借助平面幾何，突破2019年高考題

☉江蘇省宿遷中學(xué) 李志中

平面幾何知識具有“形”的直觀性與特殊性，是初中數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)的自然過渡與鏈接，與高中數(shù)學(xué)中平面向量、解三角形、三角函數(shù)、平面解析幾何等知識具有相同的本質(zhì)，也是這些相關(guān)知識的基礎(chǔ)與根源.在解決一些相關(guān)的高考數(shù)學(xué)問題時，經(jīng)常可以結(jié)合平面幾何圖形的性質(zhì)，利用平面幾何的性質(zhì)及相關(guān)知識來處理，往往可以使得問題的解決變得更自然、更直觀、更簡單、更快捷、更有效.下面結(jié)合2019年數(shù)學(xué)高考中的真題，通過借助平面幾何知識來處理相應(yīng)的問題，達到巧妙解決的目的.

一、平面幾何在平面向量中的應(yīng)用

平面向量的相關(guān)知識中經(jīng)常含有三角形、平行四邊形、圓等平面幾何模型，其中平面向量的線性運算涉及三角形法則或平行四邊形法則，平面向量的模又涉及圓，還有平面向量中的平行或垂直關(guān)系等也涉及平面幾何知識，這為利用平面幾何知識來解決平面向量的相關(guān)問題提供了條件.

例1（2019·全國卷Ⅰ理·7；文·8）已知非零向量a，b滿足|a|=2|b|，且（a-b）⊥b，則a與b的夾角為（ ）.

分析：涉及平面向量的問題，可以借助平面向量的數(shù)量積、坐標法來處理.而通過構(gòu)造平面幾何模型——三角形，結(jié)合平面向量的線性運算、垂直關(guān)系以及邊長之間的關(guān)系，利用直角三角形的幾何性質(zhì)來確定相應(yīng)的角度即可.

圖1

解析：如圖1所示，在直角三角形OAB中，設(shè)

點評：借助三角形的構(gòu)造，把對應(yīng)的平面向量的加、減運算，模等問題轉(zhuǎn)化為三角形的邊、角的關(guān)系，借助幾何直觀，并結(jié)合平面幾何的性質(zhì)，可以快捷地轉(zhuǎn)化相應(yīng)的邊、角或最值問題，達到有效、直觀、快捷地確定平面向量中的幾何量問題的目的.采用平面幾何的圖形來處理，解答更直觀，更可行.

二、平面幾何在解三角形中的應(yīng)用

解三角形的相關(guān)知識其實就是平面幾何知識的深入與拓展，將復(fù)雜的解三角形問題加以合理的切割、補形等操作，通過直觀模型轉(zhuǎn)化為特殊的三角形模型——直角三角形、等腰三角形或等邊三角形等，或其他特殊的平面幾何模型，進而直接利用平面幾何知識來處理，即可達到有效并合理解決解三角形問題的目的.

例2（2019·全國卷Ⅱ理·15）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若b=6，a=2c，則△ABC的面積為______.

分析：根據(jù)題目條件，結(jié)合平面幾何作圖并加以轉(zhuǎn)化，過點A作AD⊥BC，垂足為D，進而切割成兩個直角三角形，分別在Rt△ABD、Rt△ADC中，利用直角三角形的性質(zhì)以及邊的關(guān)系來分析與求解.

解析：如圖2所示，過點A作AD⊥BC，垂足為D，

圖2

點評：解決本題的常規(guī)思維是借助正弦定理或余弦定理加以轉(zhuǎn)化，結(jié)合解三角形來處理.而通過平面幾何作圖，將一些三角形問題經(jīng)過切割、補形等形式加以轉(zhuǎn)化，比較常見的就是切割成兩個直角三角形或是補形成兩個直角三角形，利用直角三角形中的邊角關(guān)系加以轉(zhuǎn)化與應(yīng)用.平面幾何作圖處理，求解直觀有效.

三、平面幾何在平面解析幾何中的應(yīng)用

平面解析幾何主要包括點、直線、圓以及圓錐曲線（涉及橢圓、雙曲線與拋物線）等相關(guān)知識，其相應(yīng)知識點中也涉及平面幾何的相關(guān)知識以及平面幾何模型，可以借助平面幾何中的邊、角、平行、垂直、三角形、圓的知識，結(jié)合平面幾何的方法與思維來處理一些相關(guān)的平面解析幾何問題，是平面幾何應(yīng)用的提升與拓展，也是實際平面解析幾何直觀化的基本途徑.

例3（2019·全國卷Ⅰ理·16）已知雙曲線C=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與雙曲線C的兩條漸近線分別交于A，B兩點.若，則C的離心率為______.

分析：解決本題時往往采用解析幾何思維或三角函數(shù)思維等來轉(zhuǎn)化與應(yīng)用.而借助平面幾何思維，通過三角形的相關(guān)性質(zhì)來轉(zhuǎn)化，解答過程顯得更為簡單快捷，處理問題更具特色，效果更明顯.

圖3

解析：由題可知雙曲線C：（a＞0，b＞0）的漸近線方程為

利用平行線的性質(zhì)，有∠F1OA=∠F1F2B.

結(jié)合雙曲線的漸近線的對稱性∠F1OA=∠BOF2，則可得∠F1F2B=∠BOF2.

結(jié)合直角三角形的性質(zhì)可知|OB|=|OF2|，

利用∠F1F2B=∠BOF2與|OB|=|OF2|，可知△BOF2為等邊三角形，則知∠BOF2=60°.

點評：平面幾何思維來處理圓、圓錐曲線等相關(guān)問題時，往往借助平面幾何中的相關(guān)知識，包括圓冪定理、三角形的相關(guān)性質(zhì)與判定等角度來達到巧妙轉(zhuǎn)化與應(yīng)用的目的，從而得以求解解析幾何中的相關(guān)問題.

采用平面幾何的圖形或相關(guān)性質(zhì)來處理相應(yīng)的高中數(shù)學(xué)問題，要注意相關(guān)知識點之間的合理聯(lián)系與有效轉(zhuǎn)化，真正達到“數(shù)”與“形”的有效統(tǒng)一與有機轉(zhuǎn)化.同時，采用平面幾何思維來處理問題，往往更為直觀易懂，操作起來簡潔明了.在解決一些相關(guān)問題時，可以作為輔助方法或思維，達到有效拓展解題思維的目的，將相關(guān)比較陌生或不易處理的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為較為熟悉的平面幾何問題來處理，從而達到從未知向已知、從復(fù)雜向簡單、從抽象向直觀等的有效轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng).