“稚化思維”下的數學解題教學

☉江西省贛州中學 謝小翔

數學離不開解題，但解題教學很容易異化為教師展示“特技”的舞臺.臺上教師“精彩紛呈，滔滔不絕”，臺下學生“瞠目結舌，頂禮膜拜”.教師成了“演員”，學生自然只能充當“觀眾”，解題教學就很容易陷入“懂而不會”、“會而不對”的怪圈.其實，成功的解題教學追求的是“深入淺出”.誠然，教師的解題能力決定教學能否做到“深入”，而教師的教學水平則決定了在“深入”的基礎上能否實現“淺出”.只有“深入”而不能“淺出”的解題教學充其量只能是“紙上談兵”.因此，教師是否具備“稚化思維”的意識，能否采用“稚化思維”的策略開展課堂教學是檢驗教師教學水平的重要依據.

一、“蹲下身”，惑學生之所惑

學生的思維方式是教師進行教學設計的出發點，教師不要單純地以自己假想的問題和經驗作為解題教學的主要依據，而是要“蹲下身來”，立足學生的真實問題和已有經驗，思考學生可能出現的“困惑”，然后把這些“困惑”作為教學的出發點，從而“惑其所惑，疑其所疑”，幫助學生從原有的知識和經驗中尋找知識的生長點.

問題：如圖1，已知拋物線C的方程為x2=4y，F為其焦點，過不在拋物線上的一點P作拋物線的切線PA，PB，A，B為切點，且PA⊥PB.

（1）求證：直線AB過定點；

意圖：一方面，通過本題能夠引出上課的主題，激發學生的求知欲；另一方面，通過學生的嘗試解答，暴露學生思維，發現存在的問題.

對于本題，全班的得分非常不理想，系統分析后，發現存在以下幾個問題：

圖1

先讓學生嘗試解答，然后進行錯誤分析，進而發現學生存在的“真問題、實問題”，這為教師“站在學生認知水平稚化解題思維”搭建認知“腳手架”提供數據支撐.

二、“退一步”，難學生之所難

華羅庚曾經說過：“善于‘退’，足夠地‘退’，‘退’到最原始而不失重要性的地方，是學好數學的一個訣竅.”教師的“退”一方面有助于教師進行換位思考，體會到學生的困難所在，以學生實際的思維方式為基點來進行教學設計；另一方面能縮小師生之間思維與認知的“差距”，從而有助于實現教師思維的“學生化”，促進教與學過程的自然融合.

不難發現，以下幾個“難點”對學生的解題造成了極大的困擾.

難點1：“已知拋物線上一點，求在這點的切線方程”.直接“求導”或者利用“Δ法”，需要耗費大量的時間.如何能夠讓學生快速地寫出此類切線方程是解決問題的關鍵.我們不妨先從學生的已有認知入手，學生已經掌握了“求過圓上一點的切線方程”的方法，通過類比就容易得到過橢圓與拋物線上一點的切線方程.

難點2：“切線PA、PB與切點弦AB之間到底有什么關系？”可以從“圓的切線與切點弦”入手，然后把研究的結論類比到拋物線上，這樣學生就很容易理解問題的真相到底是什么.

設P（x0，y0）是圓外一點，兩條切線分別為PA、PB，A（x1，y1），B（x2，y2）為切點，則因為P是兩條切線的交點，所以P也滿足切線方程.代入切線方程得由此可見，A，B兩點所表示的坐標是方程xx0+yy0=r2的解，所以切點弦AB的方程就是xx0+yy0=r2.

容易發現，從結構上看，切線與切點弦所在的直線是“同一個”，關鍵是看（x0，y0）在曲線上還是外.

運用上述結論，本題的第（1）問就很容易解答.設P（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），則直線AB的方程為xx0=2（y+y0），把它和拋物線方程x2=4y聯立得x2－2xx0+4y0=0?x1+x2=2x0，x1x2=4y0；易得，因為PA⊥PB，所以x1x2=－4，y0=－1，即直線AB恒過（0，1）點.

教師在難點處，不妨表現出“一籌莫展”的樣子，從而吸引學生的注意力，引發學生的深度思考，繼而在后續的探究中逐步發現高招，和學生一起破難、解難，直至最后師生共品勝利的果實.

三、“裝糊涂”，錯學生之所錯

由于認知障礙、理解偏差和思維習慣等方面的原因，學生難以避免地會犯一些知識性、方法性和“想當然”的錯誤.對學生而言，“犯錯”并非是壞事，“錯誤”有助于教師更好地了解學生的思維，甚至是很多學生必須要經歷的思維階段.因此，教師可以適當進行“模擬”，“裝糊涂”一下，沿著學生的思路，故意和學生“一起犯錯”，然后再回過頭來正視這一錯誤，引導學生識別錯誤，或者借助錯誤故意挑起“爭端”，通過爭論實現糾錯，從而實現在強化錯誤根源認識的基礎上提升學生在數學認知上的“免疫力”.

第（2）問在計算上故意設置“障礙”，學生會想當然地去直接求.思路很簡單，先求R點的坐標，再把R點坐標用（x0，y0）表示出來，最后代入，這種方法可行嗎？

由于學生預先不知道可以通過“切線與切點弦”之間的關系得到y0=－1這個結論，從而導致參數太多，望而生畏；就算使用了y0=－1這個結論，其中的運算也很復雜，要獲得正確的答案也并非易事.

既然此路不通，教師就可以順勢引導學生另辟蹊徑.發現直線AB過焦點F可以轉化為，又因為PF⊥AB，即，則，易得，本題迎刃而解.

教師“以身試錯”不僅有助于學生減少錯誤，而且有助于學生在嘗試中發現正確的解題思路.關于這一點，著名的華裔數學家蕭蔭堂就說的很好，他指出“有時教授備課不足，笨手笨腳地算錯了數，從他搔著手、念念有詞的改正中，反而可以看出他的思路，真正學到些東西.”因此，教師故意犯錯并非壞事，其價值就是教師拋錯誤的“磚”，從而引出學生的“玉”.

四、“深探究”，促進學生思維“智化”

在數學解題教學中，學生在教師的指導下，不斷地經歷類似專家的思維過程，從而促使自己的認知結構向專家認知結構的嬗變.教師“稚化”自己的思維有助于師生之間保持認識程序上的“同頻”，從而更容易引發教與學的思維“共振”，其最終目的是為了實現學生思維的“智化”.因此，在師生思維“同頻、共振”的基礎上，進一步深入探究題目背后的數學原理是實現學生的思維走向“智化”的關鍵.

解決此題的關鍵是要“發掘P點與直線AB之間的聯系”.以類似“△PAB”為背景的問題在考試中經常出現，這就是所謂的“阿基米德三角形”.“阿基米德三角形”，即圓錐曲線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形.它有很多非常有用的性質，毫不夸張地講，阿基米德三角形就是解題的利器，在解題中可以起到事半功倍的效果.

例（2019年高考全國卷Ⅲ理科第21題）

（1）證明：直線AB過定點；

本題的背景正是“阿基米德三角形”，結論是阿基米德三角形性質的一個特例：如圖2，過拋物線的準線上一點D引拋物線的兩條切線DA，DB，則切點弦AB必經過拋物線的焦點.

圖2

“稚化思維”并非降低教學要求，弱化思維能力，其目的是通過“稚化”來實現教與學的共振，從而實現從“稚化”到“智化”的飛躍，最終使得數學解題擺脫“就題論題”的局限性，實現“解一題，會一類，通一片”的教學目標.