骨架突破法

董裕華

編者按：不少同學一開始也是雄心勃勃，希望通過自己的努力，在數學上有個大的飛躍，但大部分人過不了多久就放棄了.每到放假或者補課的時候都會抱著從頭再來的心態，都是從“集合”開始，一個章節一個章節地過關.即便是學習不好的學生，對于集合這一部分都充滿自信，其原因就在于此.這樣的學習，與其說是在積聚實力，倒不如說是在積累挫折感.

那么，有沒有捷徑可走？就從骨架內容開始突破吧.

什么是數學的骨架內容？

所謂骨架內容是指數學的基本概念和重要公式.概念是數學的核心內容.學習一個新符號，概念就是指那個符號的定義、性質、特征等;學習一個圖形，概念則是指圖形的定義、定理、性質一類的東西.公式可以讓我們省略很多解題步驟，很容易直接得出結果，如三角誘導公式、正弦定理、余弦定理等.重要的數學用語或公式要在理解的基礎上熟練背誦，并能準確默寫.需要注意的是，在作為骨架的概念或者公式里沒有必要包含過難的內容，認真學習以后就應該能夠記得住.骨架學習，旨在把握知識整體的骨架.

怎么學習骨架內容？

數學的骨架內容，大部分的輔導書都已經列出了.教科書和輔導書在學習上的作用各有千秋.教科書的長處在于它有較為詳盡的說明，重點是把既簡單又重要的內容整理出來;輔導書的長處則在于它收錄了考試中常常出現的題目類型，而且把概念整理得條理清晰、一目了然.在學習的時候，要以教科書為主，并依靠輔導書的幫助來整理一些需要背誦的東西.如果喜歡自己整理，還可以用熒光筆或彩色筆把必須要記住的東西標注好，或把它們抄寫在筆記本上去記憶，這樣可能會更有成效.

為了提高骨架內容的學習效果，還要輔之以相應的骨架題.骨架題就是那些與重要的概念、公式直接相關的題目.這些題目是考試中的必考題，是檢驗各個單元的重要概念是否掌握的尺子.大致來說，圍繞每個知識點的骨架題有4個左右，有時候也會只有一兩個.學習骨架題最好以教科書為藍本，一般都是在重要概念或公式的說明之后出現的題目，課本的例題和習題大多是骨架題.前面舉的好多例子都是在課本骨架題的基礎上拓展開來的.

為什么學習骨架題可以迅速提高成績？

第一，骨架內容和骨架題代表的是所在單元的基本學習目標.要想獲得基礎分，掌握它們就已經足夠了.如果說骨架內容是構筑數學大廈的鋼筋，骨架題就是構筑大廈的}昆凝土，其他數學題目只是建筑需要的磚瓦.磚瓦也不是多多益善，但沒有鋼筋、}昆凝土，高樓大廈就無法構筑.

第二，骨架題是學習相關知識點的重要載體，讓整個知識血肉相連，促進了骨架內容的理解和消化，就像鋼筋、混凝土融合在一起的時候才牢不可破.如果連骨架題都不會，其他題目做得再多也不會有什么幫助.

第三，骨架題在考試中一定會出現.如果把略微應用了骨架題的題目都算在內的話，很多的考試題目實際上都在此列，即使是高考，只要把這些內容切實掌握好，考個100分以上（滿分按150分或160分計）也不是一件很難的事，而且對骨架題集中學習，量并不大，時間也可以大幅減少.只要把骨架題實實在在掌握好了，至少能使你保持中游水平，

第四，如果在平時學習時，已經預習過課本的骨架內容和骨架題，你就能更加積極地參與課堂上的互動，理解也會更清楚，自然也就會覺得更為有趣.

骨架題要練習到什么程度？

骨架題要練習到在沒有任何外界幫助的情況下，能夠自己把它們解答出來的程度.這與背誦公式和概念差不多，特別是對于教科書中的解題步驟，盡可能原封不動地把它們寫出來是很重要的，有些同學總是自己隨心所欲地杜撰一些解題步驟，這是一個必須改正的不良學習習慣，

以《平面向量》為例，我們編制了如下資料（注：受篇幅限制，本文僅摘錄部分）：

一、向量的基本概念

【骨架知識】

①向量的定義：既有大小又有方向的量.向量具有數量和方向兩重性.向量可以用有向線段來表示，有向線段是固定不變的，但向量可以平移，向量平移后，其起點和終點的坐標都變了，但向量的坐標不變。

②零向量：長度為0的向量叫零向量，記作：0.零向量的方向是任意的.

④相等向量：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量.

⑤平行向量（也叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量a，b叫做平行向量，記作：a∥b;規定零向量和任何向量平行.兩向量平行包含兩向量在同一條直線上的情形，但兩直線平行卻不包含兩直線重合的情形，

相等向量與共線向量的關系：（i）相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等;（ii）相等向量具有傳遞性，而平行向量不具有傳遞性.非零向量a，b滿足a∥0，b∥0，但不一定有a∥b.

⑥相反向量：長度相等方向相反的向量叫做相反向量.a的相反向量是-a.

【骨架題】

（l）已知A（l，2），B（4，2），則把向量AB按向量a=（-1，3）平移后得到的向量是_______________.

（2）下列六個命題：（i）若|a|=|b|，則a=b.（ii）兩個向量相等的充要條件是它們的起點相同，終點相同.（iii）若AB =DC，則ABCD是平行四邊形.（iv）若ABCD是平行四邊形，則AB =DC. （v）若a∥b，b∥c，則a∥c.（vi）A，B，C三點共線<=>AB，AC共線，其中正確的是____

二、向量的表示方法

【骨架知識】

①幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，起點在前，終點在后，如AB.

②符號表示法：用一個小寫的英文字母來表示，如a，b，c.

③坐標表示法：在平面內建立直角坐標系，以與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i，j為基底，則平面內的任一向量a可表示為a =xi+yj=（x，y），稱（z，y）為向量a的坐標，a=（x，y）叫做向量a的坐標表示.如果向量的起點在原點，那么向量的坐標與向量的終點坐標相同.

三、平面向量基本定理

【骨架知識】

如果e1和e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對該平面內的任一向量a，有且只有一對實數λ1，λ2，使a =λle1 +λ2e2.

【骨架題】

（3）向量a，b，c在正方形網格中的位置如圖1所示.若c=λa+λb（λ，μ∈R），則λ/μ=____

（4）已知D，E分別是△ABC的邊BC，AC的中點，且AD =a，BE =b，則BC可用向量a，b表示為____

（5）在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC

的中點，若AC =A AE+μAF，其中λ，μ∈R，則λ+μ=____

四、實數與向量的積

【骨架知識】

實數λ與向量a的積仍是一個向量，記作λa.它的長度和方向規定如下：①|λa|=|λ||a |;②當λ>O時，λa的方向與a的方向相同;當λ

五、平面向量的數量積

【骨架知識】

①兩個向量的夾角：對于非零向量a，b，作OA =a，OB =b，∠AOB=θ（0≤θ≤π）稱為向量a，b的夾角.當θ=O時，a，b同向;當θ=π時，a，b反向;當θ=π/2號時，a，b垂直.

②平面向量的數量積：如果兩個非零向量a，b，它們的夾角為θ，我們把數量|a|.|b| cosθ叫做a與b的數量積，記作：a.b，即a.b=|a ||b| cosθ.規定：零向量與任一向量的數量積是0.

【提醒】 數量積是一個實數，而不再是一個向量，零向量與任一向量的數量積是數0，而數0與任一向量的積是零向量.

③向量數量積的性質：設兩個非零向量a，b，其夾角為θ，則：