高溫下混凝土二維溫度-應力場數值模擬

劉 峰, 閆 強

(寧夏大學土木與水利工程學院，寧夏銀川 750021)

近年來，建筑結構的火災發生趨勢日益增長，這使得混凝土的高溫性能更加受到重視[1]。基于國內外大量的試驗結果，許多學者給出了混凝土的高溫熱工性能、本構關系和強度、損傷等模型。隨著理論和計算機技術的發展，將理論研究成果應用于實際工況的模擬已成為可能。數值模擬具有節省成本、歸納模型、周期高效等明顯優點，成為重要的設計分析工具。

混凝土的熱工性能參數是時間相關函數，在許多實驗中已得到證實[2]。本文基于ANSYS熱-結構計算仿真，對100 mm正方體C30、C40混凝土試塊進行二維瞬態溫度-應力場數值分析，模擬高溫作用下，混凝土內部溫度場及熱應力場隨時間的變化，可為混凝土高溫作用的計算機模擬和工程熱損傷評估提供參考價值；同時，運用第一強度理論和莫爾強度理論，對溫度-應力場進行了校核和判斷，對傳統強度理論在混凝土高溫作用下的運用判別提供了驗證。此外，得到了一套溫度-應力場數值模擬的計算參數。

1 熱工理論及條件

1.1 熱工理論

混凝土試件溫度-應力場分布的數值模擬涉及到三項基本熱工性能：質量密度、質量熱容和導熱系數。其它參數可由這三項基本參數推導得出，加上三項結構力學參數，共計7項。混凝土構件的溫度場是時間動態的熱傳導問題，可通過微元體構建的微分方程進行數值計算求解。在外部溫度荷載作用下，通過單位面積流入、流出的熱量交換，依據導熱系數的定義，可得加入微元體的單向熱量：

(1)

(2)

Q=(qx-qx+dx)dydz

(3)

由熱力學第一定律，可得

ΔE=Q+W(認為一般工況W=0)

(4)

根據熱量守恒定律，參考公式(1)至(4)，對公式下標進行三向替換，建立三向微分方程，(認為微元體內cρ為恒定值)，可得瞬態熱傳導的基本微分方程：

(5)

式中：ΔE為系統內能的增加，單位J；Q為加入系統的熱量，單位J；W為外界對系統做的功，單位J；x、y、z為三向坐標，單位m；T為溫度，單位℃；t為時間，單位S；c為比熱，單位J·kg-1·℃-1；ρ為密度，單位kg·m-3；λ為導熱系數，單位W·m-1·℃-1；qd為單位時間、單位體積內熱源生成的熱量，單位J。

由于混凝土凝固期已過，絕大部分熱量已耗散，內部水化熱量剩余保留很小，可認為混凝土內部無熱源且不考慮硬化階段釋放的熱量，取qd=0。

1.2 定解條件

1.2.1 初始條件

火災高溫作用前，構件處于環境溫度狀態，假定周圍環境溫度T0，則：

T(x,y,z,t=0)=T0

(6)

1.2.2 邊界條件

高溫邊界條件可分為三類：

(1)結構邊界的溫度是時間的函數，即：

T(x,y,z,t)|l1=Tf(t)

(7)

(2)結構邊界的熱流密度是時間的函數，即：

(8)

(3)結構邊界接觸的流體溫度是Ta，h是換熱系數，即：

(9)

運用第一類邊界條件和第三類邊界條件進行模擬。

2 計算參數及模型

2.1 升溫曲線

采用的加載升溫曲線有2條：實驗室高溫爐的加載曲線，加載方式為分段線性升溫，速率為10 ℃/min ，時間—溫度函數為T=t/6，單位為℃/S；ISO國際標準升溫曲線，時間—溫度函數為T=T0+345lg(8t+1)，單位為℃/min。兩種加載最高終止溫度為600 ℃，達到終止溫度后維持恒溫，加載總時長為8 h。

2.2 熱工參數

本文將混凝土看作整體相材料，整合水泥漿體和骨料的總體熱工性能。

(1)質量密度。參考文獻[3]，采用如下密度公式：

ρc=2400-0.56T

(10)

