對(duì)中考圖形旋轉(zhuǎn)問(wèn)題的探究

鄧沛森

摘 要?圖形旋轉(zhuǎn)是新課標(biāo)重要的內(nèi)容之一，也是中考常考的內(nèi)容之一，是教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。學(xué)生解題要把握?qǐng)D形旋轉(zhuǎn)前后哪些是不變的量，哪些是變化的量，也要結(jié)合不同背景中有關(guān)幾何圖形的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題題型，教師需引導(dǎo)與培養(yǎng)學(xué)生的自主探究、分析和解決問(wèn)題的能力。筆者在常規(guī)教學(xué)中，浸透旋轉(zhuǎn)思想，通過(guò)新舊知識(shí)類(lèi)比，激化學(xué)生勇于思考，拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，大大提高解決圖形旋轉(zhuǎn)問(wèn)題的有效性。

關(guān)鍵詞?圖形旋轉(zhuǎn);常規(guī)教學(xué);類(lèi)比;思考與探索

中圖分類(lèi)號(hào)：A，O421+.4 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2019）05-0147-02

圖形與變換是新課程標(biāo)準(zhǔn)明確規(guī)定的重要內(nèi)容之一，有利于培養(yǎng)學(xué)生實(shí)踐與操作能力，形成空間觀念和運(yùn)動(dòng)變化意識(shí)。旋轉(zhuǎn)問(wèn)題在中考題中很常見(jiàn)，而且很多作為開(kāi)放題，這要求考生具備扎實(shí)數(shù)學(xué)的基本功、較強(qiáng)的觀察力及綜合分析問(wèn)題的能力，解題時(shí)要切實(shí)把握幾何圖形運(yùn)動(dòng)過(guò)程，并注意運(yùn)動(dòng)過(guò)程中特殊位置，抓住圖形旋轉(zhuǎn)前后哪些是不變的量，哪些是變化的量。在“動(dòng)”中探求：“靜”，在“靜”中探求“動(dòng)”的一般規(guī)律.同時(shí)在平時(shí)教學(xué)中需要浸透圖形旋轉(zhuǎn)思想，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)類(lèi)比，激發(fā)學(xué)生勇于思想，拓展數(shù)學(xué)思維。

一、常規(guī)教學(xué)引入旋轉(zhuǎn)思想，促進(jìn)學(xué)生思考解題思路

解題思路是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的突破口，學(xué)生拿到題目后，首要任務(wù)就是從題目中找到切入口，我們要在平時(shí)教學(xué)中加以應(yīng)用，將圖形的旋轉(zhuǎn)解決思想融入常規(guī)的教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生解題思維。

（一）《扇形的弧長(zhǎng)和面積》教學(xué)中，引入線段旋轉(zhuǎn)思想

解決中考旋轉(zhuǎn)問(wèn)題，不僅需要針對(duì)性題目訓(xùn)練，在平時(shí)教學(xué)中也需引入旋轉(zhuǎn)思想，讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)圖形的由來(lái)，同時(shí)將數(shù)學(xué)的代數(shù)與圖形進(jìn)行整合，提高教學(xué)的有效性。

例1：推導(dǎo)“弧長(zhǎng)及扇形的面積”公式（如圖1）

首先讓學(xué)生了解生成圓與扇形的由來(lái)，定義：圓是由線段繞著固定一點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周而成的圖形，而扇形是線段繞著固定一點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)n度的圖形。結(jié)合圓心面積S=的公式，推導(dǎo)扇形面積公式1°的圓心角所對(duì)的扇形面積S扇形=_______。90°的圓心角所對(duì)的扇形面積S扇形，結(jié)合圓的周長(zhǎng)公式：C=2пR，推導(dǎo)弧長(zhǎng)公式1°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是_______。

