對“基本初等函數”定義的異議*

☉北京豐臺二中 甘志國

對于“基本初等函數”這個概念，一般是這樣定義的：

基本初等函數包括以下六類：

（1）常數函數y=c；

（2）冪函數y=xα；

（3）指數函數y=ax（a＞0，且a≠1）；

（4）對數函數y=logax（a＞0，且a≠1）；

（5）三角函數y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=cotx，y=secx，y=cscx；

（6）反三角函數y=arcsinx，y=arccosx，y=arctanx，y=arccotx，y=arcsecx，y=arccscx.

初等函數是由基本初等函數經過有限次的四則運算和復合而成的函數.

但筆者認為，基本初等函數的個數應盡可能的少，否則不能稱其為“基本”.事實上，在上述列舉的基本初等函數中，個數還可以減少.

①因為ax=e（lna）x，所以在“（3）指數函數y=ax（a＞0，且a≠1）”中，可得“指數函數y=ax可由y=eu，u=（lna）x（u是由常數函數y=lna及冪函數y=x相乘得到的）復合得到”.

因而可把“（3）指數函數y=ax（a＞0，且a≠1）”改為“（3）基本指數函數y=ex”（把y=ax（a＞0，且a≠1）仍然叫做指數函數）.

因而可把“（4）對數函數y=logax（a＞0，且a≠1）”改為“（4）基本對數函數y=lnx”（把y=logax（a＞0，且a≠1）仍然叫做對數函數）.

因而可把“（6）反三角函數y=arcsinx，y=arccosx，y=arctanx，y=arccotx，y=arcsecx，y=arccscx改為“（6）反正弦函 數y=arcsinx”（把y=arccosx，y=arctanx，y=arccotx，y=arcsecx，y=arccscx分別叫做反余弦函數、反正切函數、反余切函數、反正割函數、反余割函數，把它們及反正弦函數統稱為反三角函數）.

綜上所述，筆者認為“基本初等函數”的定義應當是：

基本初等函數包括以下五個：

（1）冪函數y=xα；

（2）基本指數函數y=ex；

（3）基本對數函數y=lnx；

（4）正弦函數y=sinx；

（5）反正弦函數y=arcsinx.

初等函數是由基本初等函數經過有限次的四則運算和復合而成的函數.

注：可能有讀者還有以下思考：

因為y=xα=elnxα=（eα）lnx，所以“冪函數y=xα是由指數函數y=（eα）u與基本對數函數u=lnx復合得到的”.所以應把“基本初等函數”定義中的“（1）冪函數y=xα”去掉.

實際上，這是不對的.因為當x＞0時，才有y=xα=（eα）lnx，函數y=xα（x＞0）是由指數函數y=（eα）u與基本對數函數u=lnx復合得到的；但當x≤0時，就不能這樣復合，并且在以上③的論述中，用到了“（2）冪函數y=xα（選α=2）”，所以在改動后的“基本初等函數”定義中，“（1）冪函數y=xα”不能去掉.