

＾M滿足引理2．3．再由ψ（t）的遍歷性（見（4）式），即存在

滿足

鑒于引理2．2，找到σ＝σ（ε，H）＞0使得

且

其中

根據引理2．1，存在δ0＝δ0（ε，H）對任意的］滿足

其中

其中

綜上，任取z∈（0，δ0］×［H－1，H］和

證明 令ε＝ε（Δ）∈（0，1），H＝H（Δ）＞1．再令Λ＝θ2（1x＋2｜H｜）1／u＊ε－1．根據（12）式的結論和命題2．1，存在δ0∈（0，1）和T＞1，使得

可得

命題2．2 假定λ2＞0，則對于任意Δ ＞0，存在使得

其中

則有

若

對于任意的z0∈R2＋，利用Z（t）的 Markov性質可得

記D ∶＝［H－1，H］2＝∪3i＝0Di，由B－D－G不等式可得以下估計

其中

再根據命題1．1的（i），有

與

顯然

再根據（17）、（18）和（20）式可得出

注意到

再根據（19）和（21）式，只要選擇足夠大的 H＝H（Δ）和足夠小的ε＝ε（Δ），則結論得證．

定理1．1的證明 任取ε＞0，由于λ1＞0，則類似于命題2．2，存在T′＞1和δ′2＞0使得此外，在命題2．2的證明中可以看出，可以選擇足夠大的T′和足夠小的δ′滿足上述不等式．不失一般性，令T′＝T，δ′2＝δ2，有由此不等式與命題1．1中的（i），可知存在一緊集GR2＋滿足

再根據命題1．1中的（ii），知存在l＞1，使得對任意的z∈G，t∈T，有

利用Markov性質得

故對任意z0∈R2＋，

即有

這意味著存在不變概率測度．定理1．1的其余結果可由模型的非退化性得證，詳情可見文獻［13－14］．因此定理1．1即共存性得證．

3 排斥性

為了證明定理1．1即共存性，只需要估計在足夠長但有限的時間內解在邊界附近的行為．相反要證明定理1．2與1．3即排斥性，需要估計在有限時間內φn（t）－Nz（t）的值．由于在確定性情況下，對于方程

的解的逆N－1（t）滿足線性微分方程，則該方程更容易處理．因此先考慮φn－1（t）－Nz－1（t）的值．

引理3．1 對任意的H＞1，T＞1，ε＞0和γ，存在σ珓＞0使得z∈［H－1，H］×（0，σ珓］有

證明 根據命題1．1中的（ii），可以找到＾H＝＾H（ε，H，T）＞1對任意的z∈［H－1，H］×（0，H］有

當 ＾H－1≤Nz（t），φz（t）≤＾H 時，有

再應用引理2．2，則結論得證．

命題3．1 假定λ1＜0，對任意的 H＞1，ε＞0，

γ＞0和λ∈（0，－λ1），存在一使得

證明 考慮

令．因為

可找到η1，η2，η3∈（0，1）有

與

由（4）式的遍歷性，存在T1＝T1（ε，H），使得其概率大于1－ε，那么有

與

再結合φH－1（s）≤φn（s）≤φH（s）a．s．，且其概率大于1－ε，對于s≥0，n＞H－1有：

和

成立時，

因此，當ω∈Ωz6∩z≥T1，有

其中

又因

令

根據（22）、（23）式，則當ω∈Ωz6∩Ωz7∩｛z≥T1｝時，有

若N≤1，記

有

其中

且

再令

利用（26）、（27）式可得

其中

因此，對所有n∈［H－1，H］，使得

其中

顯然，可以找到一T3＝T3（ε，H）＞T1∨T2滿足

取足夠小的σ珓＝σ珓（ε，H）＜1，有

再根據引理2．1與3．1，找到足夠小的δ珘＝δ珘（ε，H）有：

和

當ω∈Ω珟z時，根據（34）、（35）式，有

因此，在Ω珟z中有

即

時，有

證畢．

命題3．2 對于任意的H＞1，ε＞0和ρ＞0，存在δ珔＞0使得對任意的z∈［H－1，H］×（0，δ珔），有

與

由命題3．1，存在δ珋＞0滿足對所有的z∈［H－1，H］×（0，δ珔］，有

其中

與

運用φn（t）的遍歷性與鞅的強大數定理，可得下面結論

則

此再根據文獻［15］中定理2．2的證明以及Pz（t）在Ω珚z1中收斂到0，可得對ω∈Ω珚z1幾乎處處成立．再由（36）～（38）式可得命題，即得證．

下面證明定理1．2和1．3．

定理1．2的證明 假如λ1＜0且λ2＞0，考慮任意的ε＞0，γ＞0，λ∈（0，－λ1）．根據命題1．1，則存在H＞1，使得

成立，這里C∶＝｛H－1≤n∨p≤H｝．類似命題3．1，存在＞0，滿足當C1∶＝［H－1，H］×（0，δ珘1），

又因為λ2＞0，故類似于命題2．2，存在T4＞1，δ珘2＞0，使得

結合（39）、（41）和（42）式可得

存在i0使得．由 Markov

性質與（40）式可推導出

同樣，利用命題3．2和上面的論點，可得到

再利用鞅的強大數定理，有

將（43）～（45）式代入（8）式得

下面主要證明Nz－01（t）在（0，∞）的分布弱收斂于測度π1，其值為

根據Portmanteau定理，令w（·）為（0，∞）上的Lipschitz函數，則有定義Xw＞0，對所有的n1，n2∈（0，∞），滿足

且

有下面的估計

根據（46）式以及φn－1（t）的分布弱收斂于π1（因為φn（t）的分布弱收斂于π1＊），得

再由Markov性質有

根據（40）、（47）式并在（48）式上應用 Fatou引理，得到

當ε＞0，γ＞0都足夠小時， EE w（Nz0（t））收斂于w＊．定理1．2得證．

定理1．3的證明 對于任意ε＞0，存在H＞1有

其中

由于λ1＜0，λ2＜0，令λ′1∈（0，－λ1），λ′2∈（0，－λ2），存在δ珘3＞0滿足

和

且uz0＋vz0＝1．

由于

類似于定理1．2的證明，存在一TZ0（ε）＞0，得到

剩下的部分可類似于定理2．2的證明．定理2．3得證．綜上，定理1．2與定理1．3得證，即排斥性得證．