經(jīng)歷建模過程把握方程本質(zhì)

孫偉

[摘 要]在“方程的意義”的教學中，不能只強調(diào)方程的外部特征，以學生能辨認方程為主要認知目標，而忽略了方程的本質(zhì)。方程的教學應(yīng)該從數(shù)學模型的視角出發(fā)，幫助學生逐步建立方程模型，把握方程的本質(zhì)。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學建模;經(jīng)歷;方程本質(zhì)

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2019）23-0067-02

方程在初等代數(shù)中占有重要地位，但很多教師只注重傳授方程的形式化定義——“含有未知數(shù)的等式”，強調(diào)方程的外部特征，以學生能辨認方程為主要認知目標，而忽略了方程的本質(zhì)——“在已知數(shù)和未知數(shù)之間建立的一種等量關(guān)系”。方程也是一個用數(shù)學符號提煉現(xiàn)實生活中特定關(guān)系的過程，也就是數(shù)學建模過程。因此，教師應(yīng)從模型的視角去教學，幫助學生逐步建立方程模型，把握方程本質(zhì)。

一、理解相等關(guān)系，初步勾勒模型

【教學片段1】

師（課件出示天平圖1）：這是什么？

生1：天平。

師：天平有什么作用？

生2：稱量物體的質(zhì)量。

師：怎樣稱？

生3：左盤先放入物體，然后右盤放入砝碼，當指針指向中央，也就說明兩邊的質(zhì)量一樣，砝碼的質(zhì)量是多少，物體的質(zhì)量也就是多少。

師：指針指向中央，說明天平是平衡的，天平平衡也就說明左盤里的物體和右盤里的砝碼質(zhì)量是——

生（齊）：相等的。

師（課件出示天平圖2）：天平平衡嗎？

生（齊）：不平衡。

師：能說左盤碗和米飯的質(zhì)量和右盤砝碼的質(zhì)量存在相等關(guān)系嗎？

生（齊）：不能。

師（課件出示天平圖3）：現(xiàn)在能說左盤碗和米飯的質(zhì)量和右盤砝碼的質(zhì)量存在相等關(guān)系嗎？

生（齊）：能。

（板書：碗和米飯的質(zhì)量和70克相等）

師：在我們的生活中，除了天平之外，還存在著很多的相等關(guān)系。這節(jié)課我們就圍繞著相等關(guān)系來研究問題。

【思考：正如前面所言，過分強調(diào)對于方程外部特征的認識，而忽略方程的本質(zhì)，將使學生的認知浮于表面。方程思想的首要是“能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程，體會方程是刻畫現(xiàn)實世界的一個有效的數(shù)學模型”。這里說的數(shù)量關(guān)系就是等量關(guān)系，也可以理解為相等關(guān)系。相等關(guān)系是學習方程以及等式的性質(zhì)和列方程解決問題的核心，方程首先是等式，而等式的性質(zhì)就是通過觀察在變化的過程中等式的變與不變而發(fā)現(xiàn)的，因此只有在實際問題中找到相等關(guān)系才能列出方程。可見，關(guān)于方程的知識離不開相等關(guān)系。本環(huán)節(jié)的教學就抓住這一根本點，首先引導(dǎo)學生借助天平認識平衡，而平衡就說明兩邊的物體存在相等關(guān)系，然后讓學生觀察天平圖，在對比中尋找相等關(guān)系，尋找相等關(guān)系的過程中，學生也勾勒出相等關(guān)系的初步模型。】

