彈簧和單擺的周期與能量關(guān)系探討①

(福建省廈門集美中學(xué)，福建 廈門 361021)

循環(huán)往復(fù)的周期性運(yùn)動(dòng)是自然界中較為普遍的運(yùn)動(dòng)方式，例如鐘擺、潮汐、生理節(jié)律(生物鐘)，簡諧運(yùn)動(dòng)則是周期性運(yùn)動(dòng)中最基本的一類運(yùn)動(dòng)。“振動(dòng)和機(jī)械波”作為高中物理中的重要內(nèi)容，既是教學(xué)的重點(diǎn)更是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，其中一個(gè)核心的物理量是系統(tǒng)振動(dòng)的周期。眾所周知，彈簧振子的振動(dòng)是簡諧運(yùn)動(dòng)，振動(dòng)的周期與彈簧的勁度系數(shù)以及振子的質(zhì)量有關(guān)，作為彈簧振子的延伸，單擺則是另一類典型的周期性運(yùn)動(dòng)。由于單擺運(yùn)動(dòng)涉及機(jī)械能守恒和角動(dòng)量定理，學(xué)生往往難以掌握，值得物理教師對(duì)該類問題作深入的研究。

當(dāng)物體的擺幅很小時(shí)，可以將單擺運(yùn)動(dòng)與彈簧振子的簡諧振動(dòng)作類比，得到其周期公式，從量綱分析的角度也可以得到相關(guān)公式。[1]但是當(dāng)物體的擺幅較大時(shí)，周期也將隨之改變，單擺的周期與最大擺角有關(guān)。[2-4]因此如何站在更高的高度深刻理解單擺周期，定量給出單擺周期的一般公式，應(yīng)為物理教師所了解。

本文將從簡諧運(yùn)動(dòng)出發(fā)，從線性回復(fù)力拓展至非線性回復(fù)力，從能量守恒的角度，并結(jié)合非線性變換，定量地確定該類系統(tǒng)的周期與各參數(shù)的關(guān)系。并將這一方法運(yùn)用至單擺，定量地給出任意擺幅的單擺周期公式，我們將看到系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期與初始能量相關(guān)。

1 非線性回復(fù)力系統(tǒng)周期的確定

特別的是，當(dāng)n=1時(shí)可以退化為彈簧振子情況。

2 單擺周期與機(jī)械能的關(guān)系

3 結(jié)語

筆者從簡諧運(yùn)動(dòng)出發(fā)，探討了非線性回復(fù)力振子運(yùn)動(dòng)周期的一般公式，根據(jù)能量守恒定律，并結(jié)合非線性變換，得到周期T與機(jī)械能E0的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)T與E0的冪級(jí)數(shù)成反比。特別地，我們將這一結(jié)論運(yùn)用至單擺，得到一般條件下單擺振動(dòng)周期的表達(dá)式。本文的研究可以將簡諧運(yùn)動(dòng)與單擺等非線性振動(dòng)有機(jī)統(tǒng)一起來，為進(jìn)一步的實(shí)驗(yàn)探究作理論鋪墊，同時(shí)也可以深化物理教師對(duì)機(jī)械能守恒的認(rèn)識(shí)，開闊教學(xué)視野，提升教學(xué)素養(yǎng)，為解決其他類似問題提供借鑒。