(2)質量熱容。混凝土的質量熱容受水分、骨料類型和配合比的影響，但是影響不大，采用歐規推薦的熱容統一表達公式[4]：

(11)

(20℃≤T≤1200℃)

(3)導熱系數。為了減小公式差異引起的誤差，仍采用歐規推薦的導熱系數公式：

(12)

(20℃≤T≤1200℃)

(4)熱膨脹系數。采用歐規推薦的熱膨脹系數公式：

α=(-1.8×10-4+9×10-6T+2.3×10-11T3)/1000

(13)

(20℃≤T≤700℃)

(5)換熱系數。在數值模擬中，熱對流和熱輻射是分別考慮的，在進行熱對流邊界條件數值模擬時，沒有考慮熱輻射，為了與真實環境相匹配，將熱輻射影響線性疊加引入熱對流，參考文獻[5]，試驗環境風速取為0，取總換熱系數h為12.0。

(6)彈性模量。采用歐規推薦的彈性模量公式：

(14)

(20℃≤T≤800℃)

(Ec為常溫下的混凝土彈性模量，取自《混凝土結構設計規范》GB 50010-2010)。

(7)泊松比。混凝土的泊松比取0.2，取自GB 50010-2010《混凝土結構設計規范》。

2.3 計算模型

利用ANSYS軟件，選用100 mm正方形二維平面模型，網格可整齊平均劃分，減小計算誤差(圖1)。按前述升溫曲線，以600 ℃為終止溫度，進行溫度加載，達到終止溫度時，維持恒溫不變，全程總時長為8 h；混凝土試塊初始溫度為20 ℃，環境初溫為0 ℃；溫度場采用Quad 8 node 77平面單元，直接熱-應力場采用Coupled field,vecter quad 13耦合單元，進行瞬態時程數值模擬。

圖1 ANSYS二維模型

3 數值模擬

3.1 溫度場模擬

3.1.1 溫度邊界條件

采用分段線性加載，在試塊表面達到100 ℃時(即10 mm)，試塊中心1/2邊長的方圓形區域基本保持在初始環境溫度，為22.69 ℃，可以得知，在100 mm立方體試件中，高溫作用向內將推進至1/2邊長處(圖2)。之后隨著混凝土表面不斷升溫，高溫作用邊界溫度場梯度平行于邊長方向分層逐漸有序內滲，內部溫度場呈現環形分層，中央核心區保持為圓形，內插200 ℃和400 ℃結果(圖3、圖4)。試塊表面達到60 0℃時，保持恒溫繼續加載(高溫爐恒烘)，中央核心區逐漸內縮，高溫作用逐漸入至混凝土中心，內插1 h、1 h 10 min和1 h 30 min結果(圖5～圖7)。當烘至1.5 h時，中央核心區溫度為544 ℃(圖7)，當烘至2 h時，中央核心區溫度為586 ℃(圖8)，在工程允許誤差范圍內，此值可以接受。

圖2 100℃時表面溫度場分布

圖3 200℃時表面溫度場分布

圖4 400℃時表面溫度場分布

圖5 1h時溫度場分布

圖6 1h 10min時溫度場分布

圖7 1h 30min時溫度場分布

圖8 2h時溫度場分布

采用ISO升溫分段加載，在10 min時，邊界溫度已達600 ℃，試塊中心1/2中央核心區已呈圓形，且已升溫至142 ℃。之后，高溫作用邊界溫度場梯度同樣平行于邊長方向分層逐漸有序內滲，內部溫度場呈現環形分層，中央核心區保持為圓形。保持恒溫繼續加載，中央核心區逐漸內縮，高溫作用逐漸入至混凝土中心，與分段線性加載溫度場分布規律相同。當烘至1 h時，中央核心區溫度為555 ℃，當烘至1.5 h時，中央核心區溫度為589 ℃，在工程允許誤差范圍內，此值可以接受。比對兩種加載方式在10 min時的結果，混凝土在ISO加載作用下，內部核心區升溫更高更快。