二、研究具體情景，初步建立等量模型

【教學片段2】

師（課件出示圖4）：現(xiàn)在的天平是什么樣的？

生（齊）：平衡的。

師：也就說明什么？

生1：兩個小砝碼的質(zhì)量和一個大砝碼的質(zhì)量是相等的。

師：也就是說兩個小砝碼的質(zhì)量和一個大砝碼的質(zhì)量存在相等關(guān)系。你能用一個式子表示出這種相等關(guān)系嗎？

生2：50+50=100。

師：為什么用“=”連接？

生2：因為兩邊是相等的關(guān)系。

師（課件出示圖5）：你能在這幅圖中找出相等關(guān)系嗎？

生3：12枚蛋黃派的質(zhì)量和一盒蛋黃派的質(zhì)量相等。

師：你能用一個等式表示出這種相等關(guān)系嗎？

生3：22×12=264。

師（課件出示圖6，標明碗重30克）：你能看懂這幅圖嗎？

生4：碗和米飯共重70克。

生5：碗和米飯的質(zhì)量和兩個共重70克的砝碼質(zhì)量一樣。

師：你能用一個等式表示天平兩邊物體的質(zhì)量關(guān)系嗎？

（學生在作業(yè)紙上記錄，教師巡視，并展示有代表性的作品，最后得出x+30=50+20。）

師（出示圖7）：這里存在著相等關(guān)系嗎？

生7：7天跑的路程和一個星期跑的一樣多。

師：你能用一個等式表示出這種相等關(guān)系嗎？

生8：把每天跑的路程用未知數(shù)表示，列出等式7y=2.8。

師：觀察我們寫出的這些式子，它們有什么共同的地方？

生9：都有等號。

生10：都表示兩邊是相等的關(guān)系。

師：知道它們叫什么嗎？

生（齊）：等式。

師：回顧剛才的學習過程，我們都是先找出相等關(guān)系，也就是等量關(guān)系，然后根據(jù)等量關(guān)系寫出等式。

【思考：對于等式，學生早有認識，但學生對于等式的理解更多地停留在運算結(jié)果的層面。等式是數(shù)學的基本概念之一，指表達相等關(guān)系的式子。在這個教學環(huán)節(jié)中，讓學生先尋找相等關(guān)系，然后用一個式子表示出這種相等關(guān)系，明了相等關(guān)系應(yīng)該用“=”連接起來，而“=”的兩邊應(yīng)該用數(shù)學語言來表示，已知的用具體的數(shù)，未知的用字母來代替，等量模型就這樣自然而然地建立起來。接著讓學生觀察這幾個式子，尋找共同點以及所表示的本質(zhì)意義，學生對于等量模型就有了更深刻的理解。最后引領(lǐng)學生回顧學習的過程，知道建立等量模型的步驟。通過這樣逐步的深化，等量模型在學生的頭腦中逐漸清晰起來。】

三、尋找特殊情況，逐漸建立方程模型

【教學片段3】

師：通過剛才的研究不難發(fā)現(xiàn)，生活中也存在著很多的等量關(guān)系，這些等量關(guān)系都可以用——

生（齊）：等式來表示。

師：它們雖然都是等式，但有什么不同嗎？

生1：有的有字母，有的沒有字母。

師（指著不含未知數(shù)的等式50+50=100、23×6=138）：這些等式表示的是已知數(shù)之間的等量關(guān)系。

師（指著含未知數(shù)的等式x+30=50+20、7y=2.8）：這些表示的是什么呢？

（學生先獨立思考，然后小組討論）

生2：不知道的和已經(jīng)知道的之間的關(guān)系。

生3：已經(jīng)知道的和不知道之間的等量關(guān)系。

師：未知數(shù)用什么來表示？

生4：字母。

師：這種表示已知數(shù)和未知數(shù)等量關(guān)系的式子就是方程。

師：方程是依據(jù)什么寫出來的？

生5：等量關(guān)系。

師：像這樣，依據(jù)已知數(shù)和未知數(shù)之間的等量關(guān)系建立起來的含有未知數(shù)的等式叫作方程。

……

師：請回顧得出方程的過程。

生6：首先要找出等量關(guān)系，然后用字母表示未知數(shù)，再寫出等式，也就是方程。

師：回答得真精辟！同學們已經(jīng)初步認識了方程，那么方程和等式有什么聯(lián)系和區(qū)別？

生7：方程是等式，是含有未知數(shù)的等式。

生8：方程是等式的一部分。

師：如果用一個圈表示所有的等式，方程用另一個圈表示，還記得我們學過的韋恩圖嗎？想一想，應(yīng)該怎么畫？

（教師根據(jù)學生的回答畫出韋恩圖）

【思考：陳重穆教授認為：“有些名詞的定義作用并不大，要緊的是對其實質(zhì)的理解與領(lǐng)悟。”用“含有未知數(shù)的等式”來定義方程容易流于表面，而忽略其本質(zhì)。在這個教學環(huán)節(jié)中讓學生觀察、對比這些等式，發(fā)現(xiàn)其不同，雖然都是等式，都表示等量關(guān)系，但是方程是依據(jù)已知數(shù)和未知數(shù)之間的等量關(guān)系建立起來的含有未知數(shù)的等式，這也是方程特殊之處，然后讓學生回顧得出方程概念的全過程，思考方程和等式的關(guān)系。經(jīng)過這樣的對比、分析、回顧和反思，方程的模型逐漸在學生腦中建立起來。學生對于方程的本質(zhì)也有了一個比較清晰的認識。】

史寧中教授提出：“在數(shù)學活動中，讓學生了解數(shù)學模型，特別是了解數(shù)學模型的構(gòu)建過程是非常重要的。”而在這節(jié)課中，讓學生從認識相等關(guān)系開始，再接著建立等量模型，繼而建立方程模型，理解其本質(zhì)，就把逐層抽象、逐步建立模型思想體現(xiàn)得淋漓盡致。

（責編 金 鈴）