一堂“阿波羅尼斯圓”習題課

☉廣西貴港市港南中學 梁志紅

“再創造教學”理論最早是由荷蘭著名數學家、數學教育家弗賴登塔爾提出來的.筆者認為，在數學教學中引入“再創造教學”很有必要，此舉不僅能促進學生的創造性思維的形成，而且能培養其探究數學的興趣，從而感受數學的樂趣.為此，筆者以人教A版《必修2》第124頁習題4.1B組第3題：“已知點M與兩個定點O（0，0），A（3，0）的距離的比為，求點M的軌跡方程”為題根，上了一堂“阿波羅尼斯圓”習題課，實錄如下，供大家參考.

一、提出問題，引入課題

師：公元前3世紀，古希臘數學家阿波羅尼斯在《平面軌跡》一書中，曾研究了眾多的平面軌跡問題，其中有如下結果：到兩定點距離之比等于已知數的動點軌跡為直線或圓.

如圖1，點A，B為兩定點，動點P滿足PA=λPB，則當λ=1時，動點P的軌跡為直線；當λ≠1且λ＞0時，動點P的軌跡為圓，后世稱之為阿波羅尼斯圓.師：請同學們嘗試證明這個結論.

學生自主證明，老師巡視，七分鐘過后，發現約九成學生已經完成，于是讓學生1利用實物投影儀來展示自己的解答，解答如下：

證：設AB=2m（m＞0），PA=λPB.以AB的中點為原點，直線AB為x軸建立平面直角坐標系，則A（-m，0），B（m，0）.

圖1

當λ=1時，x=0，軌跡為線段AB的垂直平分線；

師：在證明過程中，你用的是什么方法？又體現了哪些基本的數學思想？

學生1：這種證明方法叫作解析法，即用代數方法來解決幾何問題，在解題過程中用了數形結合思想、方程思想和分類討論思想.

教學感受：把問題拋給學生，讓學生自己完成，老師適當點撥，體現了學生是課堂教學的主體和教師是課堂教學主導的教學原則.

二、給出例題，引導解決

師：下面我們來研究一個與此相關的問題.

例已知圓O：x2+y2=1和點A，點B（1，1），M為圓O上動點，則2|MA|+|MB|的最小值為______.

請同學們觀察并思考，在這個問題中是否隱藏著一個阿波羅尼斯圓呢？

起初，許多學生感覺此題與阿波羅尼斯圓沒有關系，突然學生2表情興奮，似乎發現了什么，老師請他回答.

學生2此言一出，部分學生會心一笑，也有學生一頭霧水，于是老師請大家互相交流，相互啟發，3分鐘過后，大家都弄清了本題的解題思路，于是教師請大家規范解答，解答如下：

圖2

由題意可得圓x2+y2=1是關于點A，C的阿波羅尼斯圓，且λ=.

設點C的坐標為C（m，n），M（x，y），

所以點C的坐標為（-2，0）.

所以2|MA|+|MB|=|MC|+|MB|.

因此當點M位于圖2中的M1，M2的位置時，2|MA|+|MB|=|MC|+|MB|的值最小，且為.

教學感受：本環節給出的例題具有一定的難度，遵循了“跳一跳摘蘋果”的教學原則，從中讓學生感受成功的喜悅.

三、聯系高考，問題再探

師：高考數學試卷中，我們經常可以見到阿波羅尼斯圓的一般形式，阿波羅尼斯圓是一個重要的題根，在歷年高考中頻頻出現.那么，“阿波羅尼斯圓”會涉及哪些問題呢？請同學們回顧以前做過的題目，并舉例說明.

學生查閱資料，互相討論，合作學習，十分鐘后交流.

學生3：我找到了一個與圓有關的面積問題，同時也是2008年江蘇高考題.

例1滿足條件AB=2，AC=的三角形ABC的面積的最大值是______.

解：以AB的中點為原點，直線AB為x軸建立平面直角坐標系，則A（-1，0），B（1，0），設C（x，y），由

兩邊平方并化簡整理得y2=-x2+6x-1=-（x-3）2+8≤8，所以

學生4：我找到了一個與圓有關的參數范圍問題.

例2在平面直角坐標系xOy中，設點A（1，0），B（3，0），C（0，a），D（0，a+2），若存在點P，使得，PC=PD，則實數a的取值范圍是______.

解析：設P（x，y），則，

整理得（x-5）2+y2=8，即動點P在以（5，0）為圓心，為半徑的圓上運動.

另一方面，由PC=PD知動點P在線段CD的垂直平分線y=a+1上運動，因而問題就轉化為直線y=a+1與圓（x-5）2+y2=8有交點.

學生5：我找到了一個與圓有關的探索性問題.

例3已知⊙O：x2+y2=1和點M（4，2）.

（1）過點M向⊙O引切線l，求直線l的方程；

（2）求以點M為圓心，且被直線y=2x-1截得的弦長為4的⊙M的方程；

（3）設P為（2）中⊙M上任一點，過點P向⊙O引切線，切點為Q.試探究：平面內是否存在一定點R，使得為定值？若存在，請舉出一例，并指出相應的定值；若不存在，請說明理由.

（限于篇幅，本例解答略）

師：很好！同學們集思廣益，收獲不小.

教學感受：本環節的目的是啟發學生利用新知識，溫習老問題，重新認識解題方法，從而讓思維得以螺旋式上升.

四、再創習題，激活思維

師：剛才同學們發現了與阿波羅尼斯圓有關的三類典型問題，即與圓有關的面積問題、參數取值范圍問題和探索性問題.下面，請同學們利用5分鐘的時間從三類題中任選一類加以變式，無需解答，然后交流.

（老師巡視，請變式比較成功的學生交流）

學生6：我對例1進行了修改.

例1變式1：在△ABC中，邊BC的中點為D，若AB=2，，則△ABC的面積的最大值是______.學生7：我也對例1進行了修改.

例1 變式2：如圖3，在等腰△ABC中，已知AB=AC，B（-1，0），AC邊的中點為D（2，0），則點C的軌跡所包圍的圖形的面積等于______.

圖3

學生8：我對例2進行了改造.

例2變式：在平面直角坐標系xOy中，點A（0，3），直線l：y=2x-4.設圓的半徑為1，圓心在l上.若圓C上存在點M，使MA=2MO，求圓心C的橫坐標a的取值范圍.

學生9：我對例3進行了改造.

例3變式：已知定點O（0，0），點M是圓（x+1）2+y2=4上任意一點，請問是否存在不同于O的定點A使得為常數？若存在，試求出所有滿足條件的點A的坐標；若不存在，請說明理由.

師：剛才幾位同學的變式相當成功，大家鼓掌！（學生鼓掌）

師：本節習題課，我們圍繞著阿波羅尼斯圓展開了討論，經過討論發現阿波羅尼斯圓就隱藏在我們平時所做的習題中.當題目中出現“到兩定點距離之比”時，我們應該想到阿波羅尼斯圓.本節課的作業就是請大家完成剛才四位同學給出的四道變式題.

教學感受：在學生理解知識的基礎上，讓學生把例題再創造，可以把學生的思維推向高潮，尤其是對成功者，能充分感受到其中的樂趣，從而更加熱愛數學.與此同時，讓學生出題，又讓學生完成自己出的題，進一步體現課堂教學中學生的主體性.通過本節習題課的教學，筆者深感習題課并非是知識與方法的再現，而是“溫故而知新”，習題課應該為學生提供更多探究問題的渠道和空間，從而培養他們的探究能力，這樣的習題課才是有意義的.