“深度學習”從“問題提出”開始*
——以一道教材例題為例

☉浙江省象山縣第二中學 呂增鋒

問題不僅是深度學習的載體，也是深度學習的原動力.在數學學習活動中，要讓學生意識到有數學問題的存在，并且自己需要問“為什么”、“是什么”、“怎么辦”，這樣才能激起學習中的思維火花，而且這種問題意識越強烈，自己的思維就越活躍、越深刻、越富有創造性.在一節數學課中，引入、探究、例題、練習等環節都離不開數學問題，好的數學問題往往就是課堂教學走向成功的關鍵.但在實際教學中，教師將大量的精力投入到了“對現有問題的解決”，卻“很少對有關數學問題的產生、表達和提出的過程給予直接的關注”，從而使得學生的數學學習無法走向深入.因此，組織、引導學生發現、提出有價值的問題，并圍繞問題進行深入探究已經成為教師開展課堂教學的首要任務.下面筆者就以美國學者Gonzales提出的“學生提出數學問題信息來源”理論為基礎，結合人教A版選修2-1“2.4.1拋物線及其標準方程”中的一道例題，談談自己的看法.

原問題：一種衛星接收天線的軸截面如圖1所示，衛星波束呈近似平行狀態射入軸截面為拋物線的接收天線，經反射聚集到焦點處，已知接收天線的口徑（直徑）為4.8m，深度為0.5m，試建立適當的坐標系，求拋物線的標準方程和焦點坐標（人教A版選修2-1）.

圖1

圖2

一、立足已知信息提出問題，分解思維的難度

在面對一個較為復雜的數學問題時，學生可能會一時無法獲得正確的解題思路.這時教師可以通過引導學生提出一些連續的、精煉的問題串的方式，將問題的已知信息與目標之間的邏輯關系梳理清楚，從而將復雜的總目標一層一層分解為簡單的次目標，再集中力量逐步攻克次目標，最終實現對原問題的圓滿解決.

對于上述這樣一個具有豐富現實背景的應用問題，它考查的是把實際問題轉化為數學問題，把實物模型轉化為數學模型的能力.教師在教學中，不必急于步入“問題解決”的環節，而是鼓勵學生通過對構成問題情境的基本要素進行觀察、分析，并深入挖掘出隱藏于其中的數學關系，然后以問題鏈的形式把自己對原始問題的理解及可能出現的結果呈現出來.具體如下表所示：

通過對表格中的問題的思考，解題思路呼之欲出：

如圖2，在接收天線的軸截面所在的平面內建立直角坐標系，使接收天線的頂點與原點重合.

設拋物線的標準方程為y2=2px（p＞0），由已知條件得，點A的坐標為（0.5，2.4），代入方程得p=5.76，所求拋物線的標準方程是y2=11.52x，焦點坐標為（2.88，0）.

問題鏈的提出不僅使難點得以逐個突破，而且使學生獨立獲得解題思路.因此，從本質上講，提出問題的過程也是學生探索解題思路，形成解決方案的過程.

二、修改信息提出問題，拓寬思維的廣度

問題的提出不僅是問題解決的開始，也是一個發現和產生新的數學問題的過程.教師啟發學生大膽修改問題中的已知信息，并確定新的未知構成要素，從而提出一個新的數學問題.一般對已知信息的修改可以從條件、結論、模型、情境等方面入手，下表是對上述問題的修改示例.

不同的修改視角，又產生一系列不同的新問題.例如，把“拋物線”模型修改為“橢圓”模型后，學生可能又會提出下面幾個問題：

①橢圓是否也具有匯聚波束的作用？如果沒有，那么它會有其他怎樣的性質？（過其中一個焦點的波束經過橢圓反射后從另一個焦點處射出.）

②橢圓這一性質有什么樣的應用價值？

③生活中有沒有具體的應用案例？（應用一：電影放映機的聚光燈.它的形狀是旋轉橢圓面，為了使片門，即電影膠片通過的地方獲得最強的光線，燈絲與片門應位于橢圓的兩個焦點處.應用二：醫學上的體外碎石技術.醫學上用來對付腎結石，讓人的腎結石位于橢圓的一個焦點的位置上，在另一個焦點處釋放的高能沖擊波經橢圓面反射后集中在石頭上，將其擊碎，實現碎石.）

學習者只有具備了能與已學知識相對應的認知結構，思考過程中才會經常出現“為什么”，并提出問題.而這些問題猶如一條條火花，向周圍延伸，從而建立起數學知識之間非人為的實質性聯系，不斷地拓寬學生的認知結構.

