對(duì)三維軸對(duì)稱流體的一點(diǎn)注解

舒孝珍， 胡春華， 王成強(qiáng)

(1．成都師范學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，四川成都611130; 2．西南財(cái)經(jīng)大學(xué)經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)學(xué)院，四川成都611130)

1 預(yù)備知識(shí)

主要研究非線性四階微分方程系統(tǒng)的等價(jià)積分方程

邊值條件為

隨著塑料薄膜和人造纖維材料日益增長(zhǎng)的工業(yè)應(yīng)用，研究者們對(duì)黏彈性流體產(chǎn)生了極大興趣［1－4］．然而，已有文獻(xiàn)針對(duì)的僅僅是二維流體和熱傳導(dǎo)等問(wèn)題的研究．在黏彈性流體問(wèn)題中，文獻(xiàn)［5］研究了不穩(wěn)定的三維駐點(diǎn)流體．對(duì)于四階微分方程系統(tǒng)(1)和(2)的研究，文獻(xiàn)［6］通過(guò)使用同倫分析法獲得了一些研究成果．

在文獻(xiàn)［7－11］的研究中，四階微分方程系統(tǒng)(1)和(2)被用來(lái)描述受限于拉伸表面的不可壓縮的黏彈性三維流體;而在本文中，將使用一個(gè)積分方程來(lái)描述它．對(duì)于四階微分方程(1)和(2)，當(dāng)k=，方程有一個(gè)精確解

2 f″(η)在無(wú)窮處的極限

引理 2．1 對(duì) 0≤K＜1，f(η)是方程(1)和(2)的解時(shí)，若 f″(η)＜0，η∈［0，+∞)，則 f″(η)嚴(yán)格遞增且=0．

證明 由 f″(η)＜0，η∈［0，+∞)，可以得到:

下面證明 f″(η)在［0，+∞)上嚴(yán)格遞增．如若不這樣，那么存在 a、b、c(0≤a＜b＜c)滿足

f″(b) ＞ f″(a)， f″(b) ＞ f″(c)．取 η*∈(a，c)滿足

f″(η*)=max{f″(η):η∈［a，c］}，

與 fiv(η*)≤0 矛盾．因此，f″(η)在［0，+∞)上嚴(yán)格遞增，結(jié)論成立．

假設(shè)存在0≤η1＜η2滿足f″(η1)=f″(η2)，那么f″(η)在 η∈(η1，η2)時(shí)是一個(gè)常量，因此f(η)=0，并且由方程(1)和(2)可知，當(dāng) η∈(η1，η2)時(shí)有這和 f″(η1)=f″(η2)矛盾．因此，f″(η)在［0，+∞ )上嚴(yán)格遞增，結(jié)論成立．

因?yàn)?f″(η)在［0，+∞)嚴(yán)格單調(diào)遞增且有上界0，所以存在．由=0 可得(η)=0．

注2．1 引理2．1說(shuō)明遠(yuǎn)離拉伸平面的流體幾乎不受剪切力的影響．

3 軸對(duì)稱流體方程的等價(jià)積分方程

利用引理2．1，并且引入一個(gè)新的自由變量t和一個(gè)新函數(shù)ω(t)，可以把四階微分方程系統(tǒng)(1)和(2)轉(zhuǎn)化為一個(gè)與之等價(jià)的奇異積分方程．

定理3．1 若f(η)是方程(1)和(2)的一個(gè)解且滿足 f″(η)＜0(η≥0)，令 η=g(t)是 t=f'(η)的反函數(shù)，ω(t)=f″(g(t))，那么 ω(t)滿足積分方程

證明 引入一個(gè)新的自由變量t=f'(η)和一個(gè)新函數(shù) ω(t)=f″(η)，因?yàn)?f″(η)＜0(η≥0)，所以 t=f'(η)在［0，+∞)上嚴(yán)格單調(diào)遞增．因此 t=f'(η)的反函數(shù)η=g(t)在(0，1］上也嚴(yán)格單調(diào)遞增，且有 g(0)=+∞，g(1)=0，于是成立

對(duì)(5)式關(guān)于t求導(dǎo)得

對(duì)(6)式關(guān)于t求導(dǎo)得

對(duì)(7)式關(guān)于t求導(dǎo)得

由t=f'(g(t))，得到

且有

對(duì)(9)式兩端進(jìn)行由t到1的積分，可得

因?yàn)?/p>

可得

把(5)～(8)和(11)式代入方程(1)和(2)得到

由此可得

對(duì)(13)式兩端進(jìn)行由0到t的積分得到

因此

由引理2．1有:

把(15)～(17)式代入(14)式得到

對(duì)(19)式兩端進(jìn)行從0到t的積分得到

于是，可以得到:

由以上各式可得

定理 3．2 假設(shè) ω(t)(t∈(0，1］)是方程(4)的一個(gè)負(fù)解，令

定義函數(shù)其中，函數(shù)t=h(η)是 η=g(t)的反函數(shù)．于是f(η)滿足方程(1)和(2)，且 f(η)滿足

證明 在定理3．1 中，令 ω(t)(t∈(0，1］)是方程(4)的一個(gè)負(fù)解，注意到

對(duì) 0 ≤ s≤ t，∫t

0 sω(s)ds≤ 0 和 ∫1tω(

s s)ds≤ 0，由(26)式得到

因?yàn)楫?dāng) s≤t時(shí)，ω(s)≥ω(t)．于是當(dāng) s≤t時(shí)有

由此，當(dāng)0≤t≤1時(shí)，有2

即得

令

顯然，g(t)在(0，1］上嚴(yán)格單調(diào)遞增，且

令t=h(η)是η=g(t)的反函數(shù)，定義函數(shù)

由(30)式，可得 f'(η)=h(η)，且

由(29)式，可知

對(duì)(31)式求關(guān)于η的導(dǎo)數(shù)，可得

對(duì)(32)式求關(guān)于η的導(dǎo)數(shù)，可得

對(duì)(33)式求關(guān)于η的導(dǎo)數(shù)，可得

對(duì)(4)式求關(guān)于t的導(dǎo)數(shù)，可得

對(duì)(35)式求關(guān)于t的導(dǎo)數(shù)，可得

在(36)式的兩端同時(shí)乘以ω(t)，得到

把 t=f'(η)代入(37)式，并且由(32)～(34)式得

下面證明

令

由(32)式得

且有

故 C=0．因此，可知

把(39)式代入(38)式中可得

滿足四階微分方程系統(tǒng)(1)和(2)且

一般情況下，直接探究四階微分方程系統(tǒng)(1)和(2)的解的存在性以及解的性質(zhì)比較困難，本文建立了與之等價(jià)的積分方程，因而可以通過(guò)研究積分方程的解及其性質(zhì)來(lái)探求四階微分方程的解及其性質(zhì)．