立足母題 展開聯想

谷一

進入高三以來，老師一直要求我們多做題、做好題、多思考、多聯想，能夠通過解一道題，聯想到多種方法和類似的題，有助于開拓我們的思維.

前幾天老師布置我們做一道關于重心的題，題目是這樣的：

如圖1，若點G為△ABC的重心，且AG⊥BG，則sin C的最大值為____.

立即向老師匯報我的做法，老師很贊賞.卻又提出一個問題：從形的角度看，還有其他想法嗎？

引例的幾何解法：

如圖5，過A，B兩點作⊙M（當然可以作出無數個圓），若使得⊙M與x軸正半軸相切，則切點即為所求點C（可由平面幾何知識證明：∠ACB>∠ADB）！此時，由切割線定理可以得到：OC²=OA·OB，即x=√ab時取“=”！

從引例我得到啟發：本題不過是把引例中的x軸正半軸換成了⊙D而已，只需找出動⊙M與⊙D的切點即可！

如圖6，過A，B兩點作⊙M，逐步增加其半徑，直至與⊙D內切，顯然切點為AB中垂線與⊙D的交點Ci此時∠ACB取得最大值.（在⊙D上任選一異于點C的點N，連結AN交⊙D于點K，則∠ACB=∠AKB>∠ANB，即可證明）

看了我的完整解答，老師笑了：“聯想是一種非常有效的解題方式，它不僅能夠幫助我們突破思維中的局限瓶頸，拓展思維，還可以提高思維靈活性與想象能力.”

至此，我從幾個不同角度探究了本題的一些解法.這些，都是聯想得來的，在以后的數學解題中，我們應仔細觀察題設條件中的細微之處，發掘題目的隱含條件，大膽聯想，從而找到解題的突破口，使得數學問題快速得解.