由于邊界條件為試塊表面直接加載溫度，高溫實驗為溫度棒加載，混凝土的表面溫度會滯后溫度棒加載溫度，所以，溫度邊界條件數值模擬為試驗的上限值。

3.1.2 空氣對流邊界條件

采用分段線性加載，起初10 min，高溫作用邊界溫度場梯度平行于邊長分層逐漸有序內滲，但是，四角處高溫作用溫度場梯度呈現45 °分布內滲，且四角處溫度較高(圖9)。之后，由于四角處45 °高溫作用溫度場梯度逐漸向內發展，邊界處平行于邊長溫度場梯度將逐漸消失，溫度場梯度以內部中心點為圓心，向外呈現環形分布，但高溫作用仍然為內滲，1 h和2 h分布見圖10和圖11，邊界溫度和四角處溫度分別為202 ℃、255 ℃和389 ℃、427 ℃。同時，在四角處呈現的45°分層現象、邊界處的溫度場梯度分層和許多高溫試驗中混凝土出現的掉角、表面剝落現象相一致。當烘至4 h時，中央核心區溫度為522 ℃，表面溫度達到538 ℃，角點溫度達到551 ℃；在7 h時，混凝土試塊中央核心區溫度達到585 ℃，表面溫度達到589 ℃，角點溫度達到591 ℃，見圖12。

圖9 10min時溫度場分布

圖10 1h時溫度場分布

圖11 2h時溫度場分布

圖12 7h時溫度場分布

采用ISO升溫分段加載時，與分段線性加載溫度場分布規律相同。當烘至4 h時，中央核心區溫度為538 ℃，表面溫度達到548 ℃，角點溫度達到561 ℃；在7 h時，中央核心區溫度為589 ℃，表面溫度達到591 ℃，角點溫度達到593 ℃。比對兩種加載方式的結果，混凝土在ISO加載作用下，內部核心區仍然升溫更高更快。

由于高溫作用下混凝土會產生微裂紋，加速高溫作用的滲透，空氣對流邊界條件數值模擬為試驗的下限值。

綜合上、下限可知，分段線性加載且恒溫(期望溫度)至4 h時，混凝土試塊內部溫度已超過522 ℃，表面溫度已超過538 ℃，內部核心區已達到期望溫度的87 %以上。從下限來看，建議再恒溫烘烤3 h，混凝土試塊內部中心的溫度達到585 ℃，達到期望溫度的97 %，即加熱烘溫7 h。結合上、下限和已有的試驗結論[1]，平均加熱烘溫6 h，內部核心區已可達到期望溫度的90 %以上，混凝土內部中心可以“燒透”，與文獻[2]的試驗結果相一致。

3.2 相關驗證

根據有關研究[6]的曲線圖，在混凝土試塊中心預埋熱電偶，進行溫度測量。對比文獻[6]的表、心溫度場時程圖(圖13)，可見，溫度邊界條件的數值模擬結果(圖14)與空氣對流邊界條件的數值模擬結果(圖15)分別是試驗結果的上、下限；利用兩種模擬結果中心溫度的平均值作圖，曲線以400 ℃為拐點，拐點前、后分部曲線的走勢與試驗結果較為吻合，見圖16。比較文獻[7-8],當試塊表、中溫度趨于穩定后，中心與爐溫(不是表面溫度)會差值20 ℃左右。也可從數值模擬的圖16反映出來：在6 h時，混凝土內部中心溫度為586 ℃，與期望溫度差值為14 ℃，模擬平均值較為安全。數值模擬曲線(圖16)存在拐點，但與試驗結果相比，拐點左右斜率突變較小，原因是：數值模擬采用的熱工性能為二次或一次光滑連續函數，在700 ℃以內，并無突變分段，且混凝土的對流換熱系數測定結果差異較大，本文近似取為常數。

圖13 文獻[6]的表、心時程溫度

圖14 溫度邊界條件的表、心時程溫度

圖15 對流邊界條件的表、心時程溫度

圖16 中心時程溫度的平均值

采用上、下限平均值法，可以一定的、有效的模擬混凝土內部溫度場的分布情況。

4 熱力學強度校核

對于許多拉伸時發生脆斷的材料(如混凝土)，在斷裂破壞失效前，會出現少量的非線性變形，由于這種非線性變形不大，可近似采用胡克定律計算；且數值模擬的熱工參數都為非線性差值擬合所得，已反映材料非線性性能，計算可行。采用直接熱—結構耦合分析，得到瞬態計算結果，結果顯示，最大、最小主應力分別為拉、壓應力，對于脆性材料，此種應力狀態在常溫下宜采用莫爾強度理論進行校核；根據文獻[9-10]，主拉應力在混凝土的高溫破壞中的作用已日益凸顯，故從以主拉應力為參數的第一強度理論和莫爾強度理論進行校核，擴大經典強度理論的適用溫度范圍。

