高中數(shù)學(xué)恒成立問題方法解析

☉江蘇省如皋市搬經(jīng)高級(jí)中學(xué) 洪小銀

在高中數(shù)學(xué)內(nèi)容體系中，恒成立是一類綜合性較強(qiáng)的問題，涉及的知識(shí)內(nèi)容、數(shù)學(xué)思想與解決方法較多，因此對(duì)于學(xué)生而言具有較大的難度，也是考試的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一.在實(shí)際教學(xué)過程中，部分學(xué)生的解題思路與方法主觀性較強(qiáng)，缺乏系統(tǒng)的、科學(xué)的思維方式與解題策略.在此背景下，本文系統(tǒng)的探討了常見的恒成立問題，并研究了相應(yīng)的解題思路與方法，以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效益.

一、恒成立問題概述

高中階段的恒成立問題的一般形式是以求解不等式、等式成立的值為前提，有時(shí)候會(huì)和幾何問題相結(jié)合，也可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題.在解決這一類問題時(shí)，最常見的解題思路就是轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，通過函數(shù)的周期性、奇偶性等性質(zhì)，并結(jié)合已知信息來求解函數(shù)的恒成立問題.從本質(zhì)上來說，恒成立問題就是求解等式（不等式）成立的前提條件.由于涉及函數(shù)的性質(zhì)，因此在解題過程中要充分利用函數(shù)的圖像，借助函數(shù)的奇偶性、周期性等性質(zhì)直觀地反映函數(shù)的最值及值域的分布情況.

二、解題方法解析

1.參變分離法

參變分離是指將參數(shù)與變量分開考慮，后續(xù)可以借助函數(shù)圖像、性質(zhì)等來求解出參數(shù)的范圍，進(jìn)而簡(jiǎn)化表達(dá)式，降低求解難度.在實(shí)際教學(xué)與考試過程中，運(yùn)用好這種方法可以幫助學(xué)生有效地規(guī)避繁雜的代數(shù)運(yùn)算，既節(jié)省了寶貴的答題時(shí)間，又能大幅度提升答題的準(zhǔn)確率.

【案例1】已知函數(shù)f（x）=（x+1）lnx-a（x-1），若x∈（2，+∞）時(shí)，函數(shù)f（x）＞0恒成立，試求解實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析：由已知條件可知，若函數(shù)f（x）＞0，即（x+1）lnx＞a（x-1）.

因?yàn)閍＜m（x）恒成立，所以a小于m（x）在x∈（2，+∞）上的最小值.

因?yàn)閤∈（2，+∞），所以x（x-1）2恒大于0.

令n（x）=x2-2xlnx-1，則n′（x）=2（x-lnx-1）.

所以h（x）=2（x-lnx-1）在x∈（2，+∞）上單調(diào)遞增.

所以h（x）=2（x-lnx-1）＞h（2）=2（1-ln2）＞0，即h（x）恒大于0.

所以n（x）=x2-2xlnx-1在x∈（2，+∞）上單調(diào)遞增.

所以n（x）=x2-2xlnx-1＞n（2）=3-4ln2＞0，即n（x）恒大于0.

所以m（x）min＞m（2）=3ln2.

所以當(dāng)a≤3ln2時(shí)，f（x）＞0恒成立.

總結(jié)：這道題同時(shí)含有參數(shù)和變量，若一并考慮的話則具有難度，因此采用參變分離的解題思路可以有效地梳理已知信息，將求參數(shù)范圍問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問題，進(jìn)而求解出最終的結(jié)果.

2.數(shù)形結(jié)合法

在解決恒成立問題時(shí)，有一部分問題若單純從代數(shù)角度考慮則較難入手，計(jì)算量比較大或者是很難求解出結(jié)果.這時(shí)就需要仔細(xì)觀察代數(shù)式的形式，將其與幾何概念相結(jié)合，通過直觀的幾何圖形來輔助求解，從而得出代數(shù)和圖形之間的關(guān)系，進(jìn)而求解出參數(shù)的取值范圍.

