不確定混沌系統的濾波反演自適應滑模控制

崔明月， 劉紅釗， 趙金姬， 屈重年， 劉 偉

(南陽師范學院 機電工程學院， 河南 南陽 473061)

0 引 言

混沌系統作為一種典型的非線性系統，在信息處理、通信保密等方面得到廣泛應用。混沌系統的控制問題已經成為研究的熱點，許多控制方法被研究人員提出，如反演控制[1]、自適應控制[2]、最優控制[3]等。在眾多混沌控制中，跟蹤控制就是通過對混沌系統施加控制力，使其輸出響應跟蹤任意給定的參考信號[4]。

上述混沌系統控制方法大都要求建立被控對象準確數學模型，在工程實際中往往不易實現。因此，當系統中存在參數變化或不確定因素時，系統的魯棒性就會降低，動態性能也會變差。基于此，一些研究者提出了具有較強魯棒性與自適應性的混沌控制方法，如：線性反饋控制[5]、基于Laypunov理論的指數控制法[6]、自適應模糊控制[7]、滑模變結構控制[8]等。其中，滑模控制(Sliding Mode Control, SMC)因其對系統參數變化及擾動不靈敏、無需系統在線辨識等優點，被廣泛應用于非線性系統控制中，但對于常規滑模變結構控制，高的切換增益以及符號函數的存在是抖振現象產生的根源，從而影響了其在工程實際的應用[8]。為削減抖振現象，對傳統滑模控制提出了許多改進措施，如：基于濾波器的滑模控制、動態滑模控制、基于觀測器的滑模控制、基于模糊邏輯的滑模控制等[8]。盡管這些控制方法能夠在一定程度上降低滑模控制信號的抖振，改善系統的控制性能，但要求系統具有完全能測量的狀態，否則上述控制方法將失效[9]。擴張狀態觀測器(Extended State Observer, ESO)被廣泛用于系統的未知狀態和不確定項的估計[10]。ESO幾乎不依賴于系統模型，且具有很強的抗干擾能力，因此廣泛應用于非線性系統控制領域[11-12]。但是，當系統的模型階數與非線性程度較高時，上述控制方法往往不易實現。而Backstepping設計方法能夠將復雜高階的非線性系統分解成多個低階子系統，通過選擇合適的Lyapunov函數逐步推導出最終的控制律，從而實現對系統的有效控制[13]。

針對狀態不可測的不確定混沌系統，本文提出基于ESO的Backstepping自適應滑模控制方法。該方法運用線性ESO對混沌系統的狀態與總的不確定性進行估計，然后基于Backstepping策略設計滑模控制器，同時基于Lyapunov穩定性理論設計滑模控制律與切換增益的自適應更新律。通過一個濾波器獲得虛擬控制量的導數，避免微分項述的膨脹，大大簡化控制器的設計過程。

1 問題描述

考慮如下不確定非線性混沌系統：

(1)

假設狀態x1,x2,x3不能直接測量但可觀測，非線性函數f1(x1,x2,x3)，f2(x1,x2,x3)，f3(x1,x2,x3)未知可微，對狀態x1,x2,x3各階偏導存在且連續。

混沌系統具有較強的非線性，對初值非常敏感，且系統的狀態不易獲得，許多常規的控制策略已不能滿足控制效果。本文的目的在于針對狀態不可測的不確定混沌系統(1)設計一個ESO與自適應滑模控制器，實現混沌系統狀態x1的穩定跟蹤控制。

2 控制器設計

2.1 模型變換

由于未知函數f1(x1,x2,x3)對x1,x2,x3的各階偏導連續可微，故可構造函數：

(2)

設計如下坐標變換:

(3)

由前面假設可知，未知函數g(x1,x2,x3)對狀態x1,x2,x3連續可微，故可將式(1)變換為如下嚴格參數反饋系統:

(4)

為了對混沌系統進行控制，將控制輸入u加入系統，同時考慮系統的外部擾動，系統(4)可寫為

(5)

式中：u為控制輸入；b為控制輸入增益；

d(t)為系統未知的外部擾動。為了便于設計觀測器與控制器，將式(5)寫為如下等效形式:

(6)

式中：

w(x1,x2,x3)=f(x1,x2,x3)+d(t)

為混沌系統總的不確定性。

2.2 不確定性的估計

ESO是一種新型的非線性觀測器，可以對系統的狀態與未知的擾動進行估計[14]。針對式(6)設計如下的4階線性ESO：

(7)

(8)

