基于磁矩梯度張量的單點(diǎn)定位方法

段曉倩，裴東興，祗會(huì)強(qiáng)，袁 鵬，盧曉玢

(1.中北大學(xué) 儀器科學(xué)與動(dòng)態(tài)測(cè)試教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 太原 030051；2.國網(wǎng)山西省電力公司太原供電公司， 太原 030012)

由于磁場(chǎng)檢測(cè)具有精度高，受外界干擾較小，穿透力強(qiáng)等特點(diǎn)，近年來逐漸應(yīng)用于醫(yī)療、地質(zhì)探測(cè)、無損檢測(cè)，未爆炸物的識(shí)別與探測(cè)等諸多領(lǐng)域[1-3]。在目前的磁定位方法中，對(duì)磁性目標(biāo)的定位通常是通過磁場(chǎng)中的磁傳感器陣列測(cè)量磁體的空間磁場(chǎng)分布，獲得大量采樣點(diǎn)的磁場(chǎng)測(cè)量值，根據(jù)測(cè)量結(jié)果解算目標(biāo)磁體的位置與姿態(tài)，利用優(yōu)化算法方求出最優(yōu)解[4-5]。該方法計(jì)算量大并且定位精度不高，對(duì)測(cè)量使用的磁傳感器姿態(tài)位置也有較多要求。解算復(fù)雜并且難以克服地磁場(chǎng)干擾。

現(xiàn)階段利用磁梯度張量系統(tǒng)對(duì)磁性物體進(jìn)行定位的方法在國內(nèi)外引起了熱潮。利用磁梯度張量可以很好的解決定位過程中地磁場(chǎng)的干擾問題[5-6]，通過測(cè)量磁場(chǎng)強(qiáng)度值計(jì)算得到磁場(chǎng)中兩點(diǎn)的磁梯度張量，從而獲得測(cè)量系統(tǒng)原點(diǎn)到磁源的距離[7]。針對(duì)利用磁梯度張量進(jìn)行單點(diǎn)定位存在的不足，克服了難以分離的地磁場(chǎng)對(duì)定位結(jié)果的影響，構(gòu)建了只含磁性目標(biāo)位置信息的目標(biāo)函數(shù)，通過建立一個(gè)長方體結(jié)構(gòu)的磁傳感器測(cè)量陣列來同時(shí)獲得兩點(diǎn)磁梯度張量，降低操作誤差。利用鯨魚優(yōu)化算法[8]反演唯一定位結(jié)果，實(shí)現(xiàn)隱蔽目標(biāo)的磁張量定位。

1 磁梯度張量測(cè)量系統(tǒng)

磁場(chǎng)是一個(gè)矢量場(chǎng)，其3分量Bx、By、Bz在空間3個(gè)方向的變化率即為磁梯度張量。磁梯度張量系統(tǒng)測(cè)量的對(duì)象是磁場(chǎng)矢量的梯度場(chǎng)，包括9個(gè)張量[5-6]，如式(1)所示，測(cè)量的結(jié)果受磁化方向影響小，能夠反映目標(biāo)體的矢量磁矩信息，且能更好地反演場(chǎng)源參數(shù)(方位等)并對(duì)場(chǎng)源進(jìn)行定位和追蹤[2-4]。

(1)

其中，G為磁梯度張量矩陣，Bx、By、Bz為磁感應(yīng)強(qiáng)度三分量。

由于所選磁性目標(biāo)體積遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于檢測(cè)距離，因此該物體可以被看作磁偶極子，從而建立磁偶極子模型[9]進(jìn)行計(jì)算。磁偶極子在距其r處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

(2)

其中，μ0為真空磁導(dǎo)率，m為磁性目標(biāo)磁矩，r為磁偶極子到測(cè)量點(diǎn)的距離，r0為磁偶極子到測(cè)量點(diǎn)距離的單位向量，位于距磁源r+ndr處，磁感應(yīng)強(qiáng)度為

(3)

空間兩點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度差值為：

(4)

空間兩點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度差值寫成三分量形式又可表達(dá)[1]為

(5)

結(jié)合式(4)、式(5)可得定位公式[1]：

r=-3G-1B

(6)

恒磁場(chǎng)是無源場(chǎng)，由麥克斯韋方程組的微分式以及媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系式可知磁通密度B的旋度和旋度恒等于零，即divB=0，rotB=0。

