高中解析幾何定元素相關(guān)問題的解題策略的思考*

☉江蘇省南通中學(xué) 陸王華

定直線、定點(diǎn)、定曲線這些定元素在某些量的變化下仍會(huì)保持確定的特性與狀態(tài)，這種事前不知道且不受某些量變化影響的特點(diǎn)往往會(huì)增加解題的盲目性與解題的難度.

以下是求解此類問題的實(shí)際案例.

策略1：運(yùn)用取特殊值、特殊位置的方法對(duì)定直線、定點(diǎn)、定曲線進(jìn)行探尋并證明其滿足一般情形.

例1已知拋物線C的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，準(zhǔn)線l的方程是x=-2，點(diǎn)P在準(zhǔn)線l上，縱坐標(biāo)是（t∈R，t≠0），點(diǎn)Q在y軸上，縱坐標(biāo)是2t.

（1）試求拋物線C的方程；

（2）求證：直線PQ一定和一個(gè)圓心在x軸上的定圓M相切，請(qǐng)同時(shí)求出圓M的方程.

解：（1）拋物線C的方程是y2=8x.

考慮特殊情形，取t=1，則直線PQ的方程是y=2，因此定圓M的半徑r=2；再取，則直線PQ的方程是3x-4y+4=0.由題意可得，定圓M的圓心M（x0，0）到該直線的距離是2，即，解得x0=2或（不滿足一般情形，即圓心到直線①的距離不恒等于2，因此舍去）.

因此定圓M是（x-2）2+y2=4.

該圓滿足一般情形的證明如下.因?yàn)閳A心M（2，0）到直線①的距離（與t無關(guān)）.

因此直線①一定和定圓M：（x-2）2+y2=4相切.

評(píng)注：對(duì)第（2）小問進(jìn)行思考，不難發(fā)現(xiàn)其本質(zhì)為探尋某個(gè)定圓M和動(dòng)直線PQ一定相切.首先在直線系①中取t=1、t=并得出定圓，然后對(duì)該定圓M和直線系①相切進(jìn)行證明，需要注意的是，t的取值應(yīng)方便計(jì)算.

圖1

例2如圖1，已知平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓的左、右頂點(diǎn)分別是A、B，右焦點(diǎn)是F.若過點(diǎn)T（t，m）的直線TA、TB和橢圓分別相交于點(diǎn)M（x1，y1）、N（x2，y2），其中m＞0，y1＞0，y2＜0.

（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足PF2-PB2=4，則點(diǎn)P的軌跡如何？

（2）設(shè)x1=2，x2=，則點(diǎn)T的坐標(biāo)如何？

（3）設(shè)t=9，求證：直線MN必過x軸上某定點(diǎn)（其坐標(biāo)和m無關(guān)）.

解：（1）點(diǎn)P的軌跡是直線x=.

當(dāng)直線MN和y軸不平行時(shí)，可以證明點(diǎn)D（1，0）始終在直線MN上.

因此直線MN必定經(jīng)過x軸上的定點(diǎn)D（1，0）.

評(píng)注：考慮動(dòng)直線MN和y軸平行的情形可得直線MN必定經(jīng)過定點(diǎn)D（1，0），再證明其在直線MN上即可.

上述在“動(dòng)”、“定”之間轉(zhuǎn)換的兩個(gè)實(shí)例都是從一般考慮特殊并獲得確定的元素，最后再對(duì)已經(jīng)確定的元素滿足一般情形進(jìn)行證明，這種轉(zhuǎn)換對(duì)于解題是極為有利的，問題本身也是運(yùn)用這種轉(zhuǎn)換思想的空間與平臺(tái).

策略2：建立相關(guān)函數(shù)的解析式并根據(jù)題意可得該函數(shù)值恒為定值，則其為常數(shù)函數(shù)并由此獲得確定定元素的最直接條件.

例3已知橢圓C：（a＞b＞0）的離心率是，其左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2，點(diǎn)P為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，且，O是坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求橢圓C的方程；

圖2

解：（1）橢圓C的方程為.

設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2），則x1+x2=，x1x2=.

假設(shè)y軸上存在定點(diǎn)M（0，m）滿足題設(shè)，

因?yàn)榧僭O(shè)點(diǎn)M（0，m）滿足題設(shè)，也就是說對(duì)任意的實(shí)數(shù)k都有恒成立，即18（m2-1）k2+（9m2+6m-15）=0對(duì)k∈R恒成立.

因此在y軸上存在定點(diǎn)M（0，1），使以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)M（0，1）.

評(píng)注：直線l為繞定點(diǎn)S轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)直線，因此斜率k是變量.列出以為因變量、k為自變量的函數(shù)解析式，其中m待定.由函數(shù)值恒為0可得出確定m的方程組.運(yùn)用策略1解決此題同樣可行.

在問題的解決中預(yù)先制定可能出現(xiàn)的問題的解決方案就是“策略”，事實(shí)上，根據(jù)形勢(shì)的變化與發(fā)展還會(huì)進(jìn)行方案的調(diào)整并落實(shí)新的方案，最終在實(shí)踐、調(diào)整、改善中實(shí)現(xiàn)目標(biāo).解析幾何試題一直是高考命題中的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，函數(shù)、不等式、三角、數(shù)列等知識(shí)以解析幾何為載體都會(huì)得到綜合的應(yīng)用，涉及較多知識(shí)點(diǎn)的解析幾何試題對(duì)于考生的解題能力提出了較高的要求，很多學(xué)生在一些解析幾何試題面前往往會(huì)表現(xiàn)得束手無策，半途而廢的解題現(xiàn)象也比比皆是.本文所思考的定元素問題一直是解析幾何范疇內(nèi)的重要內(nèi)容，教師在實(shí)際教學(xué)中應(yīng)教會(huì)學(xué)生通觀全局并從局部入手，學(xué)會(huì)運(yùn)用整體思維進(jìn)行問題的解決，從宏觀上把握問題并從微觀上進(jìn)行解題的突破，幫助學(xué)生在審題與解題思路的探尋上進(jìn)行有意義的思考并不斷克服道道解題難關(guān).

總之，解析幾何問題對(duì)于學(xué)生的解析能力、計(jì)算能力、作圖能力都能起到很好的鍛煉作用.本文結(jié)合實(shí)際案例詳細(xì)闡述了高中解析幾何定直線、定點(diǎn)、定曲線問題的解題策略與方法，以期拋磚引玉.教師在實(shí)際教學(xué)中應(yīng)關(guān)注到此類題目的靈活性、大思維量等特點(diǎn)，在數(shù)形結(jié)合的生動(dòng)教學(xué)中幫助學(xué)生掌握解析幾何定元素問題的解題策略與思想以促進(jìn)學(xué)生的能力提升.