定義觀測誤差向量

(9)

則, 式(8)可寫為

(10)

式中：矩陣

(11)

矩陣A的特征多項式為

|sI-A|=s4+β1s3+β2s2+β3s+β4

(12)

由Routh-Hurwitz穩定性判據可知，若式(8)中的系數βi(i=1,2,3,4)滿足如下條件:

(13)

則觀測誤差動態系統(8)漸近穩定, 即ESO觀測誤差eo收斂至0向量。

2.3 ESO增益的確定

ESO屬于高增益觀測器，觀測器增益βi>0,i=1,2,3,4對ESO至關重要，影響著觀測器的收斂速度。運用帶寬的概念來確定ESO的增益βi>0,i=1,2,3,4。ESO的期望特征多項式為

λ0(s)=(s+ω0)4=

(14)

式中：ω0為觀測器的帶寬。

比較式(12)與(14)可得：

(15)

2.4 自適應滑模控制器設計

在對系統(6)的狀態與不確定部分進行估計的基礎上，規定控制目標是設計一個自適應控制律u，使系統輸出y=x1漸進跟蹤一個有界參考信號yr,即

(16)

下面基于反演策略設計不確定混沌系統(6)的滑模跟蹤控制器。

步驟1定義跟蹤誤差e1=y-yr=y1-yr，假設參考信號yr充分光滑，由式(6)可知:

(17)

定義Lyapunov函數

(18)

則其沿式(17)的導數為

(19)

(20)

步驟2定義虛擬誤差

e2=y2-α1

(21)

則

(22)

由式(17)、(20)、(22)可得:

(23)

由式(22)、(23)可得：

(24)

考慮誤差動態方程(22)與(23)，將y3暫時作為“控制變量”實現此兩式的鎮定，定義Lyapunov函數

(25)

則V2沿式(23)和(24)軌跡的導數為

(26)

(27)

步驟3定義虛擬誤差

e3=y3-α2

(28)

則e3對時間t的導數為

(29)

由式(27)、(28)可得：

(30)

將式(30)代入式(24), 得:

(31)

將式(23)與(31)代入(29)得：

(32)

式中,

λ3=k1+k2

定義切換函數

s=c1e1+c2e2+e3

(33)

式中：c1與c2為正的常數。則s對時間t求導并考慮式(23)、(31)、(32), 化簡為

(34)

式中：

ρ1=c1k1+c2-λ1,ρ2=c1-c2k2-λ2

ρ3=c2+λ3

定義Lyapunov函數

V3=V2+0.5s2

(35)

則

(36)

設計滑模控制律為

h(s+εsgn(s))]

(37)

式中：h>0是設計常數；ε>0為切換增益。

在滑模控制律(37)中，為了削弱控制信號的抖振，更好地克服外部擾動，使系統具有更強的魯棒性，設計如下的切換增益ε的自適應調整算法:

(38)

(39)

注1如不做特殊說明，上述控制律設計過程中的yi(i=1,2,3)及w均是指其由式(7)ESO得到的估計值。

2.5 穩定性分析

定理1系統(6)在滑模控制律(39)與切換增益適應律(38)的作用下, 設計如式(33)的切換函數, 則閉環系統誤差e1,e2,e3漸近收斂到0.

證明定義如下的Lyapunov函數

(40)

則V3對時間t的求一階導數, 并考慮式(33)、(36)、(38)、(39)可得:

hε|s|=-eTQe-hε|s|

(41)

(42)

通過選擇參數h，k1，k2，c1，c2，可使Q的各階順序主子式均大于0，從而保證Q為正定矩陣。從而可得

(43)

由式(43)對時間t求導, 得：

(44)

(45)

(46)

證畢

注2由文獻[13]可知，系統(6)滿足“分離定理”的條件，高增益的擴張狀態觀測器與自適應滑模控制器設計可獨立進行，觀測器的收斂性不影響閉環系統的穩定性。

3 濾波器的設計

由反演滑模控制律(37)的設計過程可知，在反推過程中需要反復計算虛擬控制信號的導數，這將導致微分項數的膨脹，使控制律的解析表達式非常復雜。因此，虛擬控制信號的求導通過濾波器，不必要解析求導，反演自適應滑模控制器的實現過程將會大大簡化。濾波器的原理如圖1所示。

圖1 信號的濾波處理

濾波器的狀態方程為

(47)

(48)

