空間問題多面化，多解思維顯身手
——2019年全國卷Ⅰ理科第12題評析

☉福建省福州第十一中學 楊秀麗

一、真題再現

【高考真題】（2019·全國卷Ⅰ理·12）已知三棱錐PABC的四個頂點在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F分別是PA，AB的中點，∠CEF=90°，則球O的體積為（ ）.

本題以三棱錐與球的位置關系為問題背景，利用相應線段的長度與角度的關系，確定三棱錐的準確信息，為進一步求解與應用提供條件.而結合兩空間幾何體的位置關系，可以從多個角度進行切入，從解三角形思維、空間幾何思維、空間向量思維、空間坐標思維等入手，都可以得到有效破解，達到解決問題的目的.

二、一題多解

1.思維角度1：解三角形思維

結合空間幾何體中對應的三角形問題，通過解三角形思維，利用余弦定理來轉化相應三角形中對應的線段長度與角度的關系，進而得以求解相應的線段長度，進一步轉化與確定球的半徑，從而達到求解的目的.

方法1：（余弦定理法1）設PA=PB=PC=2x，而E，F分別是PA，AB的中點，則有EF∥PB，且

圖1

作PD⊥AC交AC于點D，則知點D為AC的中點，

把三棱錐P-ABC補成對應的正方體，則正方體的外接球即為三棱錐的外接球，

方法2：（余弦定理法2）設PA=PB=PC=2x，而E，F分別是PA，AB的中點，則有EF∥PB，且.

在△EPC中，由余弦定理，可得CE2=x2+4x2-2×x×2x×cos∠EPC=x2+2，

又∠CEF=90°，則有CE2+EF2=CF2，即x2+2+x2=3，解得，

以下步驟同方法1部分，故選擇答案：D.

方法3：（余弦定理法3）設PA=PB=PC=2x，而E，F分別是PA，AB的中點，則有EF∥PB，且.

以下步驟同方法1部分，故選擇答案：D.

2.思維角度2：空間幾何思維

結合空間幾何體的性質，通過幾何法思維，利用空間點、線、面的平行與垂直關系的判定與性質加以推理與證明，結合相關的定義進而得以求解相應的線段長度，進一步轉化與確定球的半徑，從而達到求解的目的.

方法4：（垂直關系轉化法）由于PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，

所以三棱錐P-ABC為正三棱錐，可得PB⊥AC，

又E，F分別是PA，AB的中點，則有EF∥PB，可得EF⊥AC.

又∠CEF=90°，即EF⊥CE，AC∩CE=C，可得EF⊥平面PAC，則有PB⊥平面PAC，

則有PB⊥PA，即∠APB=90°，可得PA=PB=PC=.

把三棱錐P-ABC補成對應的正方體，則正方體的外接球即為三棱錐的外接球.

3.思維角度3：空間向量思維

結合空間幾何體中相關的空間向量的線性運算與數量積運算，通過空間向量思維，結合空間向量數量積的轉化得以確定側棱的垂直關系，進而得以求解相應的線段長度，進一步轉化與確定球的半徑，從而達到求解的目的.

方法5：（基底法1）由于∠CEF=90°，則有，即，

把三棱錐P-ABC補成對應的正方體，則正方體的外接球即為三棱錐的外接球，

方法6：（基底法2）由于∠CEF=90°，則有即

又△ABC是邊長為2的正三角形，PA=PB=PC，則知△PAB≌△PBC，

以下步驟同方法5部分，故選擇答案：D.

三、變式拓展

探究：保持原來題目的條件，通過直接求解球O的半徑或求解球O的表面積等方式加以變式，難度保持不變，考點相差無幾.

【變式1】已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F分別是PA，AB的中點，∠CEF=90°，則球O的半徑為______.

【變式2】已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F分別是PA，AB的中點，∠CEF=90°，則球O的表面積為______.

解析：結合以上高考真題的解析方法可知R=，可得球O的表面積S=4πR2=6π，

故填答案：6π.

四、規律總結

與球有關的組合體問題，往往與棱柱、棱錐等加以組合，以選擇題、填空題的形式在高考中頻繁出現，比如球的內接多面體問題、球的外切多面體問題等.破解此類問題的關鍵是抓住球心到多面體的各個面的距離等于球的半徑（內切球）或球心到多面體的各個頂點的距離等于球的半徑（外接球），進而合理建立等量關系來達到處理與求解的目的.