函數與方程，動靜相結合
——2019年江蘇卷第14題分析

☉江蘇省梁豐高級中學 師全義

函數問題一直是高考中的主旋律之一，此類問題可考查的知識點非常多，變化多端，涉及函數的定義、函數的解析式、函數的基本性質、函數的圖像、函數與方程、函數的零點等眾多的內容，通過合理配置，有機融合，可以創新出非常多具有原創性、新穎性的函數問題.2019年高考江蘇卷第14題，就是在此創新立意下，融合函數的解析式、函數的基本性質、分段函數、函數與方程的根、參數取值范圍等相關知識，進行巧妙融合與交匯，烹出一道美味“盛宴”.

一、真題在線

【高考真題】（2019·江蘇卷·14）設f（x），g（x）是定義在R上的兩個周期函數，f（x）的周期為4，g（x）的周期為2，且f（x）是奇函數.當x∈（0，2］時其中k＞0.若在區間（0，9］上，關于x的方程f（x）=g（x）有8個不同的實數根，則k的取值范圍是______.

本題給出兩個不同的函數的解析式，通過函數的基本性質（涉及周期性、奇偶性等）與圖像、方程的根與函數的零點的關系來全面展開，充分融合了分段函數、直線的方程、圓的標準方程、直線與圓的位置關系、點到直線的距離公式等相關知識，考查運算求解能力、化歸與轉化思想、函數與方程思想、數形結合思想、分類與整合思想，是一道綜合性強，能力要求高的創新亮點題.

二、真題解析

方法1：（數形結合法）借助函數y=f（x）的解析式與基本性質確定其對應的圖像，再結合函數y=g（x）在不同區間的解析式確定對應的圖像，通過數形結合分析，結合題目條件轉化為“當x∈（0，1］時，函數f（x）與g（x）的圖像的交點有2個”，通過直線與圓的位置關系加以數形結合，直觀處理.

解析：當x∈（0，2］時，則知（x-1）2+y2=1（y≥0），又f（x）是周期為4的奇函數，可作出y=f（x）在（0，9］上的圖像，如圖1所示，

結合以上的圖像可知，當x∈（1，2］∪（3，4］∪（5，6］∪（7，8］時，函數f（x）與g（x）的圖像的交點只有2個，那么可知當x∈（0，1］∪（2，3］∪（4，5］∪（6，7］∪（8，9］時，函數f（x）與g（x）的圖像的交點還有6個.

而當x∈（0，1］時，g（x）=k（x+2）（k＞0）恒過定點A（-2，0），

結合圖像可知當x∈（2，3］∪（6，7］時，函數f（x）與g（x）的圖像無交點，則當x∈（0，1］∪（4，5］∪（8，9］時，函數f（x）與g（x）的圖像的交點還有6個，結合周期性可知當x∈（0，1］時，函數f（x）與g（x）的圖像的交點有2個，

結合圖形可知此時直線y=k（x+2）（k＞0）與相應的圓弧相交，

當y=k（x+2）（k＞0）與圓?。▁-1）2+y2=1（x∈（0，1］）相切時，可得（此時恰有1個交點）；

當y=k（x+2）（k＞0）過圓弧的最高點B（1，1）時，此時此時恰有2個交點）；

圖1

方法2：（代數分析法）借助函數y=f（x）的解析式與基本性質，把其關系轉化為相應的分段函數形式，同理也把函數y=g（x）的解析式加以分區間處理，通過轉化為“（k2+1）x2+（4k2-2）x+4k2=0在區間（0，1］上有2個根”，構造函數，利用二次函數的圖像與性質，列出相應的不等式組來處理.

解析：由于f（x）的周期為4，且f（x）是奇函數，當x∈（0，2］時，f（x）=

又當x∈（2，3］∪（6，7］時，f（x）＜0，g（x）＞0，此時f（x）=g（x）無根，那么有當x∈（0，1］∪（4，5］∪（8，9］時，f（x）=g（x）有6個根，

由周期性可得f（x）=g（x）在區間（0，1］上有2個根，即，亦即（k2+1）x2+（4k2-2）x+4k2=0在區間（0，1］上有2個根，

設函數F（x）=（k2+1）x2+（4k2-2）x+4k2，x∈（0，1］，

方法3：（分離變量法）借助函數y=f（x）的解析式與基本性質，把其關系轉化為相應的分段函數形式，同理也把函數y=g（x）的解析式加以分區間處理，通過轉化為在區間（0，1］上有2個根”，分離變量，進而構造函數，利用求導并借助函數的單調性來確定函數的最值問題，從而得以確定參數的取值范圍.

解析：以上部分同方法2，

總評：方法1是破解本題中比較常見的思維方式，關鍵是合理的轉化，并借助數形結合思想作出相應的函數圖像，直觀地來確定參數的取值情況；而方法2利用函數分析法，結合函數與方程的關系，利用分段函數的轉化來確定對應方程的根的情況；方法3是在方法2的基礎上得到相應的方程，進而通過分離參數，利用函數的構造結合導數法來處理參數的取值范圍.其實，在分離參數后也可以通過對關系式的變形與轉化，利用函數性質或基本不等式的性質來確定取值范圍.

三、規律總結

解答本題的關鍵是如何將方程的根問題等價轉化為兩個函數圖像的交點問題，進而將其轉化為一動直線與定曲線的交點的個數問題.破解問題時注意對函數的周期性的理解與掌握，并能加以合理的分類討論，為正確破解問題提供條件.

其實，巧妙運用數形結合思維來處理與解決一些相關的函數與方程問題、函數的零點問題，往往可起到事半功倍的效果.數形結合思想，主要通過熟知的一次函數、二次函數、反比例函數等基本函數圖像來進行數形結合.特別在我們解題時，一般不去追求復雜函數的圖像問題，一是由于草圖不明確，二是由于草圖不準確，往往容易導致錯誤.數形結合思想的重點所在是“以形助數”，根據對應知識點中的數量與圖形之間的對應關系，通過“數”與“形”的相互轉化來解決數學問題.尤其在解決一些選擇題、填空題時，數形結合思想往往發揮著奇特功效，可以大大地提高解題能力與速度，提升效益.