問君知悉幾多美，數(shù)學自帶凌云筆*

☉安徽省合肥市第四十八中學教育集團 史承灼

☉安徽省合肥市第四十八中學教育集團濱湖校區(qū) 鄒太芹

數(shù)學評論家普洛克拉斯說：“哪里有數(shù)，哪里就有美.”數(shù)理邏輯學家羅素也指出：“數(shù)學，如果正常地看它，不但擁有真理，而且具有至高的美，正如雕塑的美，是一種冷而嚴肅的美.”數(shù)學美隱藏在單調(diào)的數(shù)字和公式中，需要通過思考才可發(fā)現(xiàn)它、欣賞它.關于數(shù)學美的論述很多，本文以不同的視角，談談教學中的數(shù)學之美.

一、數(shù)學語言的凝練之美

數(shù)學語言極其嚴密、精煉，有嚴格的界定和明確的含義，一字之差，意義相差甚遠，需要用心感受數(shù)學的簡約、凝練之美.

案例1：角平分線的判定定理：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上.

師：角平分線的性質(zhì)定理是什么？

生：角平分線上的點到角的兩邊距離相等.

師：它的逆命題是什么？

生：到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上.

師：誰來解釋一下點到角的兩邊的距離的含義？

生：在圖1中，點D到線段AB的距離，就是點D到線段AB所在直線的距離，所以要把線段AB反向延長，線段DE的長度是點D到直線AB的距離，也是點D到線段AB的距離，因為線段、射線都是直線的一部分.角的兩邊是兩條射線，點到角的兩邊距離相等，可以理解為點到角的兩邊所在直線的距離相等.因此，到角兩邊的距離相等的點的位置有三種情況，如圖2、圖3和圖4.

圖4

師：也就是說，到角的兩邊距離相等的點，應該是在這個角的平分線所在直線上或這個角的鄰補角的角平分線所在直線上.所以，這個逆命題還應該補充一點什么？

生：點在角的內(nèi)部.

師：請完整敘述這個逆命題.

生：角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上.

教師一連串追問的目的，是想讓學生抓住角平分線判定定理中的兩個關鍵詞：到角的兩邊距離、角的內(nèi)部，學生在問題的思考和解決過程中，剝繭抽絲，辨析本質(zhì)，體會到數(shù)學語言的簡約、凝練之美.

二、數(shù)學知識的結(jié)構(gòu)之美

數(shù)學是研究現(xiàn)實世界中空間形式和數(shù)量關系的科學，具有高度的抽象性、嚴密的邏輯性和應用的普遍性.同時，數(shù)學中的概念和原理、思想和方法等，構(gòu)成了一個完美的整體結(jié)構(gòu).

案例2：一元二次方程的解法、根的判別式、根與系數(shù)關系之間的內(nèi)在結(jié)構(gòu).

關于一元二次方程的解法，首先可從直接開平方入手，解形如x2=b（b≥0）的一元二次方程，進而解形如（x±a）2=b（b≥0）的一元二次方程，在轉(zhuǎn)化中解決問題，實現(xiàn)知識的小臺階推進.接下來求解類似x2+x-1=0的一元二次方程，這是一個承上啟下的環(huán)節(jié)，既要借助前面的方法解決這個問題，將x2+x-1=0化歸成，又要為下面的公式法求解提供方法與方向.然后求解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），思考的方向是“如何將具體的一般形式轉(zhuǎn)化為可以直接開平方的形式”！

當我們竊喜找到求ax2+bx+c=0（a≠0）的根的通法之時，新的問題應運而生.對于配好后的式子，真的可以肆無忌憚地直接開平方嗎？一個懸疑，引出兩個結(jié)論：（1）b2-4ac的值的情況決定方程是否存在實數(shù)根；（2）b2-4ac的值的情況決定方程實數(shù)根之間的大小關系.由（1）很自然地生成了“根的判別式”，而由根的判別式Δ=b2-4ac和求根公式，同樣很自然地得到“系數(shù)與根有關系”的判斷.關系具有相互性，根對系數(shù)又有什么影響呢？回到因式分解解一元二次方程中，對于方程（x-a）（x-b）=0，兩根分別是x1=a，x2=b，先明確方程的根，再將方程還原成一元二次方程的一般形式x2+［-（a+b）］x+ab=0，進一步置換成x2+［-（x1+x2）］x+x1x2=0的形式，如此，不難得到猜想：如果一元二次方程x2+bx+c=0有兩個實數(shù)根x1、x2，那么x1+x2=-b，x1x2=c.對于一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），根據(jù)學習經(jīng)驗進行化歸，兩邊同時除以系數(shù)a得到根對系數(shù)的直接影響是對于以上猜想，可用求根公式進行嚴謹推理.

一元二次方程的眾多知識和方法，通過它們之間的內(nèi)在邏輯，成為一個完美的整體結(jié)構(gòu)，這種結(jié)構(gòu)之美不禁讓人掩卷之余蕩氣回腸.