式中：ζ是濾波器的阻尼比；ωn是自然角頻率。

基于ESO的不確定混沌系統的濾波反演自適應滑模控制原理如圖2所示。

圖2 濾波反演自適應滑模控制原理

4 仿真實驗

為驗證本文所設計的控制策略的有效性, 選擇Lorenz混沌系統, 狀態方程如下:

(49)

式中: 當δ=16,ρ=49.52,b=4,x1(0)=20,x2(0)=20,x3(0)=50時產生混沌現象, 混沌吸引子如圖3所示。

圖3 Lorenz混沌系統的吸引子

定義函數：

(50)

由式(2)可得

g(x1,x2,x3)=1 048.32x1-272x2-16x1x3

應用式(2)所示的坐標變換，式(49)可化為

(51)

將控制輸入u加入系統, 控制輸入增益b取為1, 同時考慮考慮系統的外部擾動，系統(49)可寫為

(52)

式中：

為混沌系統總的不確定性, 系統的不確定外部擾動d(t)=2sint。對此系統(52)用擴張狀態觀測器(6)進行估計。擴張狀態觀測器的帶寬取ω0=60 rad, 觀測器增益由式(15)計算得出：

為驗證本文所設計控制方法的有效性和優越性, 分別對式(7)、 (38)、 (39)、 (47)表示的基于ESO的濾波反演自適應滑模控制(ESO+ FBASMC)、由式(7)、 (37)表示的基于ESO的常規反演滑模控制(ESO+BSMC)以及PID控制進行仿真實驗研究。采樣周期都設置為Ts=1 ms, 初始條件均設置為

x1(0)=20,x2(0)=20,x3(0)=50

滑模控制器的參數設置為

k1=70，k2=10，c1=50，c2=10

PID控制參數：比例系數kp=0.75，微分系數kd=0.32，積分系數ki=0.16。

3種控制方法的仿真實驗結果如圖4～8所示。 由圖4～6可知, 3種基于ESO的控制方法均能夠有效地控制混沌系統, 并且最終的跟蹤誤差均為0，PID控

圖4 位置跟蹤結果

圖5 位置跟蹤誤差

圖6 控制輸入u

(a) 濾波反演自適應滑模控制的ESO估計誤差(b) 反演滑模控制的ESO估計誤差

圖7 總的不確定性w的估計誤差

圖8 FBASMC切換增益ε的自適應變化過程

制出現了長時間的振蕩。進一步對比圖5中跟蹤誤差可知，系統在3種控制器作用下，跟蹤誤差的曲線發生了劇烈的振蕩，PID控制的誤差曲線振蕩最為劇烈，常規滑模控制的誤差曲線的振蕩程度次之，反演自適應滑模控制的誤差曲線最平緩, 跟蹤誤差收斂最快, 這是因為常規反演滑模控制方法的切換增益ε是固定值，一旦系統的外部擾動變化時, 控制器便無法這種變化；而對于反演自適應滑模控制方法而言, 由于切換增益ε(t)能夠自適應調節，控制器經過更短時間的調整后使跟蹤誤差快速地收斂到零，而由于混沌系統是非線性程度較強的系統，PID控制的效果最差。

同時, 通過對比圖6中3個控制信號可見，濾波反演自適應滑模控制方法在這3種控制信號中幅值是最小的，這也證明了此控制方法能夠在一定程度上削減抖振。圖7給出的是兩種反演滑模控制方法中系統總的不確定部分w的估計結果，結果表明ESO對系統的不確定性具有良好的估計能力。進一步比較圖7(a)與圖7(b)可知，濾波反演自適應滑模控制方法中的ESO的估計效果要好于常規反演滑模控制中的ESO的估計效果。圖8給出了濾波反演自適應滑模控制中切換增益ε(t)的自適應曲線，參數ε(t)最終收斂至8左右，小于常規反演滑模控制方法中直接給定的控制增益ε=12。

5 結 語

本文綜合運用反演自適應控制和擴張狀態觀測器理論，提出了一種狀態不可測的不確定非線性混沌系統的自適應滑模控制方法。通過非線性坐標變換，將一般的非線性系統模型變為更適宜Backstepping控制器設計的嚴格參數反饋形式。設計了線性擴張狀態觀測器估計系統未知狀態及不確定項，并基于Backstepping策略設計自適應滑模控制器以保證系統的跟蹤誤差漸近收斂至零點。同時，虛擬控制信號的導數通過濾波器獲得，避免了解析求導，簡化了控制器的設計過程。與常規反演滑模控制器及PID控制的對比仿真表明了該自適應控制器的有效性與優越性。