初中生“幾何推理”的初學(xué)困境淺談

唐開(kāi)楊

摘 要?本文從初中學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)和最近發(fā)展區(qū)入手，以教學(xué)一線中遇到的實(shí)際問(wèn)題為載體，總結(jié)梳理了初一學(xué)生在初學(xué)“幾何推理”時(shí)所遇到的三個(gè)認(rèn)知瓶頸，并給出了可操作的解決辦法，最后提出了筆者關(guān)于“幾何推理”教學(xué)的一點(diǎn)思考。

關(guān)鍵詞?幾何推理;初學(xué);困境

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2019）05-0142-02

推理，思維的基本形式之一，由一個(gè)或幾個(gè)已知的判斷（前提）推出新判斷（結(jié)論）的過(guò)程。幾何推理就是在幾何圖形中根據(jù)一些條件推出結(jié)論的過(guò)程，學(xué)生幾何推理能力的提升與“邏輯推理”、“直觀想象”兩大核心素養(yǎng)的落地有著極其密切的聯(lián)系。

一、問(wèn)題提出

進(jìn)入初中學(xué)習(xí)后，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)學(xué)業(yè)水平的第一個(gè)分水嶺出現(xiàn)在學(xué)習(xí)“幾何推理”之后，以北師大版初中數(shù)學(xué)教材為例，學(xué)生在七年級(jí)下第二章《相交線與平行線》的學(xué)習(xí)之后開(kāi)始出現(xiàn)分化，七年級(jí)下第四章《三角形》的學(xué)習(xí)之后分化進(jìn)一步加劇，其結(jié)果直接導(dǎo)致七年級(jí)下的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成績(jī)相較于七年級(jí)上在平均分控制的前提下其極差與方差都有顯著性增大。

林崇德將中學(xué)生“空間想象能力”分為三級(jí)水平，而初中一年級(jí)的學(xué)生其空間想象能力處于第一級(jí)水平向第二級(jí)水平過(guò)度的階段，因而，教師要能夠發(fā)現(xiàn)這個(gè)階段學(xué)生在認(rèn)知發(fā)展上的困境，并給予有針對(duì)性的幫助，使學(xué)生能夠順利從第一級(jí)水平進(jìn)階到第二級(jí)水平。

二、三重困境及應(yīng)對(duì)策略

筆者在長(zhǎng)期的一線教學(xué)過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)七年級(jí)學(xué)生在初學(xué)幾何推理時(shí)主要有以下三重困境：

第一重困境：文字概念的核心要素與圖形基本型之間的轉(zhuǎn)換。

以北師大版七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教材P59第8題第（2）問(wèn)為例，如果希望c∥d，那么需要哪兩個(gè)角相等？

題目原圖，錯(cuò)解1：∠2=∠5

錯(cuò)解2：∠3=∠2，正解1：∠4=∠6

有趣的是，如果你追問(wèn)答錯(cuò)解1、2的學(xué)生為何選這兩個(gè)角？

學(xué)生會(huì)肯定的告訴你：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行。可見(jiàn)，學(xué)生并非是對(duì)平行線的判定定理不理解，而是對(duì)“內(nèi)錯(cuò)角”的概念理解出了偏差。課本P47關(guān)于“內(nèi)錯(cuò)角”的概念是如此說(shuō)明：“具有∠1與∠2這樣位置關(guān)系的角稱為內(nèi)錯(cuò)角”。

參考人教版教材七年級(jí)下，教師一般會(huì)輔以文字說(shuō)明：直線AB、CD被直線l所截構(gòu)成8個(gè)角，在直線AB、CD之間，并且分別在直線l兩側(cè)的一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角。

可見(jiàn)，學(xué)生出現(xiàn)問(wèn)題的主要原因是對(duì)“內(nèi)錯(cuò)角”概念的前提理解不到位，當(dāng)這個(gè)前提以文字形式出現(xiàn)時(shí)，學(xué)生不能把此核心要素轉(zhuǎn)化成三線八角的基本型并從復(fù)雜圖形中提取出來(lái)。要解決這個(gè)困境，在教學(xué)中教師首先要重視幾何概念的生成過(guò)程，如學(xué)生不體會(huì)生成，便無(wú)法理解文字，更不用說(shuō)將文字和復(fù)雜圖形間建立聯(lián)系;其次，要引導(dǎo)學(xué)生將圖形和文字，文字和圖形進(jìn)行雙向?qū)?yīng)的技能訓(xùn)練。

第二重困境：圖形解構(gòu)過(guò)程中對(duì)圖形已知的提取與應(yīng)用。

當(dāng)學(xué)生從平行四邊形學(xué)習(xí)到封閉圖形三角形的時(shí)候，其既需要對(duì)三角形的整體認(rèn)知，又在很多情況下需要解構(gòu)三角形，分別研究三角形的邊或者角。此時(shí)，解構(gòu)過(guò)程中對(duì)圖形已知的提取，明顯難于對(duì)文字或符號(hào)語(yǔ)言所給出的已知條件的提取。

