具有Banach代數的半序錐度量空間中c－距離下的不動點定理

韓 艷， 許紹元， 段江梅， 張建元

(1．昭通學院數學與統計學院，云南昭通657000; 2．韓山師范學院數學與統計學系，廣東潮州521041)

1 預備知識

2007年Huang等在度量空間的基礎上定義了錐度量空間［1］，許多學者獲得錐度量空間中的眾多有意義的不動點定理［1－9］．2011 年，Cho 等［10］又定義了c－距離，并舉例說明了它是對古典的Banach壓縮映射的推廣，也是對錐度量的推廣．文獻［2－3］提出錐度量空間等價于度量空間．Liu等［5］引入了具有Banach代數的錐度量空間，證明了具有Banach代數的錐度量空間不等價于度量空間．本文將在具有Banach代數的錐度量空間中c－距離下，討論不動點的存在性和唯一性，在不要求錐的正規性的條件下，獲得了具有更廣泛意義的不動點定理，同時給出了相應的例子說明結論推廣和改進了文獻中已有的一些結論．

設A是實Banach代數，即A是具有乘法運算的實 Banach 空間，x，y，z∈A，a∈R，其運算具有如下性質:

1)x(yz)=(xy)z;

2)x(y+z)=xy+xz且(x+y)z=xz+yz;

3)a(xy)=(ax)y=x(ay);

4)‖xy‖≤‖x‖‖y‖［11］．

本文總假設Banach代數A具有單位元(即乘法單位元)e，使得對x∈A有ex=xe=x．元素x∈A稱為可逆的，如果存在一個元素(稱為它的一個逆元)y∈A 使得 xy=yx=e．x 的逆元記為 x－1［11］．

命題 1．1［11］設 A 是具有單位元 e的 Banach

代數，x∈A．若 x 的譜半徑 r(x)＜1，即

則e－x是可逆的，且有∞

注 1．1［11］若 r(k)＜1，則‖kn‖→0(n→∞)．

Banach代數A中的子集P稱為一個錐，若滿足下列條件:

(iii)P2=PPP;

(iv)P∩{－P}={θ}，其中θ為A中的零元．

定義 1．1［1，5］設 X 是一個非空集．若映射 d:X×X→A滿足:

定義 1．2［1，5］設(X，d)為具有 Banach 代數 A 的錐度量空間，x∈X且{xn}n≥1是X中的一個序列，則:

(i)稱{xn}n≥1是一個柯西列，若對每一個c∈A且cθ，存在正整數N使得對所有的 n，m＞N，d(xn，xm)c;

(ii)稱{xn}n≥1是一個收斂列，若對每一個c∈A且 cθ，存在正整數 N使得對所有的 n＞N，d(xn，x)c;其中 x∈X，稱 x 是{xn}n≥1的極限，記作:xn→x(n→∞ );

(iii)稱(X，d)為完備的具有Banach代數的錐度量空間，若對X中的每個柯西列都收斂．

定義 1．3［6，10］設(X，d)為具有 Banach 代數 A的錐度量空間，映射q:X×X→A滿足下列條件:

注 1．2［10］在 c－距離下，q(x，y)=q(y，x)不一定成立，且對x，y∈X，q(x，y)= θ也不等價于 x=y．

定義 1．4［12］設(X，)是一個半序集，若x，y∈X有 xy或 yx，則稱 x，y是可比的．類似地，稱映射f:X→X是可比映射，如果對任意可比的x，y∈X，fx、fy是可比的．

注 1．3［12］映射 f稱為關于非減的，若x，y∈X，xy 有 fxfy．顯然，關于的可比映射不一定是非減映射．

引理 1．1［13］設 A 是具有單位元 e的 Banach代數，P 是 A 中的體錐．設 u，α，β∈P，且 αβ，uαu．若 r(β)＜1，則 u=θ．

2 主要結果

引理2．1 設(X，d)是具有 Banach代數A的錐度量空間，q為X上的c－距離，{xn}、{yn}是X中的序列．設 x，y，z∈X，{un}、{vn}是錐 P 中收斂到 θ的2個序列，則下列結論成立:

(i) 若 q(xn，y)un且 q(xn，z)vn，則 y=z．特別地，若 q(x，y)= θ且 q(x，z)= θ，則 y=z;

(ii) 若 q(xn，yn)un且 q(xn，z)vn，則{yn}收斂到一點z∈X;

(iii) 若對任意的 m＞n 有 q(xn，xm)un，則{xn}是X中的一個Cauchy列;

(iv) 若 q(y，xn)un，則{xn}是 X 中的一個Cauchy列．

類似可證明(iii)、(iv)也是成立的．

(i) 存在k∈P，使得 r(k)∈(0，1)，且對任意具有可比性的 x，y∈X，有

其中

(ii) 存在 x0∈X，使得 x0、fx0是可比的，則 f有唯一的不動點x*∈X，且q(x*，x*)=θ．

證明 任取x0∈X．若fx0=x0，則證明完成．

假設fx0≠x0，由條件(ii)以及f是可比的知，i≥0，fix0與 fi+1x0是可比的．令 xn=fnx0=fxn－1，n≥1．于是在(1)式中令 x=xn－1，y=xn得

q(xn，xn+1)=q(fxn－1，fxn)ku，其中下面證明

若 u=q(xn－1，xn)，則(2)式顯然成立．若

則由引理 1．1 得 q(xn，xn+1)=θ．若

根據定義 1．3(ii)有

從而 q(xn，xn+1)kq(xn－1，xn)．于是，對任意的n≥1，(2)式成立．所以可得

任給 m＞n≥1，有

又因為(由注 1．1 知‖kn‖→0，n→∞ )．根據引理 2．1(iii)知，{xn}是Cauchy列．由X完備，存在x*∈X，使得xn→x*(n→∞)．根據f的連續性知，x*是f的一個不動點．

下證 q(x*，x*)= θ，由(1)式得****其中由 r(k)＜1及引理1．1可得 q(x*，x*)= θ．

最后證明x*是f的唯一不動點．假設存在z∈X，使得 fz=z，則由(1)式得

其中

(i) 存在k∈P，使得 r(k)∈(0，1)，且對任意具有可比性的 x，y∈X，有

(ii) 存在 x0∈X，使得 x0、fx0是可比的，則 f有唯一的不動點x*∈X，且有q(x*，x*)=θ．

證明 在定理2．1中取u=q(x，y)即得．

注 2．1 由于 c－距離 q(x，y)是對錐度量d(x，y)的推廣，故推論2．1 推廣了文獻［12］的定理3．5．

例 2．1 設 Banach代數

定義A的乘法為

xy=(x1，x2)(y1，y2)=(x1y1，x1y2+x2y1)，其中 x=(x1，x2)，y=(y1，y2)∈A，則 A 是一個 Banach 代數，且單位元為 e=(1，0)．設

顯然 P 是一個非正規錐．設 X=［0，∞)×［0，∞)，d:X×X→A，其中

其中ψ∈P是任意函數，則(X，d)是一個具有Banach代數A的完備的錐度量空間．定義q:X×X→A，q(x，y)=(x+y)ψ，不難驗證 q是 X 上的 c－距離．取

對任意具有可比性的 x，y∈X，取 u=q(x，y)，于是定理2．1的條件均滿足，所以映射f有唯一的不動點 x=(0，0)，且 q(0，0)=0．

致謝昭通學院校級科研項目(2018xj10)對本文給予了資助，謹致謝意．