【案例2】已知函數(shù)f（x）=，g（x）=ax+2a.若存在數(shù)量關(guān)系f（x）≤g（x）恒成立，試求解實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析：根據(jù)f（x）≤g（x）恒成立，可知≤ax+2a恒成立.

若a＜0，則y2表示的是與y軸的負(fù)半軸相交且斜率為負(fù)的直線，不滿足恒成立，因此排除；

若a＞0，則y2表示的是與y軸的正半軸相交且斜率為正的直線，易知臨界值為直線與半圓相切，借助點(diǎn)到直線的距離公式可得，解得或.因?yàn)閍＞0，所以

總結(jié)：數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法可以將純代數(shù)的問題轉(zhuǎn)化成幾何圖形問題，將抽象的問題具體化.當(dāng)然，數(shù)形結(jié)合的方法并不是通用的，使用的前提是通過移項(xiàng)、變形等可以將原代數(shù)式轉(zhuǎn)化成常見的幾何概念式，常見的幾何圖形有直線、圓、半圓等.

3.構(gòu)造函數(shù)法

在一類最值問題的求解過程中，可以借助完全平方公式，將最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，通過構(gòu)造函數(shù)，借助函數(shù)的圖像以及性質(zhì)來求解特定的值，而不是機(jī)械地進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算.同時(shí)，如果已知表達(dá)式中包含不止一個(gè)變量，就需要結(jié)合題目要求與已知信息，將變量與參數(shù)區(qū)分開來，在此基礎(chǔ)上確定最終的表達(dá)式，并對(duì)題目進(jìn)行簡(jiǎn)化.一般情況下，需要借助具備明確范圍的變量來求解未知范圍的變量的值.

【案例3】若不等式2x-1＞m（x2-1）對(duì)任意m∈［-2，2］恒成立，試求解x的取值范圍.

解析：對(duì)已知表達(dá)式2x-1＞m（x2-1）進(jìn)行變形，可得m（x2-1）-（2x-1）＜0.由于在已知信息中，給出的是“任意m∈［-2，2］”這一條件，而需要求解的是x的取值范圍，因此在解決這道問題時(shí)，我們需要轉(zhuǎn)換思維，改變“x為變量”的既有思維，將這一表達(dá)式看成是關(guān)于m的一次函數(shù)，即f（m）=（x2-1）m-（2x-1），其幾何形式為線段.若想該線段在［-2，2］的區(qū)間內(nèi)函數(shù)值恒小于0，只需要保證兩端點(diǎn)的函數(shù)值恒小于0即可，因此可以得到以下兩個(gè)不等式：

化簡(jiǎn)可得：

總結(jié)：在解決這一類恒成立問題時(shí)，多數(shù)學(xué)生往往會(huì)糾結(jié)于參數(shù)、變量的區(qū)分與選擇，甚至有部分同學(xué)認(rèn)為字母“x”就一定代表著變量，而除此之外的字母，如“a”、“m”、“n”等就一定是參數(shù)，進(jìn)而將求解的重點(diǎn)混淆，使得題目復(fù)雜化甚至出現(xiàn)錯(cuò)誤.因此，在解題之前就需要認(rèn)真審題，明確題目要求，梳理題目中的已知信息與已知量，轉(zhuǎn)換思維，簡(jiǎn)化或轉(zhuǎn)化已知信息中的表達(dá)式，最終就能快速且準(zhǔn)確地求解出答案.

三、結(jié)語(yǔ)

恒成立問題綜合性較強(qiáng)，僅通過單一的思路與方法很難有效地解決.因此在教學(xué)過程中，需要注重對(duì)學(xué)生的思維進(jìn)行訓(xùn)練，教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生掌握正確的解題方法，更要糾正學(xué)生的思維方式，尋找恒成立問題與特定數(shù)學(xué)思想方法之間的聯(lián)系，真正做到舉一反三.