90°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是_______。

……

n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是_______。

推導(dǎo)：n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)L=，扇形面積S扇=。

評(píng)注：很多老師把教學(xué)的重點(diǎn)放在公式的記憶上，但筆者認(rèn)為記憶公式固然重要，關(guān)鍵是旋轉(zhuǎn)圖形知識(shí)的形成與公式推導(dǎo)。前者，學(xué)生記憶完公式后，容易忘記;后者，遺忘率較低，即便出現(xiàn)忘記公式，學(xué)生也能自己推導(dǎo)出來(lái)。教師切記要求學(xué)生理解扇形與圓是半徑繞著固定點(diǎn)O而成的圖形，筆者在教學(xué)中使用此方法，收到良好的效果。

（二）學(xué)習(xí)《全等三角形》引入圖形旋轉(zhuǎn)問(wèn)題

在全等三角形證明過(guò)程中，很多是圖形旋轉(zhuǎn)的問(wèn)題，如果能加入旋轉(zhuǎn)思想，部分復(fù)雜的題目便簡(jiǎn)單化，那么學(xué)生解決全等三角形問(wèn)題能力大大加強(qiáng)，同時(shí)能促進(jìn)旋轉(zhuǎn)思想的教學(xué)，為解決中考旋轉(zhuǎn)問(wèn)題埋下伏筆。

教學(xué)中常規(guī)題目：

例2：圖2.已知在△ABC中，ADBC于D，AD=BD，DC=DE，求證：∠C=∠1。

略證：∵ADBC，∠ADC=∠BDE=90

∵AD=BD，DC=DE，∴△BDE≌△ADC.∴∠C=∠1。

評(píng)注：這雖然只是證明兩個(gè)三角形全等，但可以加入旋轉(zhuǎn)思想，將△BDE繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)后則與△ADC重合，如果學(xué)生掌握旋轉(zhuǎn)思想，那么學(xué)習(xí)全等三解形的證明與圖形旋轉(zhuǎn)相互相承，達(dá)到事半功倍的效果。

此類(lèi)型問(wèn)題在三角形全等、相似、勾股定理、特殊三角形和四邊形的性質(zhì)與判定、圓以及直角坐標(biāo)系等很多章節(jié)都有與圖形旋轉(zhuǎn)有關(guān)的題目。教師在常規(guī)教學(xué)中浸透圖形旋轉(zhuǎn)或變換思想，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)圖形旋形進(jìn)行思考與探索。

二、引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)類(lèi)比，提高解題效率

所謂類(lèi)比，就是用熟悉的問(wèn)題的解決方面去解決新問(wèn)題的一種解題方法，通過(guò)類(lèi)比，發(fā)現(xiàn)新題型的共同點(diǎn)，利用已有知識(shí)，解決新的問(wèn)題，從而提高解題的效率。

（一）利用中考題之間進(jìn)行類(lèi)比

例3：在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°，將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α（0<α<120°），得△A₁BC₁，交AC于點(diǎn)E，AC分別交A₁C₁、BC于D、F兩點(diǎn)。

（1）如圖3，觀察并猜想，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段EA₁與FC有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論;

（2）如圖3，當(dāng)=30°時(shí)，試判斷四邊形BC₁DA的形狀，并說(shuō)明理由;

（3）在（2）的情況下，求ED的長(zhǎng)。

【答案】（1）EA=FC;提示證明△ABE≌△CBF（2）①菱形（證明略）

（3）過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AB，則AG=BG=1

在Rt△AEG中，

由（2）知AD=AB=2??∴ED=AD-AE=2-

評(píng)注：利用證明全等三角形旋轉(zhuǎn)的思想，對(duì)兩道中考題，通過(guò)知識(shí)的類(lèi)比，對(duì)知識(shí)進(jìn)行遷移，學(xué)生很容易找到旋轉(zhuǎn)思想的突破點(diǎn)，這樣兩道中考題就容易解決了，從而打開(kāi)學(xué)生的思路。

（二）三角形旋轉(zhuǎn)與四邊形旋轉(zhuǎn)進(jìn)行類(lèi)比

例4（07年臺(tái)州市）把正方形ABCD繞著點(diǎn)A，按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到正方形AEFG，邊FG與BC交于點(diǎn)H（如圖7）.試問(wèn)線段HG與線段HB相等嗎？請(qǐng)先觀察猜想，然后再證明你的猜想.

