極限法在高中數學中的應用*

☉內江師范學院數學與信息科學學院 鄭云升

☉內江師范學院數學與信息科學學院 趙思林

根據極限思想在高中數學中的應用范圍，針對極限思想在函數圖像、三角函數、不等式、解析幾何、立體幾何、數列、概率等問題中的應用進行系統的歸納總結及闡述說明，給出較為經典且具有代表性的例題以供參考，為一線數學教育工作者在高中數學課堂教學中滲透極限思想方法提供思路，使學生在數學學習過程中可以從有限中想象無限，從近似中體驗精確，讓學習不再成為一種負擔，讓其能夠真正應用極限思想進行解題.

一、研究現狀

極限思想方法在高中數學中的應用已有不少研究成果，如邵瓊等利用極限思想方法針對函數圖像、數列、參數取值范圍問題優化了解題過程.孫文淼針對導數問題如何利用極限思想解決進行了探究.王國軍探討了極限思想在函數問題、概率問題、立體幾何問題中的應用.蔡敬發說明了滲透極限思想在高中數學課堂教學中的方法與必要性.方志平針對利用極限思想巧解幾何、函數、不等式等七個方面的問題進行了闡述.劉吉存針對利用極限思想方法速解數學選擇題進行了簡要研究，不過其列舉的題目太少，不具有普遍性.陳曉智等就利用極限思想分析幾何圖案的極端情形、確定定值定點或定直線、探求問題本質及解題思路進行了細致說明，對學生突破解題有很大幫助.韓慶文、曾光等就極限思想在解決高考題中的函數圖像問題進行了研究，并且表明極限法能夠迅速、準確地解決函數圖形問題.陳炎就把握教學時機，滲透極限思想給出了多個案例說明，論證了極限思想在高中數學中的重要性.高群安等分析了利用極限思想排除假命題、回避分類討論、簡化解題過程、探索證明問題、求最值五個方面，說明了極限思想在高中數學中的廣泛應用以及其能夠優化解題過程的好處.趙斌從一道高三調研試題所帶來的啟示中闡述了極限思想能夠使學生更形象、更生動、更細致地認識函數的圖像和性質，避開復雜運算，降低題目難度，并且能夠加快學生的解題速度，表明高中數學教師應該在高三數學復習過程中對極限思想予以足夠的重視.王立新主要研究了在數列問題中極限思想的巧用，闡明了在初等數學中合理地運用極限思想使得解題思路自然，方法簡捷.武增明對極限思想“另類”的解題價值進行了探索，發現其在解決函數值域問題、判斷圖形的變化規律、估算中都能得到廣泛而靈活的應用.楊俊全面而系統地闡述了如何利用極限思想解決數列問題中的求和問題、求解數列的通項公式以及求數列中的參數范圍.華志遠通過透視高考熱點研究發現在尋找大部分解題思路的過程中能夠凝練出極限思想、突破思維定式、利用極限思想優化解題策略、深化極限思想并發現解題結論.

二、極限法在高中數學中的應用

1.在函數中的應用

例1（2010年全國卷改編）函數如果a≠2b≠3c，且f（a）=f（2b）=f（3c），求abc的取值范圍.

圖1

解析：根據函數我們可以先畫出此分段函數的大致圖像（如圖1）.

又由題干可以知道f（a）=f（2b）=f（3c），那么我們可以作出一條平行于x軸的直線與函數圖像相交，使之與函數圖像有三個交點，并且得到的三個交點的橫坐標就為a，2b，3c.

當這條平行于x軸的直線靠近x軸時有a→1，2b→1，3c→12.

此時有6abc=a·2b·3c→12.

而當這條直線趨近于y=1時，

有a→0.1，2b→10，3c→10，6abc→10.

評注：本題的第一個干擾條件就是a，2b，3c，這里不要被前面的常數所干擾，其常數不管為多少對解題都不會有任何影響，所以在解題時不要被這些看似復雜的條件所干擾.第二就是需要準確畫出這個分段函數的圖像，找到在同一水平線能夠取三個點的y的取值范圍，然后利用極限思想取得所求目標的上、下極限即可求出結果.

2.在三角函數中的應用

例2對任何］都有（ ）.

A.sin（sinx）

B.sin（sinx）>cosx>cos（cosx）

C.sin（cosx）

D.sin（cosx）

解析：當x=0和時正弦和余弦均有定義，這時我們考慮其變化趨勢.當x→0，則sin（sinx）→0，cosx→1，cos（cosx）→cos1，即可排除A，B選項，而且當時，有cos（sinx）→cos1，cosx→0，排除C，即D為正確選項.

評注：本題的解答很顯然是利用了極限思想，并且是直接考慮x的極限狀態，避開了復雜的運算，也避免了利用三角函數的單調性來比較大小的復雜過程，極限思想給了我們另一種解題思路.

3.在不等式中的應用

例3（2004年高中數學聯賽四川賽區題目改編）已知不等式m2+（sin2θ-5）m+4cos2θ>0恒成立，則參數m的取值范圍是（ ）.

A.0≤m≤4 B.1≤m≤4

C.m≤0或m≥4 D.m≤0或m≥1

解析：本題考查參變量的取值范圍.當m趨于∞時，左邊結果大于0，排除A，B選項.又因為當m趨近于1+時，不等式不一定成立，可以排除掉D選項.所以正確答案為C.

評注：高中常用的極限思想方法其實就是特殊值法的延伸，極限思想方法提供了一種從變化過程中研究事物變化趨勢的數學思想方法.巧妙地運用極限思想方法能夠很大程度地減少計算量，而減少計算量恰恰就是使數學問題得到快速解決的關鍵所在，此題目便是利用了極限思想方法，探討這個問題的極限狀態就是減少運算量的重要途徑.

4.在立體幾何中的應用

例4（1994年高中數學聯賽改編）正20棱錐相鄰的兩側面所成的二面角的取值范圍為（ ）.

圖2

解析：設正20棱錐為S-A1A2A3…A20，底面正20邊形是固定的，但棱錐的高是可以不斷變化的，將頂點S看作動點，當S→底面中心時，底面正20邊形就為正20棱錐，在這種情況下二面角α→π且<π；當正20棱錐的頂點無限遠離底面中心時，又成為了另一種極限狀態，此時棱錐趨近于一個棱柱，二面角α→，所以選項A正確.

評注：同學們在運用極限思想的過程中，要學會以運動的眼光看問題，并著眼于數學問題中可能存在的極限位置或狀態，這樣才能讓問題變得更加簡潔明了.

變式：如果是正n棱錐，其相鄰的兩側面所成的二面角的取值范圍又如何？

極限思想是數學文化中的瑰寶，更是把數學知識轉化為思維能力的一種紐帶，揭示了數學中的不變量和變量、無限與有限、近似與精確的對立又統一的關系.能夠利用極限法解題，體現了學生較強的思維能力，很多題目看似與極限思想毫不沾邊，但正是這種看似毫不沾邊的表象背后卻隱藏著玄機，所以對于某些題目恰當地引入極限思想方法將會給解題帶來奇妙的效果.