都是重復惹的禍

張前晟

摘 要?排列組合問題簡潔易懂，解題方法靈活多樣，蘊含著深刻的數學原理與豐富的數學技巧。因此，排列組合既是高考的核心內容，也是學生們的難點痛點。計數的基本原則是不重不漏，許多錯誤都來源于計算中的重復計數。本文就重復的來源進行了梳理分析，并給出例題解析。

關鍵詞?高考;重復計數;排列組合;易錯題

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2019）05-0200-02

排列組合部分內容既自成體系，又是古典概型的基礎，在高中數學占有重要地位，也是高考一大熱點。至于其題型分類繁雜，解法靈活多變，并有一定的技巧性，稍有不慎便會出錯。計數的基本原則是不重不漏，究其原因相當一部分錯解都是重復計數惹的禍。那么題目千變萬化，重復計數又是從何而來的呢？

一、分類不清導致的重復

例1：有5瓶墨水，其中紅色1瓶，藍色、黑色各2瓶。某同學從中任取兩瓶，若取出的兩瓶中至少有一瓶是藍色的取法有________種。

錯解：分兩步進行，第一步去一瓶藍色有種，第二步在剩余的4瓶墨水中任取一瓶有種，由乘法原理共種。

錯因分析：問題是至少含有一瓶是藍色，將5瓶墨水按藍色和非藍色分類，包含恰有1瓶藍色和恰有2瓶藍色。錯解錯在沒有分類，將兩類混為一談。我們用樹狀圖表示一下錯解的過程：

明顯，藍1、藍2兩瓶出現了重復。

正解：分兩種情況：①兩瓶都是藍色：②兩瓶中1瓶是藍色，另1瓶是黑色或紅色：，應用分類加法原理共種。

同類型題：從男同學和名女同學中選人去參加一個會議，規定男女同學至少各有人參加，下面是不同的選法種數的三個算式：①;②;③

則其中確算式的個數是（ ）

A.???????B.???????C.???????D.

錯解：D

錯音分析：考慮分步抽取，沒有按男女生分類而多選①

正解：C

例2：現有甲、乙、丙、丁等七名同學排成一排照相，要求甲乙相鄰或丙丁相鄰的不同排列有________種。

錯解：分兩種情況考慮：①甲乙相鄰的不同排列個數，對甲乙應用捆綁法：;②丙丁相鄰的不同排列個數，對丙丁應用捆綁法：.所以總數為：。

錯因分析：以上解法中雖然用到了分類討論，但分類討論的類型并不準確.從事件發生的角度來看，甲乙相鄰與丙丁相鄰兩件事情并不互斥.在一次排列中，甲乙相鄰和丙丁相鄰可能同時發生（如圖所示）.所以，當兩次討論時，這一部分的計數重復了。

正解：在以上解法的基礎上，考慮甲乙和丙丁同時分別相鄰的情況：分別對甲乙、丙丁使用捆綁法，共，所以：。

點評：分類討論是高中重要的思想方法，對應著加法計數原理.在排列組合中，準確把握題目意思后有必要先進行恰當的分類討論，從而從源頭上保證計數不重不漏。

二、順序不明導致的重復

例3：將6本不同的書，分成三堆，每堆兩本，則有多少種不同的分法？

錯解：按題目要求，依次從六本書中取出兩本作為一堆，則種。

錯因分析：分堆問題和分配問題不同，關鍵在順序，與每堆的元素個數有關.依次取書中隱含有先后順序，如與不同.而平均分成三堆，每堆個數相同，堆與堆之間不計順序.以上兩種算同一種分法，出現重復。

正解：依次從六本書中取出兩本，共種方法.除去三堆之間的順序，即應該有種。

例4：安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，則不同的安排方式共有________種。

錯解：分兩步完成：先從4項工作中取出3項分配給3個人，共種，再將剩下的一個工作分給3人中的一人，由分步乘法原理求得：種.

錯因分析：上述解法中將4個工作分兩步進行了分配，最后用乘法原理乘在一起，將兩次分配的先后順序考慮在內，勢必出現重復.

正解：將4份工作先分成不同的三堆：1，1，2，共種，其次再把三組工作分配給3個人，種.

三、點評

n個不同元素按照條件分配給k個不同的對象稱為分配問題，分定向分配與不定向分配兩種問題;將n個不同元素按照某種條件分成k組，稱為分組問題，分組問題有不平均分組、平均分組、部分平均分組三種情況.分組問題和分配問題是有區別的，前者組與組之間只要元素個數相同是不區分的，而后者即使2組元素個數相同，但因所屬對象不同，仍然是可區分的.對于后者必須先分組再排列.

例5：6把椅子擺成一排，3人隨機就座，任何兩人不相鄰的坐法種數為（ ）

A.144 ?????B.120 ??????C.72 ??????D.24

錯解：三人任意兩人不相鄰，用插空法：種，答案選A.

錯因分析：本題與6人排隊照相不鄰問題不同，這里空的是凳子，彼此之間沒有左右順序的區別，所以不用考慮留空中的順序.題目中隱含著去序的要求.

正解：用3個椅子留4個空，將三個人插進去，即：種，答案選D.