2 定位算法及測(cè)量陣列結(jié)構(gòu)

針對(duì)目前磁性目標(biāo)單點(diǎn)定位方法易受地磁場(chǎng)影響的問題，即單點(diǎn)定位式(6)中磁場(chǎng)強(qiáng)度包含地磁場(chǎng)和磁源產(chǎn)生磁場(chǎng)，其中地磁總場(chǎng)約在3萬到7萬nT，較難分離，但地球磁場(chǎng)的梯度值較小，一般小于0.2 nT/m，在單點(diǎn)磁梯度張量定位原理的基礎(chǔ)上，通過測(cè)量磁源空間內(nèi)兩點(diǎn)的磁梯度張量[5]，利用磁矩信息替換式(6)中的磁場(chǎng)強(qiáng)度來減小地磁場(chǎng)影響，構(gòu)建只含磁性目標(biāo)位置信息的目標(biāo)函數(shù)，提出了定位算法中所需參數(shù)的計(jì)算方法。

2.1 定位算法

磁矩[10]是磁鐵的一種物理性質(zhì)，是描述磁性的重要參數(shù)，處于外磁場(chǎng)的磁鐵會(huì)感受到力矩，促使其磁矩沿外磁場(chǎng)的磁場(chǎng)線方向排列，磁矩可以用矢量表示，磁矩的大小取決于磁鐵的磁性與量值。在磁梯度張量測(cè)量系統(tǒng)的基礎(chǔ)上引入磁矩，利用磁性目標(biāo)的磁矩概念替換磁偶極子模型中的磁感應(yīng)強(qiáng)度，構(gòu)建非線性目標(biāo)函數(shù)：

(8)

其中，mx、my、mz為磁性目標(biāo)磁矩三分量。

(9)

式(9)中:μ0為真空磁導(dǎo)率，r為測(cè)量點(diǎn)到磁偶極子的距離，磁源位于(x0,y0,z0)處磁場(chǎng)空間中第一點(diǎn)磁張量梯度

(10)

第二點(diǎn)磁張量梯度

(11)

由式(6)可知，點(diǎn)(x1,y1,z1)處：

(12)

點(diǎn)(x2,y2,z2)處：

(13)

聯(lián)立(12)、(13)兩式，整理可得磁性目標(biāo)所在位置：

(14)

其中，G1為磁場(chǎng)空間中第一點(diǎn)磁梯度張量矩陣，G2為磁場(chǎng)空間中第二點(diǎn)磁梯度張量矩陣，均可通過磁傳感器測(cè)量計(jì)算得到，兩點(diǎn)坐標(biāo)(x1,y1,z1)和(x2,y2,z2)已知，即可求出磁源位置(x0,y0,z0)。

2.2 測(cè)量系統(tǒng)陣列設(shè)計(jì)

為減少定位過程所需時(shí)間，避免測(cè)量系統(tǒng)姿態(tài)對(duì)定位結(jié)果的影響，現(xiàn)針對(duì)性的設(shè)計(jì)一個(gè)長方體結(jié)構(gòu)的磁傳感器測(cè)量陣列[11]。設(shè)該長方體結(jié)構(gòu)的高為L，上下底邊棱長為D，將8個(gè)三軸磁傳感器[12]分別置于長方體框架上下底面8個(gè)棱邊中點(diǎn)處，分別獲得長方體上下底面中點(diǎn)處的磁梯度張量G1、G2。陣列結(jié)構(gòu)及傳感器編號(hào)如圖1所示。設(shè)測(cè)量系統(tǒng)原點(diǎn)(0,0,0)位于長方體上下底面的中心處，測(cè)量陣列基點(diǎn)到磁性目標(biāo)位A點(diǎn)(x0,y0,z0)的定位矢量距離為r，以測(cè)量陣列的基點(diǎn)為原點(diǎn)建立右手笛卡爾正交坐標(biāo)系。設(shè)長方體底層為第1層，底層中心坐標(biāo)(x1,y1,z1)，頂層為第2層，其中心坐標(biāo)為(x2,y2,z2)。下節(jié)仿真試驗(yàn)中分析傳感器陣列結(jié)構(gòu)對(duì)定位結(jié)果的影響情況。

