高中數學“設而不求”策略應用研究

☉江蘇省江陰市第一中學 王 江

一、問題背景

在高中數學中，有一類常見的試題類型，在解題過程中需要設一些題目中并沒有給定的變量，但是在解決過程中不需要算出這些變量的具體值，而是通過變形或者簡化處理將其消除，這就是本文所說的“設而不求”策略，其實質就是從問題整體出發，根據其結構來進行變式處理，借助科學轉化與運算手段最大幅度地降低計算量，經常以參數為過渡，以概念、定義、向量原理、基本不等式以及幾何性質等為基礎.“設而不求”策略應用廣泛，在代數、幾何等內容中均有所涉及，比如方程問題、函數問題、導數問題、不等式問題、解析幾何問題、向量問題等.

二、案例解析

（一）方程的根問題

案例1已知函數f（x）=x2+ax+b，其中a、b∈R，函數f（x）值域為［0，+∞）.假設關于x的不等式x2+ax+b＜c的解集為（m，m+6），試求解實數c的值.

解析：由題干信息可知，函數f（x）=x2+ax+b的值域為［0，+∞），故判別式Δ=a2-4b=0.不等式x2+ax+b＜c的解集為（m，m+6），也就是方程x2+ax+b=c的兩根分別為x1=m與x2=m+6.根據根與系數的關系可知=6，已知x1+x2=-a，x1·x2=b-c，代入上述表達式有=6，將a2-4b=0整體代入，計算可得c的值為9.

總結：在本題的解決過程中，關鍵的一點就是注意到m與m+6是方程x2+ax+b=c的兩根，在后續解答過程中，一般的處理方法是運用求根公式將其求出，但是在本題中無法對其進行求解.由于兩根具有“差值為6”這一顯著特征，因此將已知條件往兩根之差去轉化，再通過整體代入的方式來實現“設而不求”的目的，這也是處理方程的根的問題的重要思路方法.

（二）不等式問題

案例2已知拋物線M：y2=4x，焦點為F，過F點作兩條垂直直線l1與l2，使得直線l1與拋物線M交于A、B兩點，直線l2與拋物線M交于C、D兩點，試求解|AB|+|CD|的最小值.

分析：根據已知條件，設出直線l1的方程，將其與拋物線方程進行聯立，根據弦長公式確定|AB|的表達式，再根據兩直線垂直這一條件得到|CD|的表達式，最后利用基本不等式來求解最值問題.

解析：由已知信息可知，直線l1與l2的斜率均存在且不為0.設A點的坐標為（x1，y1），B點的坐標為（x2，y2），直線l1的方程為：x=ty+1，聯立方程組可得y2-4ty-4=0，Δ=16t2+16＞0，滿足y1+y2=4t，y1y2=-4.根據弦長公式可得同理可得由基本不等式可知因此|AB|+|CD|≥16，當且僅當，即t=1或-1時等號成立.

總結：在解析幾何最值問題中，我們往往結合基本不等式進行處理.建立含參數的關系式，但不求解具體的參數值，而是整理得到基本不等式的形式，借助設而不求的思想方法進行解決，這是解決解析幾何最值問題的常用方法.

（三）解析幾何問題

案例3如圖1所示，已知拋物線的方程為x2=2py（p＞0），M點為直線l：y=-2p上的任意一點.經過M點作拋物線的兩條切線，分別與拋物線相切于A點與B點，假設A點在左，B點在右.當M點的坐標為（2，-2）時，試求拋物線的方程以及直線AB的方程.

圖1

解析：因為M點的坐標為（2，-2），所以p=1.

所以拋物線的方程為x2=2y.

設A點的坐標為（x1，y1），B點的坐標為（x2，y2），

所以切線MA的方程為：x1x=y1+y，切線MB的方程為：x2x=y2+y.

將M點的坐標（2，-2）代入，可得：2x1=y1-2，2x2=y2-2.

所以直線AB的方程為2x=y-2.

總結：在解決拋物線外一點的切線問題時，可以先設出切線方程，但是不需要進行求解，可解出切點弦以及弦的距離，通過整體代換的方式，利用設而不求的思想，從而得到相應的方程式.

三、結語

“設而不求”的技巧方法在解決高中數學問題時具有廣泛的應用，可以很好地拓寬學生的思維，促進學生的動態發展.在教學過程中，教師要引導學生養成全面思考、宏觀與微觀相結合的思維方式，提高學生的思維與解題能力，進而提升數學教學的效果，促進學生的綜合發展.對于“設而不求”這一類問題，教師要形成兩個基本的認識：其一是定位明確，全面理解并充分認識這一類問題的靈活性與多變性，強化學生的辯證思維，杜絕機械、呆板的思維方式；其二是突出方法重點，解決學習難點，抓住“設而不求”的技巧方法的重點，即“設什么”以及“如何設”，在此基礎上強化學生提取信息以及實現代數變形的能力，這需要學生具備一定的整體思維能力，這也是這一方法的必要素養.