巧借特殊法，妙解客觀題

☉江蘇省常州市金壇區(qū)第一中學(xué) 宮雞明

在解答高考數(shù)學(xué)選擇題或填空題這類客觀題的過程中，當(dāng)一些題目答案具有相對的確定性時，經(jīng)常可以借助一些特殊元素用特殊法處理，這些特殊元素根據(jù)題目背景，可以有針對性地選取一些特殊值（數(shù)值、角度、長度等）、特殊函數(shù)、特殊數(shù)列、特殊平面向量、特殊復(fù)數(shù)、特殊圖像（點、圖形等）等相關(guān)元素來進(jìn)行特殊化處理.此類數(shù)學(xué)客觀題結(jié)合特殊法來處理，經(jīng)常能簡單有效地解決問題，達(dá)到非常好的效果，快捷方便，有效節(jié)約寶貴的時間.下面結(jié)合近兩年高考數(shù)學(xué)中特殊法的巧妙應(yīng)用，結(jié)合相應(yīng)的高考真題加以剖析.

一、特殊值法

在解決一些以函數(shù)、不等式、算法等為背景的客觀題時，經(jīng)常可以結(jié)合題目的相應(yīng)條件，通過特殊值（包括數(shù)值、角度、長度等）的選取，從而達(dá)到正確判定的目的.特別在判斷一些函數(shù)圖像、不等式解集等問題時，利用特殊值法破解選擇題，往往可以簡化過程、提升速度.

例1（2018·全國卷Ⅰ文、理·5）函數(shù)f（x）=在［-π，π］的圖像大致為（ ）.

分析：先結(jié)合題目條件中函數(shù)解析式，結(jié)合奇函數(shù)的定義確定其是奇函數(shù)，進(jìn)而結(jié)合相應(yīng)三角函數(shù)特殊值的選取，結(jié)合相關(guān)的函數(shù)圖像加以排除，從而得以間接判定，可以簡單快捷判斷出正確的函數(shù)圖像.

解析：由于，可知函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，其圖像關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，由此可以排除選項A；

結(jié)合選項B、C、D中的函數(shù)圖像，只有選項D中的函數(shù)圖像滿足以上兩個特殊值的特征，故選擇答案：D.

點評：利用特殊值的選取來破解相應(yīng)的客觀題時，經(jīng)常可以回避相關(guān)知識的直接利用，從側(cè)面加以合理排除，簡化知識層次，從而得以正確快捷地處理.當(dāng)然選取合理、恰當(dāng)?shù)奶厥庵担瑫沟门袛喔鼮榭旖荩瑥亩鴾p少特殊值的選取次數(shù)與判斷次數(shù).

二、特殊函數(shù)法

在破解一些抽象函數(shù)的客觀題時，經(jīng)常可以巧妙選取滿足題目條件的特殊函數(shù)（一般選擇比較常見的基本初等函數(shù)，此時基本性質(zhì)與函數(shù)圖像也較為熟悉）來處理，變抽象函數(shù)為具體函數(shù)，進(jìn)而利用特殊函數(shù)來發(fā)現(xiàn)規(guī)律，又回歸一般，從而得以尋求破解方法.

例2（2019·全國卷Ⅲ理·11；文·12）設(shè)f（x）是定義域為R的偶函數(shù)，且在（0，+∞）單調(diào)遞減，則（ ）.

分析：根據(jù)題目條件選擇特殊函數(shù)法，利用特殊函數(shù)來分別計算相應(yīng)的函數(shù)值再加以比較，避免去分析與討論相應(yīng)的函數(shù)基本性質(zhì)，顯得更加易于操作.

