一類與貝努利雙紐線和對稱點有關的廣義解析函數的三階Hankel行列式

張海燕， 湯 獲， 馬麗娜

(赤峰學院數學與統計學院，內蒙古赤峰024000)

設C表示復數集，A表示單位圓盤D={z∈C:|z|＜1}內單葉解析且具有如下形式

∞

的函數族．設P表示單位圓盤D內具有如下形式

且滿足條件Re p(z)＞0的解析函數族．由文獻［1］中的結論易知，對于函數p(z)∈P，則存在Schwarz函數 ω(z)，使得

定義 1［2］設函數f(z)和g(z)在單位圓盤D內解析．如果存在D內的Schwarz函數ω(z)，滿足:ω(0)=0，|ω(z)|＜1 且 f(z)=g(ω(z))，則稱 f(z)從屬于g(z)，記為f(z)g(z)．特別地，如果 g(z)在D上是單葉的，則

定義2 設SL*s(α，μ)表示具有(1)式的形式且滿足下述條件的函數全體

易知若f∈SL*s(α，μ)，則有

其幾何意義是函數位于雙紐線γ:(x2+y2)2－2(x2－y2)=0的右半區域．Sokól等［3］最早介紹了雙紐線函數，文獻［4－5］給出了進一步的研究．

注意到，若在定義2中分別取μ=0，α=μ=0和α－1=μ=0時，則可得如下函數類:

和1976年，Noonan等［6］定義了函數 f的 q階 Hankel行列式

其中 a1=1，n≥1，q≥1．

特別地，有

因為 f∈A，a1=1，故有特別地，估計H2(1)即為經典的Fekete－Szeg?不等式［7］．

近年來，許多學者研究了各類解析函數的三階Hankel行列式H3(1)，得到了其上界估計，詳見文獻［8－10］．1996 年，Sokól等［3］引入了與貝努利雙紐線有關的解析函數類，許多學者對上述函數類進行進一步研究，如Ali等［4］討論了與貝努利雙紐線有關的解析函數類的微分從屬性質，Raza等［11］研究了與貝努利雙紐線有關的一類解析函數的三階Hankel行列式．受其啟發，本文研究了一類具有對稱點且與貝努利雙紐線有關的廣義解析函數SL*s(α，μ)的三階 Hankel行列式H3(1)，得到其上界估計．

2 主要結果

為了證明本文結論，需要如下引理．引理 1［8］如果 p(z)∈P，則

|cn|≤ 2， n=1，2，…．

引理 2［9］如果 p(z)∈P，則存在復數 x、z且|x|≤1，|z|≤1，使得

定理1 若f∈SL*s(α，μ)，則有

證明 設f∈SL*s(α，μ)，則由定義 1 和(2)式可得

其中 ω(z)是 Schwarz函數且滿足 ω(0)=0，|ω(z)| ＜1，z∈D．令

經簡單計算有分別比較上式中等號兩邊 z、z2、z3、z4的系數，易得

故有

定理2 若f∈SL*s(α，μ)，則有|a2a3－ a4|≤

其中

證明 若f∈SL*s(α，μ)，則由定義 1 及(2)式可得

定義

則p(z)∈P且

又

分別比較(12)和(13)式中 z、z2、z3的系數得

從而可得

其中

令

設|x|=t，0≤t≤1，c1=c，c∈［0，2)，則由三角不等式及引理1可得

令

則

1) 當 t≥t*時，則有≤0，即函數 F(c，t)關于t單調遞減，F(c，t)在t=0處取得最大值，即

令

則故有函數G(c)關于c單調遞減，因此函數G(c)在c=0處取得最大值，從而可得函數F(c，t)在t=0，c=0處取得最大值，也即

令

則

令G'(c)=0，則可得又因為G″(r*)＜0，所以函數 G(c)在 c=r*處取得最大值，從而有函數F(c，t)在t=1，c=r*處取得最大值，即定理2得證．

定理3 若f∈SL*s(α，μ)，則有證明 由(14)～(16)式可得

設|x|=t，0≤t≤1，c1=c，c∈［0，2)，則由三角不等式及引理2可得

其中

則有

即函數 F(c，t)關于 t單調遞增，F(c，t)在 t=1處取

得最大值，即

令

則

故函數G(c)單調遞減，進而可得函數G(c)在c=0處取得最大值．綜上可知，函數F(c，t)在t=1，c=0處取得最大值，即有

定理3得證．

定理4 若f∈SL*s(α，μ)，則有

證明 由(14)～(16)式可得

設|x|=t，0≤t≤1，c1=c，c∈［0，2)，則由三角不等式與引理2，可得

其中

設

則有

令

則因為c=0是 G'(c)=0的根，且G″(0)＜0，所以函數G(c)在c=0處取得最大值．綜上可知，函數F(c，t)在t=1，c=0處取得最大值，即有

定理4得證．

定理5 設f∈SL*

s(α，μ)，則

其中

Q1、Q2、M、Q 由(8)～(11)式給出．

證明 因為

故由三角不等式可得

將(3)～(6)式、(17)～(18)式代入(19)式，即得定理5．

在定理5中，若分別取μ=0，α=μ=0和α－1=μ=0，則可得如下的一些推論．

推論1 若f∈SL*s(α)，則

其中

M、Q分別是(10)和(11)式中μ=0的情形．

推論2 若f∈SL*s，則

其中

推論3 若f∈SL*s(1)，則

其中

Third Hankel Determinant for a Class of Generalized Analytic Functions Related with Lemniscate of Bernoulli and Symmetric Points

ZHANG Haiyan， TANG Huo， MA Lina

(School of Mathematics and Statistics，Chifeng University，Chifeng 024000，Inner Mongolia)

Abstract:In this paper，we introduce a class of generalized analytic functions，denoted by SL*s(α，μ)，which are associated with lemniscate of Bernoulli and symmetric points．We investigate the Hankel determinant H3(1)for these functions and the upper bound of the above determinant is obtained．

Keywords:analytic functions;symmetric points;third Hankel determinant;lemniscate of Bernoulli;upper bound

2010 MSC:30C45;30C55