四種思維真如鐵，平面向量從頭越
——一道江蘇模擬題的破解

☉江蘇省太倉高級中學 陳 健

平面向量的考查一直是每年高考、自主招生考試、數學競賽等試卷的熱點問題之一，有時單獨考查，有時與其他相關知識交匯與融合考查，是高考中能力齊全、方法多樣、思維各異的重要場所.

一、問題呈現

【問題】（江蘇省南京市2019屆高三二模數學試卷·12）已知AD是直角三角形ABC的斜邊BC上的高，點P在DA的延長線上，且滿足，若AD=，則的值為______.

二、多解思維

思維角度1

基底法是平面向量的本質所在，是平面向量“幾何”化的表現.選用合適的基底，借助平面向量的線性運算，通過極化恒等式或直角三角形的性質加以巧妙轉化來求解相應的數量積問題.

解法1：取BC的中點O，結合平面向量的線性運算與數量積公式加以轉化得到的長度，結合極化恒等式以及勾股定理加以巧妙轉化來求解即可.

設OD=x，OB=y，則有AD2=OA2-OD2=OB2-OD2=y2-x2=2，所以結合極化恒等式可得

故填答案：2.

解法2：通過平面向量的線性運算分別表示出與，借助平面向量的線性運算與數量積公式加以轉化得到的長度，結合直角三角形的性質AD2=DB×DC加以轉化來求解即可.

故填答案：2.

思維角度2

建系法是平面向量“代數”化的體現，是在可以建系的前提下進行的.建系時往往要借助平面向量中有關垂直向量的關系來處理，以此對應的向量為坐標軸所在的直線.不同的建系會導致不同的效果，經常可以采用不同的方式來處理.

解法1：通過以A點為坐標原點，AB、AC所在的直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標系，進而確定三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，利用題目條件確定對應參數之間的關系，利用直線BC與直線AD的方程來求解點D的坐標，利用平面向量的坐標運算以及數量積公式加以轉化得到，再進一步求解即可.

以A點為坐標原點，AB、AC所在的直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標系xAy，

設△ABC的三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，

則有a2=b2+c2，A（0，0），B（c，0），C（0，b）.

圖1

由于AD是直角三角形ABC的斜邊BC上的高，則直線AD的方程為

故填答案：2.

思維角度3

三角函數法是平面向量問題在三角形中的具體展示，是平面向量問題向直角三角形回歸的充分體現.借助三角函數的定義、三角恒等變換公式等，結合平面向量的數量積公式等加以有效轉化與求解.

解法1：引入∠DPC=α，∠DPB=β，結合條件，利用平面向量的數量積公式、直角三角形中三角函數的定義等加以轉化得到PD=2，再次利用平面向量的數量積公式，結合三角恒等變換公式，以及直角三角形中三角函數的定義等，通過直角三角形的性質AD2=DB×DC的轉化來求解即可.

設∠DPC=α，∠DPB=β，

故填答案：2.

思維角度4

特殊圖形法是解決具有定值結論的平面向量問題的一種技巧方法.結合題目條件，通過構造特殊的平面幾何圖形（特別是三角形、平行四邊形等），利用特殊的平面幾何圖形的特點，結合向量運算的幾何意義（三角形法則或平行四邊形法則等）來分析與求解，往往可以使解題更直觀，更簡捷，便于判斷與操作.

解法1：構造等腰直角三角形ABC，利用等腰直角三角形的性質得到斜邊BC的中點也是D，根據條件AD=，利用數量積的轉化得到，通過勾股定理與余弦定理的轉化，利用平面向量的數量積公式來求解即可.

圖2

構造等腰直角三角形ABC，此時斜邊BC的中點也是D，

故填答案：2.

三、規律總結

平面向量既有“數”的因素，又有“形”的思維，既是幾何的，可以畫圖；又是代數的，可以運算.因此平面向量的破解往往可以從“數”與“形”的“兩面性”思維來考慮，通過建系法或三角函數法以“數”的形式來破解，通過基底法或特殊圖形法以“形”的形式來破解，各有各的好，各有各的妙.所以，在平面向量中，充分提高平面向量的識“圖”、用“圖”能力，拓展平面向量的用“數”、解“數”思維，可以非常有效地從“數”的方面或從“形”的方面加以平面向量的“兩面性”思維，達到多角度思維、多方法處理的效果.