分析：（1）由已知正方形ABCD繞著點(diǎn)A，按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到正方形AEFG，所以可得AG=AB;

（2）要證明線段HG與線段HB相等只需證明這兩條線段所在的兩個(gè)三角形是否全等即可;或證明△GHB是否為等腰三角形也可以解：HG=HB。

證法1：連結(jié)AH（如圖4）.

∵四邊形ABCD，AEFG都是正方形，

∴∠B=∠G=90°.

由題意，知AG=AB，又AH=AH，

∴Rt△AGH≌Rt△ABH（HL）.

∴HG=HB.

三、激勵(lì)學(xué)生勇于思考，開(kāi)拓?cái)?shù)學(xué)思維

例5（2009，廣東）（1）如圖10，圓內(nèi)接△ABC中，AB=BC=CA，OD、OE為的半徑，ODBC于點(diǎn)F，OEAC于點(diǎn)G，求證：陰影部分四邊形OFCG的面積是△ABC的面積的。（2）如圖11，若∠DOE保持角度不變，求證：當(dāng)∠DOE繞著O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，由兩條半徑和△ABC的兩條邊圍成的圖形（圖中陰影部分）面積始終是△ABC的面積的。

證明：（1）如圖，連結(jié)OA、OC，因?yàn)辄c(diǎn)o是等邊三角形ABC的外心，所以，Rt△OFC≌Rt△OGC≌Rt△OGA

，因?yàn)椋浴?/p>

（2）解法：連結(jié)OA、OB和OC，則△AOC≌△COB≌△BOA，∠1=∠2，不妨設(shè)OD交BC于點(diǎn)F，OE交AC于點(diǎn)G，∠AO=∠3+∠4=120°，∠DOE=∠5+∠4=120°，∠3=∠5，

在△OAG和△OCF中

∴△OAG≌△OCF。

評(píng)注：這道題是三角形與圓結(jié)合在一起的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題，第一問(wèn)題相對(duì)容易，利用垂徑定理及全等三角形便解決問(wèn)題;第二問(wèn)題，考生緊緊抓住△COF旋轉(zhuǎn)到△AOG，得到△AOG≌△COF，確定在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中哪一些不變量與變量，無(wú)論題型如何變化，萬(wàn)變不離其宗。

四、總結(jié)

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》將圖形的變換作為重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容，圖形的運(yùn)動(dòng)是研究圖形性質(zhì)的有效方法，軸對(duì)稱(chēng)、平移、旋轉(zhuǎn)是初中幾何重要的圖形變換，其中圖形的旋轉(zhuǎn)較為復(fù)雜，變化較多。而且此類(lèi)型問(wèn)題在三角形全等、相似、勾股定理、特殊三角形和四邊形的性質(zhì)與判定、圓以及直角坐標(biāo)系等。

通過(guò)以上幾例發(fā)現(xiàn)，在解決幾何圖形的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵要抓住圖形在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)線段的大小保持不變，以及圖形在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，對(duì)應(yīng)線段的夾角也相等，這些不變量非常重要，解題時(shí)還要切實(shí)把握幾何圖形的運(yùn)動(dòng)過(guò)程。因此，教師在平時(shí)教學(xué)和復(fù)習(xí)中，利用課本已有的幾何旋轉(zhuǎn)題型，結(jié)合不同背景中有關(guān)幾何圖形的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題題型，引導(dǎo)與培養(yǎng)學(xué)生的自主探究、分析和解決問(wèn)題的能力。這樣在中考旋轉(zhuǎn)問(wèn)題上才能不慌不忙，尋找突破口。

面對(duì)中考圖形變換，筆者將旋轉(zhuǎn)思想引入常規(guī)教學(xué)中，剛開(kāi)始學(xué)生拿到題目都無(wú)從下手，筆者對(duì)上述方法引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行發(fā)現(xiàn)、研究、推導(dǎo)，通過(guò)新舊知識(shí)類(lèi)比，激化學(xué)生勇于思考，拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)空間，所帶的班在中考這類(lèi)問(wèn)題上，往往得分率較高，收獲很大。

參考文獻(xiàn)：

[1]全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）.北京師范大學(xué)出版社，2001.

[2]義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū).數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè).