一道高考題的解法說明及解題反思

☉黑龍江省大慶市大慶實驗中學 陳永志

向量作為8個C級要求之一向來是區分考生能力的中堅擔當，不出意外的是，在2019年的江蘇高考中，向量問題出現在了第12題的位置，這是一個典型中檔偏難題的位置.出現在這個位置的問題不僅需要學生掌握局部章節的知識，還需要學生能夠將前后的知識點聯系起來進行綜合性解決.如下，我們將從幾個不同的方向來剖析本題，并對其背后的知識點與考查意圖作一個簡要的說明.

（2019年江蘇卷第12題）如圖1，在△ABC中，D是BC的中點，點E在邊AB上，BE=2EA，AD與CE交于O點則的值是______.

圖1

破題：縱觀題設不難發現圖中共存在六個點，其中A、B、C、D、E五點的相對位置，因題中的比例關系而顯得相對確定，所以本題的關鍵在于確定O點與其他幾點的相對位置.

解析（1）：以等分點為基礎，構造平行線，利用平行線分線段成比例

圖2

解題反思：平行線分線段成比例是初中幾何課程中的重要知識點，同時在高中數學解題的日常中也有較多的應用.這種方法的核心在于能夠作出相關輔助線（亦可過D作EC的平行線）.這是用初中知識解決高中問題的典型代表，雖然這可能不是命題人出題的原意，但作為數學課程中的基礎性知識，學生應當能夠在不同的情境中將其靈活運用.

解析（2）：借助向量共線定理及推論，確定AO與AD的比例關系

引例如圖3，A、B、C三點共線，O為線外一點，則

圖3

引例解析：不妨設AB=x，BC=y，則由向量共線定理可知，則λ+μ=1.

解題反思：向量共線定理及其推論是高中向量章節的重點內容，它和向量的基本定理、向量數量積的表示是各種類型考試中重點關注的對象.今年高考試卷對共線定理進行考查也在情理之中，翻開前幾年的高考江蘇卷，不難發現，作為中檔題出現的向量問題幾乎清一色的是關于向量數量積的內容.因此，從向量共線的角度考慮本題或許正是命題人的根本意圖.

解析（3）：借助平面直角坐標系，將點坐標化

圖4

以B為坐標原點，BC為x軸，建立如圖4所示的坐標系，不妨設A點坐標為（m，n），E為AB三等分點，則E點坐標為設BC=2，則D點坐標為（1，0），C點坐標為（2，0），則直線AD的方程可表示為，直線EC的方程可表示為，將兩者聯立解得O點坐標為.故填答案：.

解題反思：要求兩條線段的長度之比，一個直接的想法是將其表示出來，那么將三角形置于直角坐標系中是必然的方向，設A點坐標，固定BC長度，將E、O兩點及AB、AC兩線段用A點坐標表示，根據題設等量關系尋找A點坐標兩未知量的關系，利用代入消元法，將待求比例轉化成關于m的表達式整體約分得解.當然解析中所用建系是比較一般的建系，我們還可在不改變題意的前提下，將問題特殊化，進行特殊化建系，例如，不妨設AB⊥EC，以E為坐標原點，EC、AB分別為x軸，y軸建立直角坐標系，計算將會更加簡練.當然將問題特殊化有一個重要前提即特殊化后的問題情境必須符合原問題，有一個簡單的檢驗方法是特殊化后的計算過程不能與原問題情境相沖突或與特殊化的條件相沖突.

解析（4）：以熱點解法極化恒等式為橋梁，并結合解三角形知識進行破題

圖5

過E作EF平行于AD，過D作DG平行于EC，由解法（1）易知點O為AD的中點，為EC四等分點.取DC中點M并連接OM，由極化恒等式可知，由比例關系知再用一次極化恒等式得，兩者相等得AD為三角形ABC中BC邊的中線，由必修5第16頁例6的中線定理可知代入上式可得AB2=3AC2，即故填答案：.

解題反思：在平時的教學中我們不斷給學生建立這樣一種意識，在向量數量積問題中凡是涉及中點問題的問題不妨考慮用極化恒等式.雖然本題不是典型的向量數量積問題，但題設中有數量積，又有中點，還有線段之間的比例關系（這點與2016年13題相似），可以考慮從極化恒等式角度對已知等量關系進行轉化.與2016年13題利用極化恒等式與線段比例關系可直接求解不同，本題在此基礎上還需要借助解三角形中的中線定理實現三個量關系到兩個量關系的轉變.當然中線定理在高考說明中現已不做要求，在平時的授課中也僅以例題的形式出現，不屬于必需掌握的范圍，顯然，這對于基礎好的學生可以挑戰，而針對一般學生而言建系或利用基底進行解決才是正途.