三、跨越時空的數(shù)學文化之美

數(shù)學家哈代認為，不美的數(shù)學在世界上是找不到永久容身之地的.在數(shù)學發(fā)展史上，有著太多的跨越時間和空間的殊途同歸杰作.

案例3：海倫—秦九昭公式.

古希臘數(shù)學家海倫在《共制》的《度量論》中，給出了三角形面積公式：c）（其中a、b、c分別為三角形三邊長，S為三角形的面積）.無獨有偶，我國宋代數(shù)學家秦九昭在《數(shù)學九章》中，用表示三角形的面積.其實這兩個公式的本質(zhì)是一樣的，推理如下：

不知道大家有沒有想過，這兩個公式的源頭在哪里呢？真是無巧不成書，就在筆者現(xiàn)在所帶的學生中，兩名學生不約而同給出了海倫—秦九昭公式的推導過程.

已知：如圖5，△ABC中，AB=c，AC=b，BC=a（a＞b＞c），AD⊥BC，垂足為點D，若BD=x，則CD=a-x.

圖5

由勾股定理可得c2-x2=b2-（a-x）2.

上述過程可能不完美，但兩名八年級的學生能給出這樣的答案，足以讓人自豪.由此不僅讓人感嘆數(shù)學是如此的“魅惑眾生”！數(shù)學的魅力真是亙古綿長、滔滔不絕.

四、數(shù)學應用的模型之美

許晨陽說：“不是我們創(chuàng)造了數(shù)學，而是它一直在那里，我們只是發(fā)現(xiàn)了它而已.”數(shù)學是一門抽象且邏輯性強的學科，而中小學生的思維正處于由具體形象思維向抽象邏輯思維過渡的階段，所以需要教育者提供適當?shù)膶W習素材，用思維和創(chuàng)意讓學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學應用的模型之美.

案例4：翻幣問題：如果桌上有3枚紀念幣，正面全部向上，每次將其中的2枚同時翻轉(zhuǎn)，能否經(jīng)過若干次翻轉(zhuǎn)，使3枚紀念幣的反面全部向上？

這是在學生學習了有理數(shù)加、減、乘、除、乘方運算之后，為進一步加深對有理數(shù)符號運算的理解而進行的綜合實踐研究.需要將實際問題抽象為數(shù)學問題，同時滲透分類、轉(zhuǎn)化、類比等數(shù)學思想和方法.為了操作的方便與直觀，可把“翻幣問題”改為“翻轉(zhuǎn)紙杯問題”.

師：取3只紙杯，杯口全部朝上，每次翻轉(zhuǎn)2只紙杯，經(jīng)過若干次操作，能否使杯口全部朝下？若能成功，最少需要幾次？

學生小組合作，操作嘗試.

師：翻轉(zhuǎn)的過程，可以抽象為乘“-1”的過程.以3只杯口朝上的紙杯為例，現(xiàn)在擺在桌面上的3只紙杯，在你眼中是什么？

生：3個“+1”.

師：用S翻轉(zhuǎn)前=（+1）×（+1）×（+1）=+1表示翻轉(zhuǎn)前的情況，那么，假如反轉(zhuǎn)后能使3個杯口全部朝下，應該如何表示？

生：S翻轉(zhuǎn)后=（-1）×（-1）×（-1）=-1.

師：一次翻轉(zhuǎn)2個紙杯，翻轉(zhuǎn)過程中的結(jié)果S如何用式子表示？

生：S=（+1）×（-1）×（-1）=（+1）×（+1）=+1.

師：換句話說，每次翻轉(zhuǎn)2個紙杯，相當于在S翻轉(zhuǎn)前的基礎上乘什么？

生：乘“+1”.

師：你能解釋“3翻2”注定失敗的原因嗎？

生：（充分思考、討論后）S翻轉(zhuǎn)前=+1.每翻轉(zhuǎn)1次，相當于S=（+1）×S翻轉(zhuǎn)前=（+1）×（+1）=+1.翻轉(zhuǎn)n次，相當于S=（+1）×（+1）n=+1≠-1=S翻轉(zhuǎn)后，所以“3翻2”注定失敗.

應用數(shù)學知識解決實際問題，首先要把實際問題中的數(shù)學問題明確表述出來，然后才能使用數(shù)學的理論和方法進行分析，得出結(jié)論，最后返回去解決現(xiàn)實問題.由于實際問題的復雜性，往往很難把現(xiàn)成的數(shù)學理論直接套用到這些實際問題上，這就要求在數(shù)學理論和所要解決的實際問題之間構(gòu)建一個橋梁加以溝通，以便把實際問題中的數(shù)學結(jié)構(gòu)明確表示出來，這個橋梁就是“數(shù)學模型”，這個橋梁的構(gòu)建過程就是“數(shù)學建模”.

徜徉在數(shù)學的殿堂中，與美共存，師生在數(shù)學之美中共生共長，是生命的一種別樣享受.