4.1 第一強度理論

選用100～700℃為升溫終止溫度，共7種工況，混凝土強度等級為C30和C40，以空氣對流邊界條件、溫度分段線性加載方式進行分析。由于溫度場呈現環形分層，可取正對稱十字線1/2中點(中心點)、正對稱軸1/4分點、邊點(邊長中點)、對角線1/4分點、邊長1/4點、邊點(角點)6點為校核點，見圖17；對比6點的時程主拉應力最大值進行校核，結果見表1、2和表3、4，(各溫度工況下的主拉應力最大值用方框圈住)。

圖17 校核點

根據文獻[7]得出的高溫時的抗拉強度計算公式(由C20和C40擬合,可認為C30也符合此式)，參考GB 50010-2010《混凝土結構設計規范》的混凝土軸心抗拉強度標準值，計算得出溫度與抗拉強度的關系數值，見表5。C30和C40混凝土的第一主應力最大值(表1～表4)，且與表5對比，根據第一強度理論，20～500 ℃時，C30和C40混凝土可承受高溫荷載，600 ℃以上時，C30和C40混凝土破壞失效；由于大量試驗和論文都發現，在600～700 ℃時，試件出現明顯的裂紋，且試件明顯疏松，在工程上可以認為破壞失效[11]，數值模擬與試驗結果吻合較好。

表1 C30時程——第一主應力最大值

注：時刻：t/S；溫度：T/℃；應力：σ/MPa

表2 C30時程——第一主應力最大值

注：時刻：t/S；溫度：T/℃；應力：σ/MPa

表3 C40時程——第一主應力最大值

注：時刻：t/S；溫度：T/℃；應力：σ/MPa

表4 C40時程——第一主應力最大值

注：時刻：t/S；溫度：T/℃；應力：σ/MPa

表5 溫度——抗拉強度值

注：溫度：T/℃；抗拉強度：σ/MPa

4.2 莫爾強度理論

與前者的方法相同，運用第一主應力和第三主應力計算出各溫度工況時程下的莫爾相當應力的最大值，點1在各工況下第三主應力均為0，點2～6中，最大第三主應力為4 MPa,且在700 ℃時產生，乘以拉、壓系數0.1，為0.4 MPa，數值很小。經過各點、各工況的計算對比，這里只列出六點比較的最大值結果(表6、表7)。

表6 C30時程——莫爾相當應力最大值

注：溫度：T/℃；相當應力:σ/MPa

表7 C40時程——莫爾相當應力最大值

注：溫度：T/℃；相當應力：σ/MPa

可見，運用莫爾強度理論與第一強度理論所得結論相同：超過600 ℃時，混凝土破壞失效。

5 結論與展望

本文運用有限元軟件ANSYS對C30和C40混凝土在兩種溫度邊界條件的工況下進行了瞬態溫度場和應力場的數值模擬。

(1)溫度邊界條件和空氣對流邊界條件能一定地模擬混凝土的溫度場分布，分別是上限值和下限值；二者的計算平均值與文獻所給的試驗結果吻合較好，且曲線走勢一致。

(2)在工程范圍內，第一強度準則和莫爾強度準則能給出一定的破壞失效判斷；考慮實際因素，兩種強度準則能一定的、有效的應用于普通混凝土的非常溫應力場分析，給出的結果偏于安全，可為混凝土的相關抗火研究提供適當的理論依據。

(3)得到了一套混凝土的溫度-應力場的數值模擬計算參數。

(4)可進一步研究熱輻射參數對混凝土的高溫作用影響；混凝土立方體的抗拉強度試驗值較為離散，本文引用的抗拉強度是規范的軸心抗拉強度，可進一步研究不同的抗拉強度取值所產生的尺寸效應。