巧用多維視角，妙解三角形試題
——2019年全國(guó)卷Ⅰ理科第17題賞析

☉福建省福州第十一中學(xué) 蘇春鋒

解三角形主要通過對(duì)任意三角形邊角關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式等，并借助三角函數(shù)中的相關(guān)公式加以綜合與運(yùn)算，包括解決一些簡(jiǎn)單三角形的度量問題及一些與測(cè)量和計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題等.該部分是每年高考中的基本考點(diǎn)之一，往往涉及解三角形與三角函數(shù)知識(shí)，大都運(yùn)算量大、公式應(yīng)用多，這就要求我們不僅要具有較高的運(yùn)算水平、較強(qiáng)的運(yùn)算能力和較好的記憶能力，還要善于審題與分析，采用有效的策略，優(yōu)化過程，提升效益.

一、真題在線

【高考真題】（2019·全國(guó)卷Ⅰ理·17）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.設(shè)（sinB-sinC）2=sin2AsinBsinC.

（1）求A；

本題是解三角形問題中常見的形式，條件中借助涉及角的關(guān)系式的給出，進(jìn)而求解具體的內(nèi)角A，并借助另一個(gè)涉及邊的關(guān)系式的給出，達(dá)到求解sinC的值的目的.破解問題的關(guān)鍵是正確利用正弦定理與余弦定理，通過三角形的邊與角之間的合理轉(zhuǎn)化，并借助相應(yīng)的三角函數(shù)公式（主要是三角恒等變換公式、誘導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系等），加以應(yīng)用，進(jìn)而得以合理轉(zhuǎn)化與巧妙破解.

二、真題解析

解析：（1）由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC，由正弦定理，得b2+c2-a2=bc，

因?yàn)?°＜A＜180°，所以A=60°.

（2）思維角度1：整體思維

借助條件的轉(zhuǎn)化，利用整體思維來轉(zhuǎn)化sinC=sin（C+α-α）或sinC=sin（C-α+α），其中把相應(yīng)的角C+α或C-α作為一個(gè)整體來進(jìn)行合理的處理，而另一個(gè)角α為特殊角，進(jìn)而通過三角恒等變換公式來轉(zhuǎn)化與應(yīng)用.

方法1：（官方標(biāo)答——整體思維1）

由（1）知B=120°-C，

方法2：（官方改進(jìn)——整體思維2）

點(diǎn)評(píng)：利用整體思維法來處理三角函數(shù)求值問題是破解三角函數(shù)中比較常見的思維方式.通過把C+60°或C-30°作為一個(gè)整體，利用兩角和或差的正弦公式加以巧妙轉(zhuǎn)化，結(jié)合三角恒等變換公式來處理，從而得以求解.

思維角度2：求角思維

借助條件的轉(zhuǎn)化，利用題目條件直接求解具體角C的值，解決問題時(shí)一般要注意角的取值范圍的限制，并能加以合理討論與應(yīng)用.而此時(shí)往往此類具體角為非特殊角，必須借助和或差的三角函數(shù)公式來處理與轉(zhuǎn)化，進(jìn)而得以求解與應(yīng)用.

方法3：（具體求角思維1）

由（1）知B=120°-C，

方法4：（具體求角思維2）

點(diǎn)評(píng)：直接確定對(duì)應(yīng)角的大小來處理三角函數(shù)求值問題是破解三角函數(shù)問題中比較直接的一種思維方式.結(jié)合條件來具體確定角C的大小，從而得以進(jìn)行合理的三角函數(shù)求值.在直接求角時(shí)，往往要注意角的取值范圍的限制對(duì)具體角的大小的分析.

思維角度3：平方思維借助條件的轉(zhuǎn)化，通過含有角C的正弦值與余弦值的一次關(guān)系式的兩邊平方處理，利用平方關(guān)系sin2C+cos2C=1的應(yīng)用與轉(zhuǎn)化，合理轉(zhuǎn)化為含有sinC的二次方程來解決.而涉及二次方程的根的問題，要結(jié)合題目條件加以合理討論與分析.

方法5：（平方思維）

點(diǎn)評(píng)：平方思維是借助同角三角函數(shù)基本關(guān)系式中的平方關(guān)系sin2A+cos2A=1來解決一些三角函數(shù)問題的一種思維方式.根據(jù)條件得到角C的正弦值與余弦值的一次關(guān)系式，結(jié)合平方關(guān)系的應(yīng)用對(duì)相應(yīng)的一次關(guān)系式加以兩邊平方處理，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的二次方程來解決.

三、解后反思

在利用三角函數(shù)破解相應(yīng)的解三角形問題時(shí)，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)多解現(xiàn)象，此時(shí)要借助三角形的性質(zhì)加以合理處理，剔除多余的解.解三角問題中對(duì)應(yīng)的內(nèi)角的取值范圍至關(guān)重要，在一些問題中，角的取值范圍隱含在題目的條件中，若不仔細(xì)審題，深入挖掘，往往疏漏而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤，一定要引起重視.

利用多個(gè)不同思維角度來破解此類解三角形問題，巧妙地把該題的底蘊(yùn)充分挖掘出來，多思維轉(zhuǎn)化，多角度切入，多方面求解，真正體現(xiàn)了對(duì)解三角形知識(shí)與三角函數(shù)知識(shí)的融會(huì)貫通，充分展現(xiàn)多個(gè)知識(shí)點(diǎn)間的交匯與綜合，達(dá)到提升能力、拓展應(yīng)用的目的.正如我國(guó)著名數(shù)學(xué)家蘇步青先生說過：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要多做習(xí)題，邊做邊思索，先知其然，然后知其所以然.”