關注幾何體積，探究求解策略

☉江蘇省贛榆高級中學 郭新祝

求解空間幾何體的體積是高中數學較為常見的題型，受限于幾何體的結構和所給條件，在求幾何體的體積時需要選用合理的方法策略，下面簡要講解其中的三種方法以及使用思路.

一、直接求解——體積公式法

直接求解，即利用幾何體對應的體積公式，將相應的幾何量代入公式來求解.適用于公式法的幾何體一般較為常見，且形狀規則，因此不需要對其進行轉化與變形，只需要結合體積公式探尋條件即可.利用公式法可以求解柱體、錐體、球體等幾何體的體積.

例1如圖1所示，已知三棱錐P-ABC的棱長PA=1，AB=AC=2，∠PAB=∠PAC=∠BAC=60°，試求該三棱錐的體積.

圖1

分析：題干給出了三棱錐的棱長PA、AB和AC的長以及相關的角度，求該幾何體的體積則可以考慮直接使用體積公式，將其視為以△ABC為底，以點P為頂點的三棱錐，則需要作出底面上的高，并求出底面積和高的值即可.

解：作底面△ABC上的高PO，即PO⊥底面ABC，然后連接AO，如圖1所示，分析可知AO為PA在底面上的射影，且AO為∠BAC的角平分線，過O點作OE⊥AB于點E，連接PE，則PE⊥AB.故.而底面△ABC的面積為，所以三棱錐的體積，即三棱錐P-ABC的體積為.

評注：幾何體的公式法是需要學生掌握的基本方法，也是幾何體體積求解中最為基礎的思路.利用該方法求解時需要熟悉幾何體對應的體積公式，以及公式中具體字母所對應的含義.例如上述三棱錐的體積公式為，其中的S為三棱錐的底面積，而h為對應底面上的高，兩者之間有著緊密的對應關系，需要配合使用.因此在利用公式法求解時需要對幾何體進行合理的定型，結合條件來確定其底面積.

二、等量轉化——體積恒等法

我們知道從不同的角度來分析問題會得出不同的結論，同樣的，對于同一個幾何體，從不同的角度觀察可以獲得不同的條件.例如可以通過改變幾何體的底面和頂點或轉換高，利用等體積原理來求體積，即幾何體的體積恒等轉化法.一般體積恒等法有兩種應用思路：一是將幾何體視為是不同的底面和高，二是通過恒等變換求解恒等幾何體的體積.

例2如圖2所示，已知四邊形PCBM為直角梯形，M-ACN為三棱錐，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2.若AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直線AM與直線PC所成的角度為60°，N為線段BC的中點，試求三棱錐N-ACM的體積.

圖2

分析：題干表明PCBM為直角梯形，且給出了相應的線段長和角度等條件.求解三棱錐N-ACM的體積時，若將其視為是以點N為頂點、ACM為底面的三棱錐，則求解較為困難，可以采用體積恒等法，對三棱錐的頂點和底面進行轉化，然后利用三棱錐的體積公式代入求解即可.

解：易知MN=PC，且MN∥PC，進一步分析可知MN⊥平面ABC.已知直線AM與直線PC所成的角度為60°，則∠AMN=60°，在△CAN中使用余弦定理可得AN=，在△AMN中可得MN=AN·cot ∠AMN=1，因此四邊形PCNM為正方形.

可將三棱錐N-ACM視為以點M為頂點，△ACN為底面的三棱錐，則MN就為底面到頂點的高，即，即三棱錐M-ACN的體積為.

評注：等體積轉化是數學幾何“等量法”的應用體現，也是幾何體體積求解較為有效的方法.其基本思路就是通過轉化幾何體的觀察視角，建立不同的求解模型.上述求解三棱錐的體積采用了底面和頂點的等體轉化思路，從而將其視為是較為特殊的三棱錐，直接獲得了底面上的高.而在等體轉化應用時需要注意兩點：一是視角轉化必須基于同一幾何體；二是盡量將其轉化為較為特殊的幾何體，便于后續的公式套用，尤其是關注底面上高的獲得.

三、圖形構建——體積割補法

體積割補法是對初中數學面積割補法的應用延伸，即通過幾何割補的方式將不規則的幾何體轉化為較為規則或特殊的基本幾何體，通過求簡單規則幾何體的體積來間接求解的一種思路方法，因此該方法適用于抽象、不規則幾何體的體積求解.另外割補法的使用有三種思路：一是只割不補，二是只補不割，三是割補混用，解題時需要靈活選用.

圖3

例3如圖3所示，已知六邊形ABCDEF為一不規則的多面體，其中四邊形ABCD為邊長為3的正方形，若EF∥AB，EF⊥AE，且，線段EF到線段AC的距離為2，試求該幾何體的體積.

分析：上述圖形為不規則的多面體，不屬于基本的幾何體，故沒有直接適用的體積公式，因此需要采用合適的方法對其進行轉化

變形，求多面體體積最為常用的方法為體積割補法.題干中指明EF到線段AC的距離為2，分析可得EF平行于平面ABCD，因此可以視為EF到平面ABCD的距離.另外對于該多面體可以從兩個角度使用割補法：一是對幾何體進行只割不補，二是對幾何體進行只補不割.

解：思路一——只割不補

在幾何體上取線段AB和CD的中點，分別設為點G和H，然后連接EG，GH和EH，如圖4所示，從而平面EHG將多面體分割為三棱柱BCF-GHE和四棱錐E-ADHG，則該多面體的體積就為上述四棱錐和三棱柱體積之和.其中四棱錐可以視為以點E為頂點，以矩形ADHG為底面的四棱錐，其中底面的面積為正方形ABCD的一半，即，而三棱柱的體積為，所以整個多面體的體積為

圖4

思路二——只補不割

圖5

采用補全的方式來求多面體的體積，將其補全為規則的幾何體，分別過點B和點C作線段AE和DE的平行線，設其交點為點G，然后連接FG，BG，CG，如圖5所示，則幾何體轉變為較為規則的幾何體，而添加的幾何體為三棱錐F-BCG，最終原幾何體的體積為補全幾何體的體積減去三棱錐的體積，即V原多面體=V補全幾何體-VF-BCG.根據已知條件可確定點F到平面ABCD的距離為2，而正方形ABCD的面積為9，則V補全幾何體=9，利用公式可確定三棱錐F-BCG的體積為，所以，即多面體的體積為

評注：實際上體積割補法是體積加減的一種恒等轉化方式，也是幾何由抽象向規則轉化的思維方法.上述是對同一多面體采用不同割補思路的求解分析，其轉化核心是相一致的：將幾何體轉變為規則幾何體的組合.而在實際解題時需要注意：幾何體割補時應聯系題干條件，將幾何體轉化為與已知條件聯系緊密的幾何體，以便于體積求解.

綜上可知，利用幾何體的體積求解策略均是為了降低思維難度，將問題簡單化.無論是利用體積公式，還是對體積進行等量、割補轉化，均需要充分挖掘幾何體的結構特點，厘清體積與已知條件的關系，建立合理的幾何模型.另外，在學習體積求解的方法策略時需要深入滲透數學思想，以提升解題思維為重點.