解數學題過程中學生是怎樣思考的

☉貴州省貴陽市教育科學研究所 邱云峰

解數學題過程中學生是怎樣思考的？這一問題，針對不同的題目學生有不同的思維過程，針對同一題目不同層次的學生也會有不同的思維過程，甚至同一題目同一學生在不同的時間也會有不同的思維過程，也可能在前后兩次的思維中完全不同.所以就造成大部分教師在備課備習題的過程中避而不談、含混其詞，在課堂教學中“且問且行，且導且行”.本文嘗試從一道函數背景的試題出發，模擬展示學生的思維過程，模擬展示也許只在思維中停留瞬間的過程，從而探尋一些對學生解題有幫助的教學策略.

一、原題再現

（2018年貴州省模擬考試理科數學第21題）

如圖1，在矩形ABCD中，A（1，0），B（1+x，0），且x>0，D在曲線上，BC與曲線交于E，四邊形ABEF為矩形.

圖1

（1）用x分別表示矩形ABCD，曲邊梯形ABED及矩形ABEF的面積，并用不等式表示它們的大小關系；

考試過后本題得到一線教師的普遍認可，試題的模擬和檢測功能較高.命制本題起源于張景中院士的科普書籍《不用極限的微積分》，試題每一問都緊扣考試大綱要求：第（1）問的要求是了解定積分的實際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念，了解微積分基本定理的含義；第（2）問的要求是了解函數的單調性與導數的關系，能利用導數研究函數的單調性，會用導數求函數的極大值、極小值，會求閉區間上函數的最大值、最小值；第（3）問的要求是了解合情推理的含義，能進行簡單的類比推理，體會并認識合情推理在數學發現中的作用，了解直接證明的兩種基本方法：綜合法和分析法，了解綜合法和分析法的思考過程和特點.學科能力方面，本題重點考查抽象概括能力、推理論證能力和應用意識.

二、探尋思維

下面就從學生讀題開始來模擬其思維的過程.（有的地方語言上可能有重復，但必要的重復卻真實地反映了思維的過程.）

如圖1，矩形ABCD，什么叫矩形？矩形有哪些性質？有用嗎？

A（1，0），B（1+x，0），點A確定，在x軸上，點B也在x軸上，但不確定，又因為x＞0，則點B在點A的右邊；那么x可能取無限大的數，也可以是無限小的一個正數嗎？為什么題目要設計點B可變？（暫時還不知道.）

四邊形ABEF為矩形，點F是被點E確定的；

題目的已知條件中還有什么是沒有被關注到的？圖形？圖形中還有什么？已知條件中還可以提出一些什么問題？圖形中的坐標系沒有被關注到？這能有什么幫助嗎？好像可以表示出各個點的坐標，也許有用.第（1）問，用x分別表示三個面積，兩個矩形面積容易求，但曲邊梯形面積如何求呢？定積分？定積分的定義是什么？它的幾何意義是什么？微積分基本定理中要注意哪些細節？（參閱教材），“用x表示”就是把x當成一個定值，有x的存在，要表示三個面積的大小關系，確定嗎？會涉及分類討論嗎？從圖形上看，三個面積有很好的包含關系，大小關系一目了然，難道還有什么特殊情況嗎？

解答：矩形ABCD面積為x，曲邊梯形ABED面積為，矩形ABEF的面積為，觀察圖形可得它們的大小關系為.（這個式子有點似曾相識的感覺，和教材上的題目結論有點相似，不知道后面是否還要用）

上面的式子還有什么更細微的細節？（x+1，x-1，1，lnx，2a，＜，聯想到平方差公式、特殊值，對數的真數大于0，參數，不等式的性質，特別是乘除時要關注符號）準備對不等式變形時發現，0＜x＜1，可以得出x-1＜0，lnx＜0，x+1＞0，則a＞0，這樣對a的范圍又縮小了.

【思路】先試一下分離參數的方法，對

（過程中準備放棄！）分母的符號確定，分子呢？試一下.

令h（x）=-2xlnx+x2-1，則h′（x）=-2lnx-2+2x（如果再求導，就要瘋了，但好像能判斷正負呢！）

（最后發現）h′（x）=2（x-1）-2lnx，由y=x-1，y=lnx的圖像可知在（0，1）上h′（x）＞0，

所以h（x）在（0，1）上是增函數，h（x）＜h（1）=0.

所以g′（x）＜0.所以g（x）在（0，1）上是減函數.

所以g（x）＞g（1）=…（結束，g（1）無意義，崩潰.當然，作為教師知道

反思：在構造函數時就沒有考慮區間端點是否有意義，說明分離參數法不行.（在考試過程中，如果學生求解到這一步，就很可能沒有時間重新回頭審視和思考更好的方法了，但高考評卷中可以得到過程分）

三、反思總結

上面描述的是一種思維過程，學生的真實思維過程可能更多或更少，可能更慎密或更懸妙，可能更有頓悟的感覺，但都可以從中探尋到一些解題過程中重要的思維要素和品質.一是觀察，既要從整體上觀察題目的結構，又要從細節上觀察題目描述；既要從文本上觀察，又要從圖形上觀察；既要從條件上觀察，又要從問題上觀察；既要重視觀察的目標方向，又要突出觀察的重點.二是提問，用批判性的語言和語氣對題目內容提出問題，并由自己不斷地回答自己提出的問題.如為什么要給出這個條件？為什么要用“x＞0”？為什么要用“僅有一個交點”？“提問”這一方式是人的思維發展最好的導航，它將人的想法不斷拓展到定式范圍以外.引導學生在解題過程中不斷提出“小問題”，實質上是很好地落實了《普通高中數學課程標準（2017版）》中要求的“提高從數學角度發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力.”三是聯想，每個人在思考問題時都是站在已有的知識和經驗上，意識或潛意識中都希望已有的知識和經驗能夠成為解決新問題的“腳手架”，在審題的過程中大腦不斷在搜尋和比較，“這個題目是否就是以前做過的題目？”“這個題目是否與以前做的題目類似？”“這個題目與以前做的題目的哪些部分是相同的？哪些部分是不相同的？相同的部分是否可以朝著相同的路徑思考？不同的部分又會帶來怎樣不一樣的結論？”這些問題都不斷地促進大腦的聯想功能，同時，原問題中一個關鍵詞就可以激起大腦聯想到“一片知識”或一套“思維系統”，如原題中的一個“矩形”、“面積”就可以促使大腦迅速聯想到整個初中階段學習的平面幾何的內容，題目中的一個點的空間坐標就促使大腦聯想到整個空間直角坐標系解決空間線面的數量關系問題的方法系統等.四是養成習慣，我們的學生不應該局限于掌握一些具體的知識點或“死方法”，不應該局限于掌握一些具體的板塊題型或解題“套路”，而應該養成一些科學的思維習慣，如細致的觀察，耐心的運算，嚴謹的推理，嚴密的分析，批判的提問，規范的表達等習慣，逐步提升學生的數學素養，循序漸進地引導學生會用數學眼光觀察世界，會用數學思維思考世界，會用數學語言表達世界.