圖1 長方體傳感器檢測(cè)陣列框架簡(jiǎn)圖

2.3 目標(biāo)參數(shù)優(yōu)化求解算法

鯨魚優(yōu)化算法[13](Whale Optimization Algorithm，WOA)是Seyedali Mirjalili 教授等于2016年提出的一種模擬鯨魚群體捕食行為的啟發(fā)式優(yōu)化算法。該算法具有原理簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)、參數(shù)較少等特點(diǎn)。由式(14)可構(gòu)建了只含有磁性目標(biāo)位置(x0,y0,z0)的目標(biāo)函數(shù)f:

f=max(|f1||f2||f3|)

利用鯨魚優(yōu)化算法對(duì)該非線性目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化，f取最小值時(shí)反演所得(x0,y0,z0)為式(14)的近似解，即該定位系統(tǒng)相對(duì)與磁性目標(biāo)的位置參數(shù)。利用該算法實(shí)現(xiàn)位置參數(shù)解算時(shí)收斂情況如圖2所示。

圖2 WOA算法收斂情況

從上述仿真結(jié)果可以看出：鯨魚優(yōu)化算法在生物優(yōu)化算法中所需迭代次數(shù)較少，收斂速度較快，在40代左右即可獲得較好的反演結(jié)果，反演結(jié)果可以達(dá)到10-10數(shù)量級(jí)，在80代左右反演結(jié)果基本穩(wěn)定。

3 仿真分析

本文使用Matlab軟件對(duì)上述提出的磁性目標(biāo)單點(diǎn)定位算法進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，通過建立磁偶極子模型，仿真以下可能影響定位結(jié)果的因素：傳感器精度、磁性目標(biāo)磁矩方向、傳感器陣列結(jié)構(gòu)、高斯白噪聲。以磁傳感器長方體框架中心作為系統(tǒng)的測(cè)量原點(diǎn)建立笛卡爾坐標(biāo)系，設(shè)磁性目標(biāo)總磁矩m=1×107(A·m)，磁性目標(biāo)位于相對(duì)于原點(diǎn)(30,30,30)(單位：m)處，加入地磁場(chǎng)，通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證該算法的定位效能以及上述因素對(duì)定位結(jié)果的影響。

3.1 仿真結(jié)果

3.1.1磁傳感器檢測(cè)陣列結(jié)構(gòu)

在使用該算法對(duì)磁性目標(biāo)進(jìn)行定位時(shí)，通過仿真該長方體結(jié)構(gòu)規(guī)格即長方體上下兩層間距L和底面對(duì)角傳感器的距離D的選擇對(duì)定位結(jié)果的影響。設(shè)該長方體上下底面對(duì)角線上磁傳感器距離D=0.5 m不變，分別仿真了傳感器精度在1 nT、0.1 nT和0.01 nT時(shí)，上下底面之間距離L在0.02～30 m范圍內(nèi)的定位情況，仿真結(jié)果如圖3所示。設(shè)長方體上下底面之間距離保持在L=0.6 m不變，分別仿真了傳感器精度在1 nT、0.1 nT和0.01 nT時(shí)，傳感器陣列底面對(duì)角線距離D對(duì)定位結(jié)果的影響。D選擇在0.05～30 m得到仿真結(jié)果如圖4所示。

圖3 改變兩層底面距離仿真結(jié)果

圖4 底面對(duì)角線距離變化仿真結(jié)果

3.1.2磁矩方向

利用上述定位算法分別仿真了當(dāng)傳感器精度控制在1 nT、0.1 nT和0.01 nT時(shí)，54組磁性目標(biāo)磁矩的三軸分量mx、my、mz不斷變化時(shí)，三軸方向測(cè)量系統(tǒng)原點(diǎn)到磁性目標(biāo)的位置偏差，仿真結(jié)果如圖5所示。

圖5 變化磁矩方向的仿真結(jié)果

磁傳感器精度為1 nT時(shí)，相對(duì)誤差大于1 m小于3 m的定位結(jié)果占44%，相對(duì)誤差小于0.5 m占比20.3%；磁傳感器精度為0.1 nT時(shí)，相對(duì)誤差大0.2 m于小于0.5 m的定位結(jié)果占比96.29%；磁傳感器精度為0.01 nT時(shí)，相對(duì)誤差大于0.2 m小于0.5 m的定位結(jié)果占比100%，相對(duì)誤差大于0.2 m小于0.5 m的定位結(jié)果占比98.12%。

