不可小覷的點子圖

唐明

[摘 要]針對不少教師對點子圖棄而不用的現狀，探究點子圖在不同領域的作用，使教師清晰地認識到點子圖在計算教學中的價值。通過“筆算兩位數乘兩位數”的課堂教學及后續思考，發現教學中借助點子圖，有助于學生掌握算法、理解算理，培養學生的運算能力和推理能力。

[關鍵詞]點子圖;數形結合;推理;運算能力

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2019）23-0048-02

在人教版教材三年級下冊“筆算兩位數乘兩位數”中，新版教材首次引入點子圖這一計算模型來幫助學生探索算法、理解算理。然而，大多數教師并沒有對點子圖予以重視，認為使用點子圖是浪費時間、多此一舉。這一現狀引發了筆者對于點子圖的關注。

一、點子圖在筆算教學中發揮著怎樣的作用？

對比新舊人教版教材這部分的內容（如圖1），情境類似，但新版教材增加了用點子圖解釋算法的部分，這樣編排的依據是該階段學生的認知規律。三年級學生還需要有較多的動手操作和直觀表象作為支撐。點子圖可以使學生通過數形結合理解算理、掌握算法。如果沒有點子圖，學生只能借助教師的語言描述理解算法和算理，由于缺乏直觀圖式的輔助，學生可能表面上會計算，實際上并不完全理解算理。

教學”筆算兩位數乘兩位數”時，理解算理是難點。當學生發現不能直接計算時，教師適時引出點子圖，啟發學生利用點子圖圈一圈、分一分、算一算，把未知的數學問題轉化成已知的知識來探索。

例如，計算：23×13。

點子圖在計算教學中起到溝通的作用。當學生不會算的時候，可以借助點子圖探究計算方法;當學生會算了，卻說不清、道不明的時候，可以借助點子圖來解釋自己為什么這樣算。作為直觀模型的點子圖，讓學生在計算的過程中眼中有“數”，腦中有“形”，數形結合、算理溝通，清晰構建出兩位數乘兩位數的豎式模型。

二、怎樣在點子圖上將算式表征和圖形表征保持一致？

因為之前沒有使用點子圖的經驗，有的學生對于點子圖茫然無措，有的學生會寫算式，但不會在點子圖上表示出來，還有的學生點子圖和算式表達的內容不一致。

北師大版教材“筆算兩位數乘兩位數”用兩節課的時間讓學生識圖、用圖，經歷算法多樣化的過程，這樣安排時間是比較合理的。教學本課之前，教師可以讓學生先在點子圖上圈一圈（如圖3），表示出加、減、乘、除的算式，明確算式中的每個數在點子圖中的什么位置。然后，讓學生嘗試用點子圖計算“14×12”。只要給學生思考的時間，他們的思維空間會非常開闊，這樣得出的每一種方法都真實記錄了學生的思維過程，展示了學生多樣化的學習方式（如圖4）。雖然學生計算的方法不完全相同，但都是依循“先分后合”的思路，這一點恰恰是乘法豎式計算的基本思路。

三、怎樣挖掘點子圖的更多價值？

張景中院士認為，計算和推理是相通的，計算要有方法，這方法里就體現了推理，即寓理于算的思想;計算是具體的推理，推理是抽象的計算。

那么，點子圖的作用僅僅在“筆算兩位數乘兩位數”時曇花一現嗎？單元練習出現了探究“兩位數乘11”和“幾十五自乘”的規律，先讓學生通過具體計算發現積與乘數之間的關系，再介紹一些口訣幫助記憶，合情合理。但規律背后深層次的原理呢？計算活動中學生的高層次思維呢？還是需要借助點子圖厘清推理的步驟和過程，引導學生掌握一定的推理方法，發展推理能力。

如，在學生概括、總結“兩位數乘11”的規律時，可結合點子圖幫助理解31×11的算理。如圖5所示，“兩頭一拉”實際是30×10=300，即積的百位是3，個位1×1=1，則積的個位是1;“中間相加”是30×1+10×1=40，則積的十位是4。

又如，學生在計算15×15，25×25，35×35等算式后發現，積的后兩位數都是25，但前面高位數的規律不好表述。教學時，教師可以將點子圖抽象成矩形圖（如圖6），將15×15看成（10+5）×（10+5），學生就能清楚地看到積由4個部分構成。將其中5×10的矩形移到第一行，則第一行的三個部分從“形”上構成了一個長為10+5+5、寬為10的長方形，可以用20×10表示它的點子數。這樣原來的大正方形點子圖就轉化成了兩部分，上面的長方形是20×10，下面的小正方形是5×5。因此，“幾十五自乘”的規律為：積的后兩位數都是25，前面的高位數是乘數的十位數×（乘數的十位數+1）。基于數形結合，學生在理解規律背后的道理時有了“移動”“合并”的直觀印象，明白了“為什么這樣算”的問題，獲得了正確、可靠的思維依據。

計算教學的價值不僅僅是讓學生正確、熟練地運算，更重要的是讓學生體會運算原理、推理的思想方法、規定算法的合理性等。點子圖作為一種計算模型，具有形象性和概括性，其作用不可小覷。教師應充分挖掘此類素材，培養學生集計算、算理、算法和推理轉化等多種數學思想方法于一體的綜合能力。

（責編 李琪琦）