三、拓展信息提出問題，挖掘思維的深度

問題的提出是一個由淺入深的思考過程.從淺層次的角度看，它是學生對已經發現或產生的“問題”所進行的（文字的或言語的）表達，厘清解決問題的思路；從深層次的角度看，它是學生“問題意識”的形成和數學本質的揭示過程.因此，展示隱藏在數學問題背后的數學原理，揭示數學本質才是問題提出的目的.

對原問題稍微拓展一下，就很容易提出“拋物線為何具有匯聚信號的作用，如何用數學進行證明”的問題.這個問題顯然比原問題更加具有數學研究的價值，對學生的思維是一大挑戰，這又需要經歷一個提出問題的過程：

①拋物線匯聚信號的性質在物理上是如何稱呼的？

②如何用數學語言描述拋物線的這一性質？

③要證明這一性質關鍵要說明什么？（證明反射角與入射角相等或者說明入射點關于鏡面的對稱點在反射光線上）

④證明方法有幾種（反證法、解析法）？

問題1：已知拋物線的焦點為F，直線m為拋物線的準線，P為拋物線上的一個點，過點P作直線m的垂線，垂足為P′.過點P作拋物線的切線l，F關于切線l的對稱點為F′，證明：F′、P、P′三點共線.

反證法：如圖3，假設F′、P、P′三點不共線，由|PF′|=|PF|，|PF|=|PP′|得|PF′|=|PP′|.又因為直線PP′⊥m，所以點F′在直線m的右側.

過點F′作直線m的垂線，交拋物線于點M，交直線m于點N，則|MN|＞|MF′|，由拋物線的定義得|MN|=|MF|，則|MF|＞|MF′|.

圖3

由M在切線l右側可得|MF|＜|MF′|，這與上式矛盾.因此，F′、P、P′三點共線.

這個問題的解決，學生實現了從“知其然”到“知其所以然”的跨越，揭開了“拋物線”光學性質的面紗.以問題1為原問題，又可以通過“修改信息”提出新的問題，比如，把“拋物線”改成“橢圓”、“雙曲線”，又該如何證明它們的光學性質呢？因此，數學問題的提出不僅展示了學生對數學概念發展的理解水平，而且也反映了學生對數學本質的理解水平.

四、附加信息提出問題，提升思維的高度

問題提出的過程是一種內隱的復雜的認知過程，它源于懷疑，是對理性的一種批判.問題產生的緣由可能是為了解決現實生活中的問題，也可能是附加信息的自然邏輯延伸，而這種邏輯延伸使得學生在思考問題時更能高瞻遠矚，宏觀把握.

深入分析原問題，還可以從“拋物線的光學性質”中提煉出“拋物線的定義”，要發現這一點，只需要添加一個條件：“作出拋物線的入射光線與反射光線”，這就又生成了一個新的問題視角：

①如何確定每一組入射、反射光線所在的“鏡面”？

②這些“鏡面”與拋物線存在什么關系？

③無數個“鏡面”最終能組成什么圖形？

④能否從“作圖”中發現拋物線的幾何性質？

這個問題很容易與“折紙”聯系起來：

第一步：準備一張長方形紙片ABCD，在CD的垂直平分線上取一點F.

第二步：在CD上任取一點P，然后將紙片對折，使得P點和F點重合，這時得到一條折痕，為了看清楚，可以把折痕畫出來（如圖4所示）.

第三步：展開紙片，再在CD上取其他的點，然后重復步驟三.這樣連續下去，會得到很多折痕.觀察這些折痕圍成的輪廓，它們形成了何種曲線.

圖4

圖5

“折痕”就是拋物線的切線，在這些切線的“包絡”下，就形成了一條拋物線的輪廓，而且在折紙的過程中，很容易提煉出拋物線的定義.

如圖5所示，過P點作直線垂直于DC交折痕于點M.根據折紙原理可知|MF|=|MP|，即動點M滿足到定點的距離和到定直線DC的距離相等.

問題的提出與問題的解決相伴相形、相得益彰，提出問題→解決問題→提出較高層次的問題→解決較高層次的問題→提出更高層次的問題→……如此形成一個螺旋上升的“問題鏈”，進而生成具有挑戰性的學習主題，學生圍繞著這些主題，經歷全身心積極參與、體驗成功、獲得發展的有意義的深度學習過程.