3.1.3高斯白噪聲

根據(jù)定義，信噪比(SNR)是信號(hào)的強(qiáng)度除以噪聲的強(qiáng)度(或者信號(hào)功率與噪聲功率之比)，考慮到實(shí)際測(cè)量電路中會(huì)存在干擾信號(hào)，在驗(yàn)證該定位算法的效果時(shí)，加入適當(dāng)高斯白噪聲進(jìn)行仿真，通過仿真?zhèn)鞲衅骶确謩e在1 nT，0.1 nT，0.01 nT時(shí)，信噪比在15～100(dB)下該算法的定位結(jié)果，如圖6所示。

圖6 加入信噪比仿真結(jié)果

3.1.4運(yùn)動(dòng)磁性目標(biāo)定位

根據(jù)上述仿真情況，選擇磁傳感器精度為0.1 nT，長方體磁傳感器陣列L=0.6 m，D=0.5 m作為磁傳感器陣列結(jié)構(gòu)，添加65 dB的高斯白噪聲干擾，控制磁性目標(biāo)在距測(cè)量原點(diǎn)高度為35 m(z=35 m)處沿平面矩形軌跡運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)軌跡仿真反演定位結(jié)果如圖7所示(圖7中直線為35×35 m標(biāo)準(zhǔn)運(yùn)動(dòng)軌跡)。

圖7 磁性目標(biāo)沿直線運(yùn)動(dòng)情況仿真結(jié)果

3.2 結(jié)果分析

從上述仿真結(jié)果可以看出：傳感器的精度對(duì)該方法的定位反演結(jié)果有較為明顯的影響，傳感器精度越高，該算法定位結(jié)果越穩(wěn)定、準(zhǔn)確；在總磁矩不變的情況下，磁性目標(biāo)的三軸磁矩分量的變化對(duì)定位結(jié)果基本沒有影響。綜上所述，在工程可實(shí)現(xiàn)的前提下，所選擇的傳感器精度越高，該算法反演定位結(jié)果越準(zhǔn)確，此方法對(duì)磁性目標(biāo)的磁矩方向基本沒有要求。

此外，傳感器的陣列結(jié)構(gòu)對(duì)定位效果也有一定的影響：長方體結(jié)構(gòu)上下兩底面距離小于0.8 m時(shí)對(duì)定位結(jié)果影響較大；當(dāng)傳感器精度提高，長方體上下兩底面距離大于0.6 m，即可獲得較小的定位誤差，并且定位結(jié)果也較為穩(wěn)定；由上述仿真結(jié)果可知，底面對(duì)角線長度在最小在0.5 m即可獲得較為準(zhǔn)確的定位結(jié)果，誤差小于0.2 m的仿真結(jié)果占95.18%，但當(dāng)距離過大(超過20 m時(shí))，定位精度明顯降低。因此從便于實(shí)際測(cè)量的角度來看，選擇L=0.6 m，D=0.5 m的長方體陣列即可獲得較為準(zhǔn)確的定位結(jié)果。

由上述仿真結(jié)果可知，加入的高斯白噪聲對(duì)該算法得到定位結(jié)果有較大的影響。當(dāng)信噪比大于60 dB，該算法即可得到較為準(zhǔn)確穩(wěn)定的定位結(jié)果。磁性目標(biāo)在某一平面沿直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，上述算法仍然適用，并且反演效果良好最大定位誤差不超過0.2 m。

4 結(jié)論

本文在利用磁梯度張量實(shí)現(xiàn)單點(diǎn)定位的基礎(chǔ)上引入磁矩概念替換磁偶極子定位模型中的磁場(chǎng)值，有效的消除了定位過程中地磁場(chǎng)對(duì)定位結(jié)果的影響。利用鯨魚優(yōu)化算法對(duì)構(gòu)建的目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行求解，反演出唯一定位結(jié)果。通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證磁傳感器精度、磁源磁矩方向、傳感器陣列結(jié)構(gòu)、高斯白噪聲對(duì)定位結(jié)果的影響。從仿真結(jié)果可以看出：磁傳感器精度越高，信噪比越高，仿真結(jié)果越準(zhǔn)確；構(gòu)建的長方體磁傳感器檢測(cè)體系可同時(shí)獲得磁場(chǎng)中兩點(diǎn)的磁梯度張量，使定位過程在實(shí)際應(yīng)用中容易操作。但在實(shí)際的定位過程中還需提升定位算法執(zhí)行速度，實(shí)現(xiàn)多場(chǎng)合應(yīng)用。