三種常見(jiàn)的圖形已知如下：

公共邊1 ?????公共邊2 ?????公共角 ??????對(duì)頂角

經(jīng)過(guò)一定的訓(xùn)練，以上四種直接給出的圖形已知，學(xué)生能夠理解并很好的掌握，但是，當(dāng)圖形出現(xiàn)變化或更加復(fù)雜的時(shí)候，能否將圖形進(jìn)行解構(gòu)，拆解出的熟知的圖形已知，就成為了突破的關(guān)鍵。

以北師大版七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教材P111第7題為例：如圖，AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC，△ABC與△ADE全等嗎？

若學(xué)生無(wú)法解構(gòu)圖形，將△ABC和△ADE分離出來(lái)，那么他就無(wú)法將符號(hào)已知∠BAE=∠DAC與圖形已知∠EAC=∠CAE聯(lián)系起來(lái)。可見(jiàn)，學(xué)生初學(xué)幾何推理時(shí)面對(duì)的這個(gè)困境首先要具備解構(gòu)復(fù)雜圖形、分離基本圖形、抽取核心要素的能力，教師可以四種常見(jiàn)圖形已知為藍(lán)本，進(jìn)行變式訓(xùn)練，幫助學(xué)生渡此困境。

第三重困境：文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言的三重轉(zhuǎn)換。

從學(xué)生一開(kāi)始學(xué)習(xí)“幾何推理”，教師就會(huì)不厭其煩地在各種定義、定理的教學(xué)中，在各類習(xí)題的講評(píng)中滲透文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言的三重轉(zhuǎn)換，但教師往往只重視純數(shù)學(xué)問(wèn)題中的轉(zhuǎn)換，所以文字語(yǔ)言與兩者之間的轉(zhuǎn)換常常是訓(xùn)練不到位的，同時(shí)也直接影響了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的能力。

以北師大版七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教材P111第11題為例：

工人師傅經(jīng)常利用角尺平分一個(gè)任意角。如圖所示，∠AOB是一個(gè)任意角，在邊OA、邊OB上分別取OD=OE，移動(dòng)角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與D、E重合，這時(shí)過(guò)角尺頂點(diǎn)P的射線OP就是∠AOB的平分線，你能先說(shuō)明△OPD與△OPD全等，再說(shuō)明OP平分∠AOB嗎？

很明顯，教材編寫者已經(jīng)將問(wèn)題拆解為兩步，刻意降低了問(wèn)題的難度，搭建了臺(tái)階。但是在實(shí)際教學(xué)的過(guò)程中，仍然有不少的同學(xué)無(wú)法完成。究其原因，主要是無(wú)法將“移動(dòng)角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與D、E重合”這句話結(jié)合圖形轉(zhuǎn)換成符號(hào)語(yǔ)言。如果我們將此題抽去實(shí)際背景，直接以符號(hào)語(yǔ)言給出已知、求證，學(xué)生的回答正確率就會(huì)大大提升。

這一認(rèn)知瓶頸提示我們，在進(jìn)行幾何推理的教學(xué)時(shí)，一定要兼顧學(xué)生現(xiàn)有的生活經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知水平，既要有純幾何的熏陶，更要有實(shí)際問(wèn)題的錘煉，條件允許的情況下要讓學(xué)生多操作，比如讓學(xué)生自制角尺，模擬操作等。在初學(xué)階段，大部分的問(wèn)題都還停留在“簡(jiǎn)單”的層次，是訓(xùn)練三種語(yǔ)言轉(zhuǎn)換，提升互譯能力的大好時(shí)機(jī)，確保進(jìn)入更為復(fù)雜的幾何推理學(xué)習(xí)之前，各個(gè)層次的學(xué)生的互譯能力都有提升。

三、關(guān)于“幾何推理”教學(xué)的一點(diǎn)思考

（一）“幾何推理”不僅是學(xué)生初中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的第一個(gè)分水嶺，也是教師教學(xué)能力分化的一個(gè)分水嶺，一個(gè)優(yōu)秀的數(shù)學(xué)教師，不應(yīng)該任由學(xué)習(xí)能力相對(duì)較弱的學(xué)生在此處分流，而應(yīng)該多探究現(xiàn)象背后的原因，并積極尋找解決的辦法。

（二）7年級(jí)學(xué)生的幾何能力和幾何直觀推理意識(shí)快速增強(qiáng)，7下更是他們這種能力發(fā)展的關(guān)鍵期，教師要提供盡可能多的實(shí)驗(yàn)操作機(jī)會(huì)輔助學(xué)生判斷和推理，既要尊重他們現(xiàn)有的形象思維的認(rèn)知現(xiàn)狀，又要不遺余力地引導(dǎo)他們向抽象思維的最近發(fā)展區(qū)進(jìn)軍。

（三）尊重學(xué)生的個(gè)體差異，尤其在幾何推理方面，男女生有顯著的差異，男生發(fā)展迅速但結(jié)束期早，女生發(fā)展緩慢但持續(xù)時(shí)間長(zhǎng)，教師應(yīng)對(duì)此特點(diǎn)有所認(rèn)識(shí)并給予耐心的呵護(hù)，使每一位學(xué)生都能在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上有所發(fā)展。

參考文獻(xiàn)：

[1]李紅婷，初中生幾何推理能力發(fā)展研究，教育研究與實(shí)驗(yàn)，2009（1）.