解析：由于f（x）是定義域為R的偶函數(shù)，且在（0，+∞）單調(diào)遞減，

取特殊函數(shù)f（x）=-|x|滿足條件，

點評：解決此類客觀題的關(guān)鍵是根據(jù)題目條件選取適當(dāng)?shù)幕境醯群瘮?shù)或常見的一些函數(shù)，此類函數(shù)為我們所熟知，包括其基本性質(zhì)與函數(shù)圖像，方便我們利用其性質(zhì)或圖像來回歸一般，從而用來解決具有抽象特征的一般性問題.這樣處理時，往往可以化煩瑣為簡單，進(jìn)而可以快速準(zhǔn)確地解答相關(guān)的函數(shù)客觀題，從而得以正確判斷.

三、特殊數(shù)列法

在破解一些數(shù)列客觀題時，經(jīng)常可以借助特殊數(shù)列（比如常數(shù)數(shù)列、較為簡單的具體數(shù)列等）的引入，化抽象為具體，直接利用特殊數(shù)列的通項、求和及相關(guān)性質(zhì)來處理一般性的數(shù)列問題.通過特殊數(shù)列法處理客觀題，可以回避一些抽象數(shù)列的性質(zhì)等問題，有效簡化程序，淡化過程.

例3（2019·全國卷Ⅲ理·14）記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若a1≠0，a2=3a1，則=______.

分析：結(jié)合題目條件，對應(yīng)的等差數(shù)列是抽象的，而所求解的前n項和的比值又是具體的，從而可以通過選取特殊數(shù)列——a1=1，這樣處理起來更為熟悉，過程更為簡單快捷.

解析：由于等差數(shù)列{an}滿足a1≠0，a2=3a1，

取特殊數(shù)列——a1=1，則知a2=3a1=3×1=3，可得公差d=a2-a1=2，

則知S10=10a1+45d=100，S5=5a1+10d=25，可得，故填答案：4.

點評：其實，本題利用條件確定公差與首項之間的關(guān)系，再利用等差數(shù)列的前n項和公式加以分析也可以很好破解.通過特殊數(shù)列的選取，化陌生為熟悉，使得一般性、抽象性的數(shù)列問題特殊化，使問題簡單統(tǒng)一，簡化過程與運算.

四、特殊圖形法

在解決一些涉及函數(shù)性質(zhì)、解三角形、平面向量以及立體幾何等客觀題時，經(jīng)常可以借助特殊的函數(shù)圖像、特殊的平面幾何圖形、特殊的立體幾何圖形等的構(gòu)造與應(yīng)用來數(shù)形結(jié)合，進(jìn)而可以非常直觀地來解決相應(yīng)的客觀題.

例4（2019·江蘇卷·12）如圖1，在△ABC中，D是BC的中點，E在邊AB上，BE=2EA，AD與CE交于點O.若，則的值是______.

圖1

分析：常規(guī)方法是結(jié)合平面向量的基底法或坐標(biāo)法來處理，難度比較大，不易操作.通過特殊圖形的構(gòu)造——直角三角形，巧妙借助直角三角形的性質(zhì)以及三角形相似來處理，可以比較簡單地利用平面幾何知識來解決.

解析：不失一般性，取△ABC為以角A為直角的直角三角形，則有

點評：在一些具有定值結(jié)論的平面向量問題中，特殊圖形法是解決問題比較常見的一種技巧方法.其往往在題目中一般性平面幾何圖形的基礎(chǔ)上加以特殊化（如一般的三角形進(jìn)行特殊化為直角三角形、等腰三角形等，一般的四邊形進(jìn)行特殊化為平行四邊形、矩形等），這樣處理可以使得問題更加特殊，簡單，可以使解題更直觀，更簡捷，便于判斷與操作.

特殊法是解答高考客觀題的最佳方法之一，是破解一些具有確定結(jié)論的客觀題問題的一大選擇.這樣進(jìn)行特殊法處理，往往可以達(dá)到“小題小做”或“小題巧做”的目的，節(jié)約時間，提高效率.在利用特殊法破解高考客觀題時，有條件允許的話，可適當(dāng)加以其他方法的檢驗，達(dá)到正確判斷的目的.